通過傅里葉變換來評(píng)估信噪比

傅里葉變換的提出讓人們看問題的角度從時(shí)域變成了頻域，多了一個(gè)維度。快速傅里葉變換算法的提出普及了傅里葉變換在工程領(lǐng)域的應(yīng)用，在科學(xué)計(jì)算和數(shù)字信號(hào)處理等領(lǐng)域，離散傅里葉變換（DFT）至今依然是非常有效的工具之一。

比如下圖是一個(gè)幅度為1、頻率為2Hz的正弦波和它的離散傅里葉變換后的結(jié)果。

信噪比（SNR）是信號(hào)與噪聲的比率，它是衡量通信或模擬系統(tǒng)性能的重要指標(biāo)之一，與傅里葉變換更是有千絲萬縷的聯(lián)系。在很多情況下，我們是通過傅里葉變換來評(píng)估信噪比，如果評(píng)估方法不對(duì)，很難的到我們期望的結(jié)果，經(jīng)常會(huì)事與愿違。

求解SNR的過程，我們是用‘評(píng)估SNR’來描述，這就是說我們無法精確計(jì)算出SNR，只能進(jìn)行評(píng)估，事實(shí)也是如此。

評(píng)估SNR的方法分為時(shí)域和頻域兩種。我們以一組離散樣本點(diǎn)為分析目標(biāo)，看下如何評(píng)估SNR，及其誤區(qū)。

時(shí)域估計(jì)SNR

Xs(n)為信號(hào)序列，Xn(n)為噪聲序列，則信號(hào)X(n)=Xs(n)+Xn(n)，是一組帶噪離散序列，在時(shí)域上評(píng)估X(n)的信噪比公式如下：

其意義為分別求取離散信號(hào)、噪聲功率和，計(jì)算二者之比。這里有個(gè)前提是，我們需要分離出信號(hào)與噪聲，然后才能求解，

然而問題也在于此，對(duì)于一段給定的離散時(shí)間序列，我們很難完全分離出信號(hào)和噪聲，所以時(shí)域評(píng)估SNR是有局限性的，而且不夠直觀，所以通常我們?cè)陬l域下求解。

頻域估計(jì)SNR

在頻域上的SNR計(jì)算原理和時(shí)域很接近，還是求信號(hào)功率與噪聲功率只比。最簡單的方法是在頻譜X(m)上設(shè)置閾值，閾值之上為信號(hào)，閾值之下為噪聲。這樣就會(huì)有閾值設(shè)置帶來的估計(jì)準(zhǔn)確性問題，同時(shí)信號(hào)頻帶范圍內(nèi)或多或少也會(huì)有噪聲疊加進(jìn)來，在頻域計(jì)算SNR也是一個(gè)近似。

SNR以dB作為單位，SNR(dB)=10*log10(SNR)。

我們往往使用Matlab評(píng)估SNR，Matlab是非常強(qiáng)大的數(shù)學(xué)工具，其集成了SNR計(jì)算函數(shù)，如果應(yīng)用不正確，誤差會(huì)非常大，無法得到預(yù)期結(jié)果，舉例如下。

下圖是一個(gè)幅度為1、頻率為2Hz的正弦波和它的離散傅里葉變換后的結(jié)果。

用Matlab SNR函數(shù)計(jì)算計(jì)算信噪比的結(jié)果如下，藍(lán)色為感興趣的信號(hào)成分，橙色為噪聲。這個(gè)頻域圖就可以表征SNR，橙色的噪聲數(shù)值越小、越低，說明信噪比越高、越好。即使紅色圓圈部分有一點(diǎn)噪聲，在評(píng)估單頻率成分信號(hào)的SNR時(shí)，這依然是一個(gè)非常有效的手段。

假如一信號(hào)x(n)=sin(4pit)+0.5sin(18pi*t),如下圖是一個(gè)幅度為1、頻率為2Hz的正弦波疊加幅度為0.5、頻率為9Hz的正弦波的結(jié)果。

用Matlab SNR函數(shù)計(jì)算計(jì)算信噪比的結(jié)果如下，藍(lán)色為感興趣的信號(hào)成分，橙色為噪聲，matlab舍棄了頻率為9Hz、能量少的成分，只計(jì)算了2Hz信號(hào)的信噪比。

所以倘若我們的感興趣信號(hào)比較復(fù)雜，就不能直接用SNR函數(shù)直接計(jì)算。

所以我們一定要在理解DFT與SNR關(guān)系的基礎(chǔ)上，正確使用matlab才能得到期望的SNR結(jié)果。

在過采樣中，信噪比、ADC有效位數(shù)、過采樣率是有千絲萬縷的聯(lián)系，了解了基本的概念后，我們一步一步理解過采樣的原理。

審核編輯：劉清