FFT卷積是什么？FFT卷積基本過程描述

信號(hào)與系統(tǒng)基礎(chǔ)之卷積定理：頻域乘積相當(dāng)于時(shí)域卷積，千萬不要問我什么，可以去看看教材上的公式推導(dǎo)。

運(yùn)算效率對(duì)比分析，使用FFT快速卷積法（實(shí)線）明顯比時(shí)域卷積乘法次數(shù)要少，一般而言64點(diǎn)以上，F(xiàn)FT法就具有優(yōu)勢(shì)。

FFT卷積基本過程描述：設(shè)信號(hào)x長(zhǎng)度n，卷積系數(shù)h長(zhǎng)度為k，則時(shí)域卷積結(jié)果長(zhǎng)度為L(zhǎng)=n+k-1，為了采用高效的基2型FFT算法，需要將信號(hào)和系數(shù)均在末尾補(bǔ)零擴(kuò)展到最接近的2的N次方長(zhǎng)度m（比如n=32，k=16，則L=32+16-1=47，最近的2的N次方為64），然后分別做m點(diǎn)FFT變換到頻域后再復(fù)乘，最后IFFT變回時(shí)域。

從上理論就講說這么多，更詳細(xì)的可看看相關(guān)專著書籍，接下來用matlab仿真來看看運(yùn)算過程的中間環(huán)節(jié)是什么樣；

clc;
clear;
%%設(shè)定信號(hào)參數(shù)
T=10e-6;           %信號(hào)長(zhǎng)度：us
f0=3e6;           %信號(hào)1：3MHz
f1=8e6;           %信號(hào)2：8MHz
fs=80e6;            %信號(hào)采樣率：MHz
t=-T/2:1/fs:T/2-1/fs; %時(shí)間序列


%加載fdatool設(shè)計(jì)的濾波器FIR系數(shù)
load("coef.mat");
%濾波器頻率響應(yīng)
freqz(coef,1,200,fs);
%低通濾波器參數(shù)：3MHz帶寬，截止頻率4MHz，帶外抑制80dbc

信號(hào)和變量長(zhǎng)度

信號(hào)長(zhǎng)度800，系數(shù)長(zhǎng)度134，則卷積結(jié)果長(zhǎng)度為800+134-1=933，因此需要補(bǔ)零擴(kuò)展到1024點(diǎn)；

%生成信號(hào)：模擬采樣過程
if_sig=cos(2*pi*f0*t)+cos(2*pi*f1*t);
%加入白噪聲SNR=30dB
if_sig=awgn(if_sig,30,'measured');    
% if_sig=round(8192*if_sig); %中頻信號(hào)
plot(if_sig);title('原始信號(hào)');

plot(coef);title('濾波器系數(shù)的時(shí)域');
coef_fft = fft(coef,1024);
len=length(coef_fft);
f_x=(0:len-1)*fs/len;%頻率序列
f_x=f_x/1e6;
plot(f_x(1:len/2+1),10*log10(abs(coef_fft(1:len/2+1))));
title('濾波器系數(shù)的頻域');
xlabel('頻率/MHz');ylabel('幅度/dB');

此處留一個(gè)坑，下回繼續(xù)

sig_fft = fft(if_sig,1024);
plot(f_x,20*log10(abs(sig_fft)));
title('原始信號(hào)做1024點(diǎn)FFT');
xlabel('頻率/MHz');ylabel('幅度/dB');

%頻域相乘，注意此處為復(fù)數(shù)乘法
conv_fft = sig_fft.*coef_fft;
plot(f_x,20*log10(abs(conv_fft)));
title('信號(hào)和系數(shù)頻域乘積后');
xlabel('頻率/MHz');ylabel('幅度/dB');

上圖為頻域?yàn)V波后結(jié)果，可以看到8MHz的帶外信號(hào)被濾除，剩下3MHz的帶內(nèi)信號(hào)；接下來就是變換回時(shí)域波形。

%IFFT變換還原到時(shí)域
fft_filter_out = ifft(conv_fft);
plot(fft_filter_out);
title('FFT卷積頻域?yàn)V波后的信號(hào)波形');

為了方便對(duì)比，下邊給出通過時(shí)域卷積方式的運(yùn)算結(jié)果

%時(shí)域卷積方式濾波
conv_filter_out = conv(if_sig,coef);
plot(conv_filter_out);xlim([1,1200]);
title('時(shí)域卷積方式濾波后的信號(hào)波形');

從上面時(shí)域處理、頻域處理的結(jié)果可以看到，兩者處理后時(shí)域處理的結(jié)果和頻域處理后的前933個(gè)點(diǎn)的結(jié)果相同。