在FFT應用中為什么要采用時間窗呢？

傅里葉變換(FFT)實現(xiàn)了時域到頻域的轉換，是信號分析中最常用的基本功能之一。本文將描述FFT應用中為什么要采用時間窗，以及RBW與時間窗的關系。

FFT變換是在一定假設下完成的，即認為被處理的信號是周期性的。圖1給出了一正弦信號的采集樣點波形，如果對Frame1作FFT運算，則會對其進行周期擴展。顯然，在周期擴展的時候，造成了樣點的不連續(xù)，樣點不連續(xù)等同于相位不連續(xù)，相當于引入了相位調制，這將導致產(chǎn)生額外的頻率成分，該現(xiàn)象稱為頻譜泄露。

圖1. 周期擴展引起樣點的不連續(xù)

頻譜泄露產(chǎn)生了原本信號中并不包含的頻率成分，如圖2所示，信號的頻率本應只在虛線位置，但由于樣點不連續(xù)，F(xiàn)FT之后導致產(chǎn)生了諸多頻率點，如圖所示的實線位置。頻譜泄露會擾亂測試，尤其在觀測小信號時，較強的頻譜泄露成分可能淹沒比較微弱的信號。

圖2. 樣點不連續(xù)引起頻譜泄露

如何避免或者降低頻譜泄露呢？這就需要使用下文介紹的時間窗(Window) 技術。

如果能夠消除樣點不連續(xù)，就可以消除頻譜泄露。為了實現(xiàn)這一點，需要引入時間窗 (Window)，時間窗包含的樣點數(shù)目與信號相同，而且兩端的樣點值通常為0。在FFT之前，時間窗與波形相乘，周期擴展后可以保證樣點的連續(xù)性。

圖3. 通過引入時間窗可改善頻譜泄露

時間窗相當于一個濾波器，不同的時間窗具有不同的頻響特性，比如邊帶抑制、矩形因子等，相應的幅度測試精度也不同。雖然基于FFT的頻譜分析中沒有IF filter，但是依然有RBW的概念，時間窗就決定了RBW的形狀和大小。

RBW稱為分辨率帶寬，決定了頻率分辨率，RBW越小，分辨率越高。RBW與時間窗寬度(即Window Time) 成反比，但即使時間窗寬度相同，不同的時間窗類型對應的RBW也不同，存在一個因子 k ，并滿足如下關系：

下面以矩形窗為例，RBW與時間窗寬度有什么關系呢？矩形窗的雙邊帶頻譜為 Sa(ω) 函數(shù)，如圖4所示，假設窗口時間為T，則頻率為** ±N*2π/T** (N為非零整數(shù))處均為零點。矩形窗的雙邊帶頻譜可以寫為如下表達式：

圖4. 矩形窗的頻譜特性(雙邊帶頻譜)

對于圖4所示的頻譜，相對峰值電平下降3dB的頻點位于何處？從電壓的角度講，下降3dB的頻點處，幅值將為峰值的 √2/2 。

簡便起見，令sin(x)/x=√2/2 ，則x≈1.39 。經(jīng)計算ω=2.78/T ，f=ω/2π≈0.443/T 。圖4所示的頻譜中，3dB帶寬為：

圖5. x=1.39處，幅值下降3dB

如前所述，F(xiàn)FT應用中會將信號周期擴展，因此FFT是將信號當作一個周期信號來對待的。FFT得到的頻點也是離散的，這些離散的頻點稱為freq. bin，兩個相鄰bin之間的頻間距為擴展周期的倒數(shù)，擴展周期即為時間窗的寬度。bin間距決定了頻率分辨率，間距越小，頻率分辨率越高。

類似于掃頻式頻譜分析， FFT頻譜分析中也有RBW****的概念，盡管不存在 IF filter 。 在****FFT 頻譜分析中， RBW決定于時間窗幅頻特性的3dB 帶寬。 不同的時間窗類型，具有不同的****RBW 表達式。 對于矩形窗， RBW****為

從上式可以看出，同是表征頻率分辨率的參數(shù)，矩形窗的RBW并不等于bin間距，而是小于bin間距。頻譜分析應用中通常提及RBW，但RBW與bin間距存在如下關系

常見的時間窗類型包括：

Kaiser、Rectangular、Hamming、Hanning、Blackman-Harris、Flat-Top等。下圖給出了不同時間窗類型對應的k因子大小。不同的時間窗，頻譜泄露、幅度測試精度及RBW均不同，測試時應該如何選擇呢，后文將有詳細介紹。

圖6. 不同時間窗類型對應的k因子不同