什么是波特圖？怎么畫波特圖？

為什么要學習波特圖呢？

波特圖將傳輸函數(shù)和頻率響應(yīng)定性的聯(lián)系起來了，通過波特圖的繪制，可以了解極點和零點是怎么影響頻率響應(yīng)的幅度和相位，進而影響電路的性能。

換成人話，可以這樣說。 呀，這個電路不穩(wěn)定啊。畫畫波特圖，噢，原來相位裕度接近為0啊。這個可以看看，電路上哪些因素會影響極點零點的位置，調(diào)整一下，就能改進電路的穩(wěn)定性。

什么是波特圖？

波特圖也是根據(jù)人名命名的，它是出自貝爾實驗室，由荷蘭裔科學家 Hendrik Wade Bode在1930年發(fā)明的。Bode當時需要設(shè)計用于電話網(wǎng)絡(luò)的放大器，放大器帶有負反饋。為了能夠快速了解放大器保持絕對穩(wěn)定所需的增益裕度和相位裕度，Bode開發(fā)了波特圖。

假設(shè)一系統(tǒng)為線性時不變系統(tǒng)，傳輸函數(shù)為H(s)。則波特圖有兩副圖，幅頻圖和相頻圖，分別對應(yīng)增益和相位。

幅頻圖是|H(s=jw)|隨頻率的函數(shù)，其橫軸為頻率，用對數(shù)尺度表示；縱軸為功率的dB值，即20log10|H|。 相頻圖是arg(H(s=jw))隨頻率的函數(shù)，其橫軸為頻率，用對數(shù)尺度表示；縱軸的單位一般為度，為線性值。

怎么畫波特圖？

畫幅頻圖時，遵循以下規(guī)則：

(1) 當頻率w經(jīng)過極點時，|H(jw)|的斜率變?yōu)?20dB/dec，也就是以頻率變化10倍，|H(jw)|變小20dB;

(2) 當頻率w經(jīng)過零點時，|H(jw)|的斜率變?yōu)?0dB/dec，也就是以頻率變化10倍，|H(jw)|變大20dB;

(3) 圖在起始點時的增益值，可以計算頻率的下限值對應(yīng)的|H(jw)|；

如果零點沒有在原點處的時候，可以將w=0代入|H(jw)|,計算其在DC處的增益；

如果有零點處在原點處，則可以選擇一個靠近w=0的值，比如說w=1作為|H(jw)|的初始值。零點在原點，即w=0時，|H(jw)|=0，因為縱軸是對數(shù)值，所以不可能在圖中包括|H(jw)|=0的值。

(4) 圖在起始點的斜率，取決于在w小于起始點處零點和極點的個數(shù)，然后按照(1)和(2)的規(guī)則計算；如果在w小于起始點處無零點和極點，則初始斜率為0。

畫相頻圖時，遵循以下規(guī)則:

(1) 假設(shè)極點為wp,即其則曲線在0.1wp處開始變化，在wp處變化-45度，在10wp處變化接近于-90度。

(2) 假設(shè)零點為wz,則曲線在0.1wz處開始變化，在wz處變化45度，在10wz處變化接近于90度。

看到電路，快速畫出波特圖，了解系統(tǒng)的穩(wěn)定性 如下圖所示，是一個通用的反饋系統(tǒng)框圖。



當K等于0時，沒有反饋，此時系統(tǒng)為開環(huán)系統(tǒng)； 當K不等于0時，此時系統(tǒng)為閉環(huán)系統(tǒng)。 該系統(tǒng)的傳輸函數(shù)為：



其中，KH(s)稱為環(huán)路增益。

假設(shè)上面的系統(tǒng)的輸入為正弦信號，則s=jw。這個假設(shè)是合理的，因為任何信號都可以分解成多個正弦函數(shù)之和。 所以：

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由上面等式可知，當KH(jw)=-1時，Y/X-->無窮大，即使X很小很小，也會導致很大的Y輸出，即系統(tǒng)處于振蕩狀態(tài)，不穩(wěn)定。

所以為了保證系統(tǒng)穩(wěn)定，需要在任何頻率處都不能滿足KH(jw)=-1的條件，即|KH(jw)|=1&arg(H(jw))=-180度。

那如果是|KH(jw)|>1&arg(H(jw))=180度呢？ 因為每經(jīng)過一次環(huán)路，信號都會被進一步放大，因為反相，所以疊加出來的信號會變得越來越大。



所以當 |KH(jw)|>=1 arg(KH(jw))=180度， 系統(tǒng)都處于一個不穩(wěn)定的狀態(tài)。

用圖形示意，可能會比較直觀。



增益等于0dB對應(yīng)的頻率，稱為gain crossover frequency. 相位等于-180度對應(yīng)的頻率，稱為phase crossover frequency. 若系統(tǒng)穩(wěn)定，則要求gain crossover frequency
舉兩個例子，解釋一下，如何從電路到波特圖，再分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。



所以，如果電路只包含一個極點的話，那么這個系統(tǒng)肯定是穩(wěn)定的。

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可以看到，系統(tǒng)中相應(yīng)部件對最后波特圖的影響，比如說，原來系統(tǒng)處于不穩(wěn)定的狀態(tài)，但是當降低K的值時，系統(tǒng)則會變穩(wěn)定。

增益裕度和相位裕度 增益裕度和相位裕度都是衡量系統(tǒng)穩(wěn)定程度的方法。

在相位圖上，找到相位達到-180度時對應(yīng)的頻率，然后計算該頻率對應(yīng)的幅度值。如果|KH(jw)|180>=1，則該系統(tǒng)不穩(wěn)定；如果|KH(jw)|180<1,則系統(tǒng)穩(wěn)定。

而20log|KH(jw)|180即為增益裕度，代表相位達到-180度時對應(yīng)的幅度值與0dB的距離。

在波特增益圖上，找到|KH(jw)|=1的頻率，稱為w0dB，然后找到該頻率下KH(jw)w0dB的相位。

如KH(jw)w0dB的相位大于-180度，則系統(tǒng)穩(wěn)定。 KH(jw)w0dB的相位與-180度之間的差，稱為相位裕度。

一般取相位裕度為60度左右，此時任務(wù)系統(tǒng)處于一比較好的穩(wěn)定狀態(tài)。

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不想自己手工畫波特圖，怎么辦？ 計算機已如此普及，當然可以不用手工畫啦。matlab中有現(xiàn)成的函數(shù)。

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還有什么可以用到波特圖呢？ 那就是鎖相環(huán)。

當環(huán)路濾波器只有一個電容時，如下圖所示。

可以看到環(huán)路中只有兩個零極點，所以相位圖為接近-180度的一條直線，因此其總相位裕度基本為0，表面這個鎖相環(huán)是不穩(wěn)定的。

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解決問題的一個辦法是給電容加入一個串聯(lián)電阻R，這樣就引入了一個零點，從而對環(huán)路進行相位補償。

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在實際的應(yīng)用中，需要額外增加電阻電容低通濾波器，以濾掉一些高頻噪聲和電壓波動。其中最簡單的一種是在上述電容電阻兩端再加一個電容C1，通常C1遠小于積分電容C0，如下圖所示。



這就是我們常用的環(huán)路濾波器的結(jié)構(gòu)。





審核編輯：劉清