從繪圖模式角度來識別應(yīng)力結(jié)果顯示中的“假象”

眾所周知，有限元分析中的應(yīng)力計算是一個人們經(jīng)常討論的話題。本文結(jié)合前段時間一位名叫Marcus的網(wǎng)友(以下簡稱小M)發(fā)來的問題，從另一個工程師們常常忽略的方面——軟件繪圖顯示設(shè)置的角度來談?wù)剳?yīng)力結(jié)果的問題，希望能引起讀者的思考和共鳴。

一、寫在文前

實際上，有限元模型的應(yīng)力解答分成很多種，以ANSYS軟件為例，在Mechanical APDL和Mechanical（WB）中就包括積分點應(yīng)力、單元節(jié)點應(yīng)力、平均節(jié)點應(yīng)力、僅表面平均的節(jié)點應(yīng)力、跨體平均節(jié)點應(yīng)力、不跨體平均節(jié)點應(yīng)力等等。即便是基于同一個結(jié)果文件，繪制出來的應(yīng)力分布圖也會有所差異。

在很多情況下，不同軟件之間比較計算結(jié)果也存在類似的問題。在比較有限元分析的應(yīng)力結(jié)果時，也需要統(tǒng)一顯示選項的標(biāo)準(zhǔn)。是不是感覺會有點繞 ？當(dāng)然這里說的顯示選項統(tǒng)一，并不總能保證可以發(fā)現(xiàn)結(jié)果在精度上是否存在問題，但也的確是軟件使用者不能忽視的問題的另一個方面。下面來看具體的問題。

二、教你識別應(yīng)力結(jié)果顯示中的“假象”

小M最初發(fā)來的問題，只是兩張在ANSYS Mechanical APDL中顯示的應(yīng)力分布圖片，他發(fā)現(xiàn)在不同的顯示模式下，應(yīng)力等值線圖中標(biāo)注的最大應(yīng)力值存在著明顯的差異，那么到底哪個才是對的呢？

針對這個問題，我?guī)退M行了分析。在討論問題的過程中，小M又陸續(xù)發(fā)來了一系列不同模型的計算結(jié)果的圖片，這些進一步豐富了我們下面所要討論的問題。

實際上，這個問題至少可以從顯示模式、單元類型、網(wǎng)格密度等幾個不同的方面來進行討論。為了讓讀者能跟上我們的思路，還是大致按照小M的提問和我的回答過程來敘述這個問題。

1、線性四面體單元較粗網(wǎng)格劃分的情況

小M最初發(fā)來的是兩張如下所示的應(yīng)力等值線圖。

在這個問題中，涉及到Mechanical APDL中增強圖形顯示模式?？赡墁F(xiàn)在使用Mechanical APDL的用戶已經(jīng)不多，更多的用戶會選擇使用ANSYS Workbench中的Mechanical進行結(jié)構(gòu)計算。不過即使是Workbench用戶，繼續(xù)閱讀本文下面的內(nèi)容也會有所啟發(fā)，因為相關(guān)問題的背景原理是相通的。

在這兩張應(yīng)力圖中，增強顯示模式的應(yīng)力最大值大約為218，而非增強模式則約為204，差異還是很明顯的。那么應(yīng)以哪一個為準(zhǔn)呢？我第一反應(yīng)是這個問題的網(wǎng)格是不夠精密的，所以就讓小M發(fā)一下這次計算所采用的網(wǎng)格圖。

如下圖所示，這是他發(fā)來的網(wǎng)格圖，這次計算是采用的線性的四面體單元。

為了跟后面的計算結(jié)果相區(qū)別，我們姑且將這個模型稱之為較粗的線性四面體網(wǎng)格模型。

我在看到這個網(wǎng)格后，建議小M加密網(wǎng)格再來算一次，一方面能夠縮小兩種顯示模式下的應(yīng)力值的差距，另一方面，也必然能夠得到更精確的結(jié)果。

2、局部加密的線性四面體網(wǎng)格情況

小M也是很認(rèn)真，加密到局部幾乎是黑乎乎的程度，以至于不得不將視圖局部放大，才能看到所關(guān)心部位在加密后的網(wǎng)格情況，如下圖所示。

基于局部加密后的網(wǎng)格，分別得到增強顯示模式以及非增強顯示模式下的應(yīng)力分布結(jié)果如下圖所示。

從上述顯示的應(yīng)力結(jié)果可知，是否采用增強顯示模式，最大應(yīng)力值已經(jīng)幾乎沒有什么差異了。而且顯示的應(yīng)力最大值也與較粗網(wǎng)格的結(jié)果有了顯著的不同，精度的話肯定提高了，但是顯示云圖上似乎毛毛刺還不是很“絲滑”，這個結(jié)果的精度到底怎么樣呢？這可能還需要結(jié)合其他單元的計算結(jié)果進行橫向的綜合比較。由此可見，線性的四面體單元的確效率不高，因為網(wǎng)格的確已經(jīng)很密了。

那么，能不能基于上述結(jié)果簡單下結(jié)論，即：網(wǎng)格較粗時不同顯示模式的應(yīng)力數(shù)值就會有顯著差異，而細致一些的網(wǎng)格就不會有差異呢？答案其實是否定的。目前只能說，線性四面體單元加密后的計算結(jié)果，對于顯示模式變得不敏感了。

另一方面，四面體網(wǎng)格的應(yīng)力結(jié)果在不同顯示模式下的差異暴露出了計算精度（網(wǎng)格密度）方面存在的問題。但是，能不能反過來說不同顯示模式下沒有差異，就說明精度足夠呢？答案同樣是否定的。

What？網(wǎng)友小M感覺已經(jīng)被我徹底繞暈了！可能很多讀者讀到這里時也都有著和小M一樣的感受吧？

為了繼續(xù)解答大家的疑問，我們接著往下看小M同學(xué)分析的六面體網(wǎng)格情況。

3、較粗的線性六面體網(wǎng)格劃分情況

如下圖所示為線性的六面體單元的網(wǎng)格，為了與后面的計算相區(qū)分，我們姑且稱之為較粗的線性六面體單元網(wǎng)格。注意，這個模型并非全六面體網(wǎng)格，但至少在關(guān)心的區(qū)域是六面體的。

基于這一網(wǎng)格計算的應(yīng)力解答，分別在增強顯示模式和非增強顯示模式下提取應(yīng)力分布圖，如下圖所示。

由上述計算結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，采用線性的六面體網(wǎng)格劃分時，即使網(wǎng)格較粗，但是打開和關(guān)閉增強顯示模式，等值線圖顯示的應(yīng)力最大值卻幾乎沒有差異。

但是另一方面，也注意到應(yīng)力的數(shù)值和前面加密的線性四面體網(wǎng)格相比，卻有著顯著的差別。即便應(yīng)力的分布較為“絲滑”，也不能夠認(rèn)定其是準(zhǔn)確的。

小M認(rèn)為，既然這個粗的六面體網(wǎng)格的結(jié)果在兩種顯示模式下都沒有區(qū)別了，那么這個線性六面體單元加密后應(yīng)該更加沒有區(qū)別。饒是如此，他還是計算了下面的加密線性六面體網(wǎng)格的情況。

4、較細的線性六面體網(wǎng)格情況

小M繼續(xù)發(fā)來了較細的線性六面體單元網(wǎng)格圖，如下圖所示。

基于局部加密的線性六面體單元計算的應(yīng)力結(jié)果，分別得到增強和非增強兩種圖形顯示模式下的應(yīng)力分布圖如下。

由上述計算結(jié)果可知，線性六面體單元在網(wǎng)格加密后的結(jié)果不出所料，對不同的顯示模式依然不敏感。另一方面，從應(yīng)力的最大數(shù)值上來看，倒是與加密的線性四面體網(wǎng)格的計算結(jié)果較為接近了。

5、較粗二次單元四面體網(wǎng)格情況

緊接著，小M又計算了二次單元的四面體網(wǎng)格情況，網(wǎng)格密度大致與前面線性四面體單元較粗的網(wǎng)格水平相當(dāng)，如下圖所示。

基于這個網(wǎng)格的應(yīng)力計算結(jié)果，分別提取了打開或關(guān)閉增強顯示模式下的應(yīng)力等值線圖，如下圖所示。

由上述結(jié)果可知，采用二次的四面體單元進行劃分時，不同顯示模式的結(jié)果還是有著比較明顯的差異，但這種差異顯然沒有線性單元那么顯著。另一方面，從應(yīng)力的最大值角度來看，與前面加密網(wǎng)格的線性四面體單元、線性六面體單元的結(jié)果也都很接近了。

至此，很多人可能還想看看二次四面體網(wǎng)格加密情況的計算結(jié)果，實際上已經(jīng)沒有必要了。

三、結(jié)果匯總與討論

為了對計算結(jié)果進行比較，首先把以上各種情況的結(jié)果匯總到下面的表格中，圖中應(yīng)力數(shù)值均精確到整數(shù)。

由上述表格中匯總的數(shù)據(jù)比較，結(jié)合ANSYS手冊中關(guān)于增強顯示模式的說明，可以得到如下幾點認(rèn)識或結(jié)論：

1、結(jié)論總結(jié)

(1)無論線性單元還是二次單元，當(dāng)采用四面體劃分時，是否選擇增強模式顯示，應(yīng)力結(jié)果的最大值都存在顯著的差異。之所以會有這樣的差異，是由于增強顯示模式在顯示應(yīng)力解時，只針對實體的外表面單元進行平均，而不考慮內(nèi)部單元。如果四面體單元在外表面僅有一個節(jié)點而其余部分均處于體的內(nèi)部時，顯然是不參與計算的，因此四面體單元無論是線性還是二次，在兩種模式下顯示的應(yīng)力結(jié)果會有顯著差異。而且，由于打開增強模式時，由于參與平均的單元數(shù)少且表面應(yīng)力值一般較大，因此其顯示的數(shù)值一般更高，即偏于“保守”。這里對保守加了引號的原因，是因為這并不意味著偏于安全。

(2)是否打開增強模式下的應(yīng)力數(shù)值差異會隨著四面體網(wǎng)格的加密而變得不顯著。盡管沒有讓小M再補充計算二次四面體單元網(wǎng)格加密后的情況，但結(jié)論也肯定是成立的。

(3)當(dāng)采用六面體網(wǎng)格劃分時，由于表面的節(jié)點僅屬于表層單元，因此無論增強模式打開與否，因此顯示的應(yīng)力數(shù)值幾乎沒有差異。當(dāng)然，加密后也同樣沒有差異。表格中盡管沒有對二次六面體單元的情況進行計算，結(jié)論也肯定是成立的。在這里需要注意的是，線性六面體單元計算的情形，即使兩種顯示模式下的結(jié)果數(shù)值沒有差異，且應(yīng)力的等值線圖也很“絲滑”了，也不能簡單判定這個計算結(jié)果就是準(zhǔn)確的。

2、討論：到底哪一個應(yīng)力結(jié)果是對的？

① 那么到底哪種情況下的應(yīng)力結(jié)果是準(zhǔn)確的呢？

是的，到目前為止還沒有給出這個問題的答案，這是因為這個問題并不是本文所討論的重點。實際上，應(yīng)力的數(shù)值精確與否跟圖形顯示模式的選取之間沒有實質(zhì)性的關(guān)系，注意不是沒有關(guān)系，而是沒有實質(zhì)性的關(guān)聯(lián)。

② 哪個結(jié)果更準(zhǔn)確，這其實是屬于另一個問題。

前面的問題僅僅是在討論不同的顯示模式對結(jié)果數(shù)值顯示的影響，而并不涉及哪個分析方案計算得出的精度更高。

③ 下面簡單討論一下上述問題計算結(jié)果的精度問題。

由于二次四面體單元的插值函數(shù)包含完備的二次項，因此它的計算結(jié)果精度要高一些。另外，線性單元加密后無論是四面體還是六面體，計算結(jié)果也比較接近了，且與二次四面體單元的計算結(jié)果的差異也僅在2%左右，這幾個數(shù)值幾乎已經(jīng)是一致的了，因此可以認(rèn)為這些解答都已經(jīng)足夠準(zhǔn)確。

當(dāng)然，與二次四面體單元的較粗網(wǎng)格相比，線性單元要達到相似精度，就需要進行網(wǎng)格加密。本問題中，小M實際采用的線性單元，其實是SOLID185的四面體退化形式以及六面體形式，這些線性單元的插值函數(shù)僅包含交叉乘積項而沒有完備的二次項，因此只有使用相對較密的網(wǎng)格才能逼近問題的正確解答。

綜上所述，應(yīng)力計算是有限元分析中很重要的方面。拋開計算精度不講，查看應(yīng)力的數(shù)值時，還需要注意顯示模式選擇方面所帶來的差異性。在不同的軟件進行結(jié)果對比時，尤其要注意這類問題，在模式上不進行對標(biāo)，僅查看和比較數(shù)值是沒有意義的。

至此，小M終于徹底明白了，讀者朋友們明白了嗎？

[編者按]

本文中，作者對一個看似簡單的問題進行了認(rèn)真的剖析，針對網(wǎng)友小M的問題進行了深入淺出、由此及彼、由表及里的全面講解。實際上，這也折射出作者在授課過程中一貫的技術(shù)風(fēng)格——善于從實踐中發(fā)現(xiàn)問題，并基于扎實的理論基礎(chǔ)知識和對軟件應(yīng)用的深刻理解，在深入細致的分析后得到正確的認(rèn)知。

審核編輯 ：李倩