衍射極限、MTF與分辨率的分析與介紹

關(guān)于衍射極限、MTF以及像素大小的幾個(gè)問題：

1、已知一個(gè)光學(xué)系統(tǒng)的F數(shù)、光波長，那它的像素大小到達(dá)一個(gè)什么水平時(shí)，算是充分利用了光學(xué)系統(tǒng)的分辨率？換句話說，像素最小做到多大合適？

2、鏡頭設(shè)計(jì)時(shí)一般以lp/mm作為分辨率的指標(biāo)來衡量MTF，那是否這個(gè)值越好，鏡頭就越好呢？

3、為什么1000多萬像素的手機(jī)，分辨率反而不如幾百萬像素的相機(jī)？

一、衍射極限與艾里斑

一個(gè)理想的光點(diǎn)，通過鏡頭成像后，哪怕鏡頭沒有任何像差，它也會(huì)變成一個(gè)光斑。光斑大小與F數(shù)有關(guān)，F(xiàn)數(shù)越小，光斑越小。而更深入一點(diǎn)，就得有一些光學(xué)的基礎(chǔ)才能理解了，這是由于衍射引起的。簡單說來，一個(gè)理想的物點(diǎn)發(fā)出的光，它的空間頻譜是1，就是在各個(gè)空間頻率均勻分布。而我們用鏡頭去成像，沒辦法把所有方向的光收集起來，只能收集鏡頭大小(嚴(yán)格的說，應(yīng)該是入瞳大小)對(duì)應(yīng)的這部分。這就不可避免造成了信息的丟失。這也就是衍射的本質(zhì)。

光學(xué)鏡片的輪廓一般是圓形，而圓孔夫瑯禾費(fèi)衍射的光強(qiáng)分布與[J1(x)/x]^2成正比，J1(x)是一階貝塞爾函數(shù)，x=πDsinθ/λ，J1(x)有無數(shù)個(gè)零點(diǎn)，前三個(gè)為3.832，7.016，10.173。光斑的一級(jí)暗環(huán)對(duì)應(yīng)J1(x)的第一個(gè)零點(diǎn)3.832，即2πsinθ/λ=3.832，也就是sinθ=1.22λ/D時(shí)，出現(xiàn)了一級(jí)暗環(huán)。相應(yīng)地，后續(xù)的每個(gè)零點(diǎn)都對(duì)應(yīng)相應(yīng)的二級(jí)暗環(huán)，三級(jí)暗環(huán)……，暗環(huán)和暗環(huán)之間還有亮環(huán)，但能量迅速衰減。一般我們常說的艾里斑，就是中心最亮的這個(gè)光斑，即從中心到一級(jí)暗環(huán)的這個(gè)范圍。因此也就有了每提艾里斑必提到的1.22λF的這個(gè)公式，對(duì)照上面的一級(jí)暗環(huán)角度公式，我們看到/D被換成了F數(shù)，二者之間相差一個(gè)焦距f。

二、MTF與線對(duì)lp/mm

我們知道由于衍射和像差的存在，一個(gè)理想的光點(diǎn)，經(jīng)過光學(xué)系統(tǒng)成像以后，將變成一個(gè)光斑，這是這個(gè)光學(xué)系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)h(t)。從空域的角度來看，一幅圖像經(jīng)過光學(xué)系統(tǒng)成像以后，由于像差和衍射的存在，肯定會(huì)退化，退化成什么樣呢？就是每個(gè)點(diǎn)都變成了一個(gè)光斑，整幅圖像就是理想圖像與點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)h(t)的卷積。卷積這個(gè)變換有點(diǎn)復(fù)雜，不太直觀，于是人們就想到從頻域的角度來考慮問題。因?yàn)榭沼虻木矸e對(duì)應(yīng)頻域的乘積。一幅圖像，經(jīng)過光學(xué)系統(tǒng)成像以后，它的頻譜變化為在原來的基礎(chǔ)上乘了一個(gè)函數(shù)H(w)，H(w)是點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)h(t)的傅里葉變換。H(w)就是傳遞函數(shù)，分為幅值和相位兩部分，代表了各個(gè)頻率的成分，經(jīng)過光學(xué)系統(tǒng)以后，分別受到了不同程度的衰減和相位變化。幅值部分它影響條紋對(duì)比度的衰減，而相位部分代表?xiàng)l紋的移動(dòng)。一般來說，我們只關(guān)注成像清晰度，這時(shí)幅值傳遞函數(shù)影響比相位傳遞函數(shù)大得多，所以我們只考慮幅值傳遞函數(shù)，就是我們通常說的MTF。

MTF是一個(gè)頻率域的概念，代表不同頻率成分對(duì)比度的衰減。就是說你去看一個(gè)單一頻率的正弦條紋，理想情況下它是黑白條紋相間，反差很好；但實(shí)際上由于光學(xué)系統(tǒng)的像差和衍射的影響，每個(gè)點(diǎn)都會(huì)影響它相鄰的區(qū)域，反差(對(duì)比度)會(huì)下降。條紋越密，對(duì)比度下降越厲害。而衡量這個(gè)疏密程度的單位，就是lp/mm，也就是我們常說的每毫米線對(duì)。代表每mm范圍內(nèi)，有幾個(gè)明暗相間的正弦條紋。實(shí)際中為了方便，一般用明暗矩形條紋代替正弦條紋，一名一暗兩個(gè)矩形條紋構(gòu)成了一個(gè)線對(duì)。我們測(cè)試一個(gè)光學(xué)系統(tǒng)的MTF，就是測(cè)試對(duì)不同疏密(lp/mm為單位)的條紋的對(duì)比度衰減。為了方便比較，lp/mm通常是指像平面上的線對(duì)數(shù)。

三、離散采樣、像素與線對(duì)

像質(zhì)退化不僅發(fā)生在光學(xué)系統(tǒng)成像的過程中，還發(fā)生在將光學(xué)像變成數(shù)字化圖像的過程中。現(xiàn)代數(shù)字設(shè)備的圖像傳感器無非就是CCD和CMOS兩種。像素大小和間距都會(huì)造成像質(zhì)的下降。整個(gè)系統(tǒng)的MTF是光學(xué)系統(tǒng)的MTF與傳感器的MTF的乘積。

首先，像素大小會(huì)造成對(duì)比度的下降。因?yàn)橐粋€(gè)像素產(chǎn)生的電信號(hào)是與它面積范圍內(nèi)光強(qiáng)的平均值成正比的。這就好比在原始連續(xù)光學(xué)圖像上用一個(gè)均值濾波器做了一次卷積。這種均值卷積核造成的對(duì)比度下降比艾里斑的影響還有過之而無不及。

其次，像素和像素之間的間距形成了離散采樣。一幅連續(xù)的光學(xué)圖像，它本來有無窮多個(gè)點(diǎn)，現(xiàn)在用一些離散的像素值來表示，難免會(huì)造成信息的丟失。Shannon采樣定理告訴我們，對(duì)于頻率為f 的信號(hào)，我們至少要用2f的頻率來采樣，才能把它恢復(fù)出來。從前面的敘述，我們知道，空間頻率一般是用每毫米線對(duì)數(shù)來表示的。一個(gè)線對(duì)就是一個(gè)周期，我們至少需要兩個(gè)像素來采樣它。因此，如果一個(gè)鏡頭，它最高可以分辨n lp/mm頻率的條紋，那么我們必須保證每毫米有2n個(gè)像素才行，這樣才能充分利用鏡頭的分辨能力；反過來，如果我們每mm只有n個(gè)像素，那么鏡頭分辨率做到n/2 lp/mm就可以了，再做高沒意義，在離散采樣的過程會(huì)丟失掉這些高頻信息。

四、艾里斑、線對(duì)與MTF

是時(shí)候把艾里斑和MTF聯(lián)系起來了。我們來看一看艾里斑對(duì)對(duì)比度的衰減能達(dá)到什么程度。

首先來看最經(jīng)典的一個(gè)情形——瑞利判據(jù)。瑞利判據(jù)是說，當(dāng)兩個(gè)相鄰的艾里斑距離為其半徑時(shí)，這兩個(gè)艾里斑勉強(qiáng)能夠分辨出來。

我們看到，從一個(gè)艾里斑的中心3到另一個(gè)艾里斑的中心5，依次經(jīng)歷了一個(gè)從最亮到最暗再到最亮的過程。因此，一個(gè)線對(duì)(兩個(gè)像素)的寬度等于艾里斑的半徑大小。當(dāng)然由于它們是這么密，實(shí)際上暗部和亮部沒差多少，MTF非常差，只有0.09。在這個(gè)頻率往上，系統(tǒng)是衍射受限的。哪怕沒有任何像差，MTF都很差，細(xì)節(jié)幾乎不可分辨。

好，我們不要太貪心，條紋太密的話MTF很差，沒有意義。我們將空間頻率減小一半，讓一個(gè)線對(duì)寬帶等于艾里斑直徑的大小

可以看到條紋變寬了以后，對(duì)比度明顯提高了不少(MTF約有50%左右) 頻率繼續(xù)減半，讓一個(gè)線對(duì)寬帶等于兩個(gè)艾里斑直徑大小

這個(gè)時(shí)候，對(duì)比度已經(jīng)很好了(MTF~0.8)?？梢哉f，在這個(gè)空間頻率之下，系統(tǒng)已經(jīng)不再是衍射受限了，影響像質(zhì)的主要是光學(xué)系統(tǒng)的像差，只要像差控制得夠好，接近理想光學(xué)系統(tǒng)，那么MTF可以做得很好。

至此我們可以來回答一下第一個(gè)問題。對(duì)于一個(gè)F數(shù)為2.8的鏡頭，假設(shè)我們用555nm的黃綠光來成像，像素大小做到多少合適呢？我們?nèi)【€對(duì)寬度等于艾里斑的直徑大小作為依據(jù)，此時(shí)只考慮衍射的話，MTF約有0.5，也還算可以了。一個(gè)線對(duì)對(duì)應(yīng)兩個(gè)像素，那么一個(gè)像素大小就相當(dāng)于艾里斑的半徑，也就是1.22λF，算出來約為1.9微米。如果固定傳感器大小的話，那么它的像素?cái)?shù)就是有上限的。到達(dá)一個(gè)限度，再增加像素?cái)?shù)，就會(huì)導(dǎo)致像素小于1.9微米，再增加的像素已經(jīng)提供不了新的信息了。具體表現(xiàn)，就是我們經(jīng)?？词謾C(jī)拍的圖片時(shí)會(huì)有的感覺，雖然像素很多，但只能在一個(gè)縮放比例以下去看，放大到原始大小來看，像素和像素之間是模糊的，沒有細(xì)節(jié)。

五、線對(duì)越多，MTF越高，鏡頭就越好嗎？

現(xiàn)在來說說第二個(gè)問題吧。假設(shè)有兩個(gè)鏡頭，一個(gè)到30lp/mm時(shí)，MTF就降到了0.5；而另一個(gè)直到60 lp/mm時(shí)，MTF才降到0.5。那可不可以說后一個(gè)鏡頭好呢？

首先我們來想一下，什么是好鏡頭呢？從純技術(shù)角度說，就是拍同樣的景物，看到的細(xì)節(jié)比較多的那個(gè)鏡頭比較好嘍。那這樣看來是不是上面說的后一個(gè)鏡頭比較好呢，因?yàn)樗麺TF好，細(xì)節(jié)比較多嘛。但我們別忘了還有另一個(gè)前提，“拍同樣的景物”。是啊，后一個(gè)鏡頭在像面上是能分辨更多的條紋。但如果它視場比較小呢，為了看到同樣大小的景物，它就得距離遠(yuǎn)一點(diǎn)，把景物縮小到感光芯片的范圍內(nèi)。這樣一來，換算到物方，誰能看清更多的細(xì)節(jié)還真不好說。

我們?cè)賮碚f得具體一點(diǎn)吧。假設(shè)那個(gè)30線對(duì)的鏡頭是一個(gè)全幅單反上的，全幅單反的CCD大小為36*24mm，我們假設(shè)它的像素大小是1000/30/2=16微米，這樣它剛好能充分利用鏡頭的分辨能力。1mm長度上就有60個(gè)像素，那我們的像素?cái)?shù)就是36*60*24*60=3.1e6，310萬像素；而另一個(gè)鏡頭呢，它是一個(gè)手機(jī)的鏡頭模組，我們假設(shè)感光CMOS和iPhone5S這么大吧，網(wǎng)上查到它的大小是1/3"，大概是4.89*3.67mm。同樣假設(shè)像素大小剛好夠用，1mm長度上120個(gè)像素(看了前面的文章，你應(yīng)該明白再來更多的像素也沒有用，鏡頭分辨力有限)，那么它的像素?cái)?shù)是4.89*3.67*120*120=0.26e6，26萬??！想象一下，比如有一幅畫，你用單反去拍(配上前面那個(gè)鏡頭哦)，使之剛剛好充滿視場，那這幅畫會(huì)被分成310萬個(gè)像素；同樣的一幅畫，你用手機(jī)去拍呢，只有26萬個(gè)像素點(diǎn)。你說誰能看到的細(xì)節(jié)更多呢？

所以我們可以得出結(jié)論了：看一個(gè)鏡頭好不好，不能光看數(shù)字，多少線對(duì)時(shí)MTF是多少，得結(jié)合應(yīng)用場合來看。當(dāng)然如果兩個(gè)鏡頭都用在同樣規(guī)格的感光芯片上，在同樣的線對(duì)MTF越高當(dāng)然就越好了。

六、感光芯片的像素?cái)?shù)

你可能不服氣，前面兩個(gè)鏡頭，MTF曲線都是你隨口編的，最后算出來iPhone5S只需要26萬像素就夠了，簡直貽笑大方。實(shí)際手機(jī)用的鏡頭，MTF能分辨的線對(duì)，比你這個(gè)高多了，否則5S為何還要做到8MP(3264*2448)。嗯，好，我們嚴(yán)謹(jǐn)一點(diǎn)，用真實(shí)的iPhone5S的數(shù)據(jù)來計(jì)算點(diǎn)東西。

網(wǎng)上查到的iPhone5S數(shù)據(jù)如下：

鏡頭：5片塑料鏡片，F(xiàn)2.2，焦距4.12mm

感光芯片：大小4.89*3.67mm，像素大小1.5微米，像素?cái)?shù)3264*2448。

首先:3264*1.5e-3=4.896，2448*1.5e-3=3.672，和感光芯片大小一致。

鏡頭的MTF數(shù)據(jù)查不到，我們就按像素大小來，我們假設(shè)鏡頭保證不拖后腿。那就是1000/2/1.5=333lp/mm?？窗?，前面編的數(shù)據(jù)果然胡扯，和實(shí)際情況相差太大了。別急，前面本來就是為了方便比較，隨便舉的一個(gè)例子嘛。我們從另一個(gè)角度看，iPhone5S的鏡頭能分辨到333線對(duì)，而一般單反鏡頭呢，你去看測(cè)評(píng)報(bào)告，都是30lp啊。如果說iPhone5S的5個(gè)塑料鏡片就比光學(xué)廠家辛苦設(shè)計(jì)的單反鏡頭好，誰也不信吧。是不是再次證明了前面的那個(gè)結(jié)論呢。

放眼當(dāng)今手機(jī)界，iPhone5S才800萬像素，太少了，簡直比山寨機(jī)都不如啊。試試幫它把像素?cái)?shù)提高點(diǎn)吧。要提高像素?cái)?shù)，有兩個(gè)辦法，一個(gè)是維持像素大小不變，直接增加像素。這樣的話感光芯片大小就會(huì)增加，同時(shí)鏡頭大小也有隨之增加，整個(gè)CMOS模組體積就要變大，不劃算。另一個(gè)辦法就是維持感光芯片大小不變，減小像素尺寸。那樣其實(shí)對(duì)鏡頭的分辨能力要求就更高了，5片塑料片可能不夠。不，我們假設(shè)鏡頭足夠好，你盡管減小像素尺寸就行了。像素大小最小能做到1.22λF，假設(shè)λ=550nm，那像素大小就是：1.48微米?。。】戳薸Phone5S已經(jīng)盡力了。

另外，現(xiàn)在的手機(jī)，為了像素做小，F(xiàn)數(shù)都做得比較小。這就對(duì)鏡頭像差提出了很高的要求。所以有時(shí)光看F數(shù)，只計(jì)算衍射帶來的像質(zhì)退化是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。只能說從F數(shù)計(jì)算出來的最大像素?cái)?shù)是一個(gè)上限，實(shí)際上還應(yīng)該要打不少折扣的。

審核編輯：郭婷