數(shù)學(xué)模型如何捕獲真實世界的信號失真

本文介紹數(shù)字預(yù)失真（DPD）的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，以及如何在收發(fā)器的微處理器和硬件中實現(xiàn)它。它解決了現(xiàn)代通信系統(tǒng)需要DPD的原因，并探討了數(shù)學(xué)模型如何捕獲真實世界的信號失真。

介紹

DPD 是許多 RF（射頻）工程師、信號處理愛好者和嵌入式軟件開發(fā)人員熟悉的首字母縮略詞。DPD在我們的蜂窩通信系統(tǒng)中無處不在，使功率放大器（PA）能夠有效地為天線提供最大功率。隨著5G推動基站的天線數(shù)量增加，我們的頻譜變得越來越擁擠，DPD已成為一項關(guān)鍵技術(shù)，允許開發(fā)高效，具有成本效益和規(guī)范兼容的蜂窩系統(tǒng)。

我們中的許多人根據(jù)自己的觀點對DPD有獨特的理解，無論是從純數(shù)學(xué)角度還是從微處理器上更受約束的實現(xiàn)。也許您是一名評估RF基站產(chǎn)品中DPD性能的工程師，或者對數(shù)學(xué)建模技術(shù)如何在現(xiàn)實世界系統(tǒng)中實現(xiàn)感到好奇的算法開發(fā)人員。本文旨在拓寬您的知識面，使您能夠從各個角度充分掌握該主題。

什么是DPD，為什么使用它？

當(dāng)RF信號從基站無線電輸出時（見圖1），在通過天線傳輸之前需要放大。射頻PA用于執(zhí)行此操作。在理想情況下，PA接受輸入信號并輸出與其輸入成比例的更高功率信號。它還以最節(jié)能的方式做到這一點，以便將提供給放大器的大部分直流電源轉(zhuǎn)換為信號輸出功率。

圖1.帶和不帶DPD的簡化無線電結(jié)構(gòu)框圖。

然而，這不是一個理想的世界。PA由晶體管制成，晶體管是有源器件，本質(zhì)上是非線性的?，F(xiàn)在，如果我們在PA的“線性”區(qū)域使用PA（此處為線性是一個相對術(shù)語;因此為引號），如圖2所示，則輸出功率與輸入功率相對成正比。這種方法的缺點是PA通常在非常低效的狀態(tài)下使用，提供的大部分功率都以熱量的形式損失。我們經(jīng)常希望在PA開始壓縮時使用它們。這意味著，如果輸入信號增加設(shè)定量（例如3 dB），PA輸出不會增加相同的量（可能僅增加1 dB）。顯然，此時信號被放大器嚴(yán)重失真。

圖2.PA輸入功率與輸出功率的關(guān)系圖（顯示采樣輸入/輸出信號的投影）。

這種失真發(fā)生在頻域中的已知位置，具體取決于輸入信號。圖3顯示了這些位置以及基頻與這些失真產(chǎn)物之間的關(guān)系。在RF系統(tǒng)中，我們唯一需要補償?shù)氖д媸悄切┙咏ㄐ盘柕氖д?，即奇階互調(diào)產(chǎn)物。系統(tǒng)中的濾波負(fù)責(zé)帶外產(chǎn)物（諧波甚至階次交調(diào)產(chǎn)物）。圖4顯示了RF PA在其壓縮點附近運行的輸出?；フ{(diào)產(chǎn)物（尤其是三階）清晰可見。它們看起來像所需信號周圍的“裙子”。

圖3.2 音輸入的互調(diào)和諧波失真位置。

圖4.2× 20 MHz載波通過SKY66391-12射頻PA。中心頻率 = 1850 MHz。

DPD旨在通過觀察PA輸出來表征這種失真，并在知道所需的輸出信號后改變輸入信號，使PA輸出更接近理想值。這只有在相當(dāng)具體的情況下才能有效地完成。我們需要配置放大器和輸入信號，使放大器有所壓縮，但不會完全飽和。

PA 失真建模背后的數(shù)學(xué)原理

看到希臘字母和其他數(shù)學(xué)符號是否往往會帶來對過去大學(xué)考試的可怕閃回？你并不孤單！當(dāng)人們得到的第一個參考文獻(xiàn)是一篇數(shù)學(xué)繁重的學(xué)術(shù)論文時，人們可能會不必要地被基礎(chǔ)知識所推遲。論文“RF功率放大器數(shù)字預(yù)失真的廣義記憶多項式模型”1是一項開創(chuàng)性的工作，介紹了廣泛采用的廣義記憶多項式 （GMP） 方法 DPD。如果您只是涉足信號處理方面的事情，那么介紹該主題可能會有點沉重。因此，作為開始，讓我們嘗試分解GMP方法，并更直觀地理解數(shù)學(xué)正在做什么。

Volterra系列是DPD的數(shù)學(xué)支柱。它用于用內(nèi)存對非線性系統(tǒng)進(jìn)行建模。內(nèi)存只是意味著系統(tǒng)的當(dāng)前輸出可以依賴于當(dāng)前和過去的輸入。Volterra系列非常通用（因此功能強大），用于電氣工程以外的許多領(lǐng)域。對于PA DPD，Volterra系列可以精簡，使其在實時數(shù)字系統(tǒng)中更具可實施性和穩(wěn)定性。GMP就是這樣一種瘦身的方法。

圖 5 描述了如何使用 GMP 對 PA 的輸入 x 與其輸出 y 之間的關(guān)系進(jìn)行建模。您將看到等式的三個獨立求和塊彼此非常相似。讓我們專注于下面以紅色突出顯示的第一個。|x（。..）|k項稱為輸入信號的包絡(luò)，其中 k 是多項式階。l 將內(nèi)存整合到系統(tǒng)中。如果 L一個= {0，1，2}，則模型允許輸出 y藥品監(jiān)督管理總局（n） 取決于當(dāng)前輸入 x（n） 和過去的輸入 x（n – 1） 和 x（n – 2）。圖 6 檢查了多項式階數(shù) k 對樣本向量的影響。矢量x是單個20 MHz載波，繪制在復(fù)基帶上。通過去除內(nèi)存組件簡化了GMP建模公式。x|x的圖|k與圖4中可見的真實失真有明顯的相似之處。

每個多項式階數(shù) （k） 和內(nèi)存滯后 （l） 都有一個相關(guān)的復(fù)權(quán)重 （a吉隆坡）。當(dāng)選擇了模型的復(fù)雜性（將包括k和l的值）時，有必要根據(jù)對已知輸入信號的PA輸出的實際觀察來求解這些權(quán)重。圖 7 將簡化的方程轉(zhuǎn)換為矩陣形式。使用的數(shù)學(xué)符號允許對模型進(jìn)行簡潔的表示。但是，對于DPD在數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)緩沖區(qū)上的實際實現(xiàn)，以矩陣表示法查看事物是最簡單且更具代表性的。

讓我們簡要看一下圖 6 中公式的第二行和第三行，為簡單起見，忽略了它們。請注意，如果 m 設(shè)置為零，則這些行將與第一行相同。這些線路允許在包絡(luò)項和復(fù)基帶信號之間添加延遲（正和負(fù)）。這些稱為滯后和前導(dǎo)交叉項，可以顯著提高DPD的建模精度。它們?yōu)槲覀儑L試模擬放大器的行為提供了額外的自由度。請注意，Mb， Mc， Kb和 Kc不包含零;否則，我們將重復(fù)第一行中的術(shù)語。

圖5.用于模擬PA失真的GMP。1

圖6.階數(shù) （k） 對信號 x 頻域中信號的影響圖。

圖7.將簡化的公式轉(zhuǎn)換為數(shù)據(jù)緩沖區(qū)上的矩陣運算（更接近數(shù)字實現(xiàn)方式）。

那么我們?nèi)绾未_定模型的順序、記憶項的數(shù)量以及我們應(yīng)該添加哪些交叉項呢？這就是一定數(shù)量的“黑魔法”進(jìn)入事物的地方。在某種程度上，我們可以從我們對失真物理學(xué)的知識中獲得指導(dǎo)。放大器的類型及其制造材料以及通過它播放的信號帶寬都會影響建模術(shù)語，并允許在該領(lǐng)域有經(jīng)驗的工程師對應(yīng)該使用哪種模型進(jìn)行限制。但是，在此之上還涉及一定程度的試驗和錯誤。

從數(shù)學(xué)角度要解決的問題的最后一個方面，既然有建模結(jié)構(gòu)可用，是如何求解加權(quán)系數(shù)。在實際場景中，傾向于求解上述模型的逆函數(shù)。事實證明，這些模型系數(shù)有一個很好的互惠性，因為相同的權(quán)重可用于對捕獲的PA輸出矢量進(jìn)行后失真，以消除非線性，并對通過PA發(fā)送的傳輸信號進(jìn)行預(yù)失真，使PA輸出看起來盡可能線性。圖8顯示了如何進(jìn)行權(quán)重系數(shù)估計和預(yù)失真的框圖。

圖8.描述建模和預(yù)失真間接實現(xiàn)的框圖。

對于逆模型，將圖 7 中給出的矩陣方程交換，得到 X? = Yw。此處矩陣 Y 的形成方式與 X 在另一種情況下的形成方式相同，如圖 9 所示。對于此示例，已包含內(nèi)存項，并且已減少包含多項式階數(shù)。為了求解w，我們需要得到Y(jié)的逆，Y不是正方形的（它是一個高而細(xì)的矩陣），所以這是使用矩陣“偽逆”來實現(xiàn)的（見公式1）。這在最小二乘意義上求解了 w，也就是說，它最小化了 X? 和 Yw 之間差的平方，這就是我們想要的！

這可以進(jìn)一步完善，以考慮到它正在具有不同信號的實時環(huán)境中應(yīng)用。在這里，系數(shù)通過從其先前的值更新來約束。μ 是一個介于 0 和 1 之間的常量值，用于控制每次迭代權(quán)重可以更改的程度。如果 μ = 1 且 w0= 0，則此方程立即恢復(fù)為基本最小二乘解。如果μ設(shè)置為小于 1 的值，則系數(shù)需要多次迭代才能收斂。

請注意，此處描述的建模和估計技術(shù)并不是執(zhí)行DPD的唯一方法。也可以使用基于動態(tài)偏差減少 （DDR） 的建模等技術(shù)來代替或補充它。描述的用于求解系數(shù)的估計技術(shù)也可以通過多種方式完成。鑒于這是一篇短文而不是一本書，讓我們把它留在那里。

我們?nèi)绾卧谖⑻幚砥髦袑崿F(xiàn)這一點？

好的，數(shù)學(xué)已經(jīng)完全涵蓋了。下一個問題是它如何應(yīng)用于現(xiàn)實世界的通信系統(tǒng)？它在數(shù)字基帶中實現(xiàn)，通常在微處理器或FPGA中實現(xiàn)。ADI公司的RadioVerse收發(fā)器產(chǎn)品（如ADRV902x系列）內(nèi)置微處理器內(nèi)核，其結(jié)構(gòu)經(jīng)過專門設(shè)計，可輕松實現(xiàn)DPD。?

圖9.矩陣形式的逆接近方程。此處包含了一些內(nèi)存。

圖 10.具有一個記憶抽頭和一個三階交叉項元件的三階情況的預(yù)失真計算。

嵌入式軟件中的DPD實現(xiàn)有兩個不同的方面。第一個是DPD執(zhí)行器，它是實時執(zhí)行實時傳輸數(shù)據(jù)的預(yù)失真的地方，第二個是DPD自適應(yīng)引擎，它是根據(jù)PA輸出的觀察結(jié)果更新DPD系數(shù)的地方。

如何在微處理器或類似處理器中實時實現(xiàn)DPD和許多其他信號處理概念的關(guān)鍵是通過使用查找表（LUT）。LUT 允許用更簡單的數(shù)組索引操作代替昂貴的運行時計算。讓我們考慮DPD執(zhí)行器如何將預(yù)失真應(yīng)用于傳輸?shù)臄?shù)據(jù)樣本。符號如圖 8 所示，其中 u（n） 是要傳輸?shù)臄?shù)據(jù)的原始樣本，x（n） 是預(yù)失真版本。圖 10 顯示了在給定場景中獲得一個預(yù)失真樣本所需的計算。這是一個相對有限的示例，最高多項式階數(shù)為三階，只有一個記憶抽頭和一個交叉項。即使對于這種情況，顯然也需要大量的乘法、冪和加法計算來獲得這一個數(shù)據(jù)樣本。

這就是LUT可以減輕實時計算負(fù)擔(dān)的地方。圖10可以改寫為圖11，其中將在LUT中輸入的數(shù)據(jù)變得更加明顯。每個LUT都包含|u（n）|的大量可能值的公式中突出顯示的元素的結(jié)果。分辨率取決于可在可用硬件中實現(xiàn)的LUT的大小。電流輸入樣本的幅度根據(jù)LUT的分辨率進(jìn)行量化，并用作索引，以訪問給定輸入的正確LUT元件。

圖 11.重新組合方程元素以顯示LUT的結(jié)構(gòu)。

圖12顯示了如何將LUT集成到我們示例案例的完整預(yù)分配執(zhí)行器實現(xiàn)中。請注意，這只是眾多可能實現(xiàn)中的一個。在保持相同輸出的同時可以進(jìn)行更改的一個例子是延遲元素 z–1，可以移動到 LUT2 的右側(cè)。

圖 12.使用 LUT 可能實現(xiàn) DPD 的框圖。

自適應(yīng)引擎的任務(wù)是求解用于計算執(zhí)行器中LUT值的系數(shù)。這涉及求解方程1和2中描述的w向量。偽逆矩陣運算，（YHY）-1YH，計算量很大。等式 1 可以改寫為

如果 CYY= YHY 和 CYx= YHx，則等式 3 變?yōu)?/p>

CYY是一個方陣，可以分解為上三角矩陣L及其共軛轉(zhuǎn)置（CYY=LHL）使用喬列斯基分解。這允許我們通過引入一個虛擬變量 z 并求解它來求解 w，如下所示：

然后將這個虛擬變量替換回去以求解

因為L和LH分別為上三角矩陣和下三角矩陣，公式5和公式6易于求解，計算費用最低，得到w。每次運行自適應(yīng)引擎并找到 w 的新值時，都需要更新執(zhí)行器 LUT 以反映它們。自適應(yīng)引擎可以根據(jù)對PA輸出的觀察或操作員對要傳輸?shù)男盘栕兓牧私?，以設(shè)定的定期間隔或更不規(guī)則的間隔執(zhí)行。

在嵌入式系統(tǒng)中實現(xiàn)DPD需要大量的制衡，以確保系統(tǒng)的穩(wěn)定性。傳輸?shù)臄?shù)據(jù)緩沖區(qū)和捕獲緩沖區(qū)數(shù)據(jù)在時間上對齊至關(guān)重要，以確保它們之間建立的數(shù)學(xué)關(guān)系是正確的，并且在隨著時間的推移應(yīng)用時成立。如果失去這種對齊，則自適應(yīng)引擎返回的系數(shù)將無法正確預(yù)扭曲系統(tǒng)，并可能導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。還應(yīng)檢查預(yù)失真的執(zhí)行器輸出，以確保信號不會使DAC飽和。

結(jié)論

希望本文通過檢查底層數(shù)學(xué)及其在硬件中的實現(xiàn)，解開了DPD的一些謎團(tuán)。這只是這個迷人主題的冰山一角，可能會促使讀者進(jìn)一步研究信號處理技術(shù)在通信系統(tǒng)中的應(yīng)用。Pratt和Kearney的研究是關(guān)于DPD應(yīng)用于有線通信系統(tǒng)中超寬帶寬用例的良好來源。2ADI公司的RadioVerse收發(fā)器產(chǎn)品具有獨特的優(yōu)勢，可集成DPD等算法，為客戶提供高度集成的RF硬件和可配置的軟件工具。

審核編輯：郭婷