計(jì)算機(jī)定點(diǎn)數(shù)據(jù)解說

回顧計(jì)算機(jī)中的數(shù)字

在學(xué)習(xí)計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)的過程中我們已經(jīng)知道計(jì)算機(jī)是基于二進(jìn)制對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行存儲(chǔ)和運(yùn)算的。學(xué)習(xí)C語言時(shí)我們又知道了C語言中常見的數(shù)據(jù)類型有:char,int,long int等 signed 或 unsigned 整數(shù)數(shù)據(jù)，以及float和double型的小數(shù)數(shù)據(jù)。

或看過我之前文章的朋友肯定也明白了，無論使用何種語言編寫的何種程序，最后進(jìn)入處理器執(zhí)行的都是一串二進(jìn)制數(shù)據(jù)，是不是突然又想不明白處理器到底是怎么區(qū)分這些數(shù)據(jù)類型了？這不又繞回原來說的底層邏輯了嗎，你學(xué)微機(jī)原理，學(xué)匯編指令不就是幫你解決這個(gè)問題的？回過頭去研究明白了那以后何止單片機(jī)軟件開發(fā)呢，芯片設(shè)計(jì)，系統(tǒng)、編譯器開發(fā)不都能勝任了。扯遠(yuǎn)了，先回到正題。

對(duì)于帶小數(shù)的數(shù)據(jù)也是如此，同樣需要將十進(jìn)制數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)為二進(jìn)制，并規(guī)定其符號(hào)位，指數(shù)位以及小數(shù)位。比如IEEE.754標(biāo)準(zhǔn)（即IEEE二進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)算術(shù)標(biāo)準(zhǔn)）中對(duì)float,double存儲(chǔ)邏輯的規(guī)定：

定點(diǎn)數(shù)據(jù)

一般情況下我們會(huì)將有小數(shù)的數(shù)據(jù)稱為浮點(diǎn)型數(shù)據(jù)，float為單精度浮點(diǎn)數(shù)據(jù),double為雙精度浮點(diǎn)數(shù)據(jù)。正如上面所說的我們計(jì)算機(jī)使用的是以浮點(diǎn)法保存小數(shù)型數(shù)據(jù)的。與之對(duì)應(yīng)的肯定就會(huì)有以定點(diǎn)的方式保存小數(shù)數(shù)據(jù)的方法。

定點(diǎn)是指表示一個(gè)數(shù)值時(shí)，小數(shù)點(diǎn)之后的位數(shù)是固定的，有時(shí)候小數(shù)點(diǎn)之前的位數(shù)是固定的。上面用浮點(diǎn)表示的小數(shù)，小數(shù)點(diǎn)的位置不是固定的，可以根據(jù)有效位數(shù)而浮動(dòng)。

浮點(diǎn)數(shù)與定點(diǎn)數(shù)表示

定點(diǎn)小數(shù)

定點(diǎn)整數(shù)

定點(diǎn)數(shù)類型的值其實(shí)就是個(gè)整數(shù)，需要額外做比例進(jìn)位，進(jìn)多少位需要根據(jù)具體的定點(diǎn)數(shù)類型決定。例如 1.23 使用 1/1000 縮放系數(shù)的定點(diǎn)數(shù)表示時(shí)是 1230；1,230,000 使用 1000 縮放系數(shù)的定點(diǎn)數(shù)表示也是 1230。與浮點(diǎn)數(shù)不同，相同類型的定點(diǎn)數(shù)中所有值的縮放系數(shù)都是一致的，在計(jì)算過程中也保持不變。此表示法可以用標(biāo)準(zhǔn)的整數(shù)算術(shù)邏輯單元來進(jìn)行有理數(shù)的計(jì)算。

為了效率考量，縮放系數(shù)（scaling factor）一般會(huì)是基數(shù)b（2 或是 10）的正冪次，或是負(fù)冪次，因此實(shí)際內(nèi)部仍然可以用類似整數(shù)的方式處理。不過縮放系數(shù)也需依應(yīng)用而定。因此許多的數(shù)字可能其數(shù)值其實(shí)是用二進(jìn)制記錄，但為了使用方便人類讀寫，縮放系數(shù)仍選擇10的冪，10的冪的縮放系數(shù)也可以配合國際單位制，因?yàn)檫x擇特定的縮放系數(shù)，可能相當(dāng)于使用另外一個(gè)大小較適合的單位，例如使用厘米或微米，而不是使用米，或者是以1/3600為縮放系數(shù)的定點(diǎn)數(shù)來表示以小時(shí)為單位的時(shí)間值，精確到秒。

采用定點(diǎn)計(jì)數(shù)法時(shí)，相鄰兩個(gè)數(shù)之差總是等于其中一個(gè)數(shù)的值，而采用浮點(diǎn)計(jì)數(shù)法時(shí)，相鄰數(shù)并不是均勻分布的。另外浮點(diǎn)計(jì)數(shù)的計(jì)數(shù)范圍是比定點(diǎn)計(jì)數(shù)范圍要大得多，并且一般場景中浮點(diǎn)計(jì)數(shù)精度往往也比定點(diǎn)計(jì)數(shù)精度高，正因?yàn)槿绱?，一般情況下浮點(diǎn)計(jì)數(shù)法更適合于一般應(yīng)用場景，一般老師在課堂上也不會(huì)做詳細(xì)介紹，所以我們對(duì)定點(diǎn)數(shù)感到陌生也完全不奇怪。

所以現(xiàn)在大多數(shù)處理器芯片都是帶有浮點(diǎn)運(yùn)算器（FPU），只有在特殊的應(yīng)用中才使用定點(diǎn)數(shù)運(yùn)算，例如某些特定應(yīng)用下的數(shù)字信號(hào)處理芯片（DSP）或一些低價(jià)的嵌入式系統(tǒng)微處理器（MCU），這類的應(yīng)用強(qiáng)調(diào)高需求速度，低電力需求及小集成電路區(qū)域，例如影像、視頻或圖片等數(shù)字信號(hào)處理，進(jìn)行傅里葉變換以及數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)，或是其他一些這種數(shù)字表示法比較適合的場景，如貨幣計(jì)算，儀器測量計(jì)數(shù)等，這些都是有特定的精度規(guī)則，使用浮點(diǎn)計(jì)數(shù)反而可能帶來更大的芯片資源消耗或成本開支，并且這些情況運(yùn)算速度也不如定點(diǎn)運(yùn)算快。

當(dāng)然平時(shí)使用時(shí)我們也可以編寫一些特定程序?qū)@些格式表示的數(shù)值范圍進(jìn)行驗(yàn)證。

#include < stdio.h >
#include < stdint.h >
#include < math.h >

int main()
{
    int16_t q_max = 32767; // 0x7FFF
    int16_t q_min = -32768; // 0x8000
    float f_max = 0;
    float f_min = 0;
    printf("rn");
    for (int8_t i = 15; i >=0; i--) 
    {
        f_max = (float)q_max / pow(2,i);
        f_min = (float)q_min / pow(2,i);

        printf("t|Q%dt|Q%d.%dt|%ft|%ft|rn",
               i,(15-i),i,f_max,f_min);
    }
    return 0;
}

定點(diǎn)與浮點(diǎn)相互轉(zhuǎn)化

在一些功能復(fù)雜的處理器中會(huì)同時(shí)支持兩種數(shù)據(jù)處理方式，比如STM32G4系列的芯片上攜帶的FMAC(filtermath accelerator)支持的定點(diǎn)DSP處理功能，使用的定點(diǎn)格式為Q1.15。

在這種既有定點(diǎn)運(yùn)算又有浮點(diǎn)運(yùn)算是處理器上做開發(fā)時(shí)我們不可避免的都會(huì)涉及到定點(diǎn)與浮點(diǎn)相互轉(zhuǎn)化的問題，這時(shí)需要注意進(jìn)行處理數(shù)據(jù)！

定點(diǎn)運(yùn)算思的擴(kuò)展

在某些特定情況下定點(diǎn)運(yùn)算對(duì)算法的效率優(yōu)化有著出奇的效果，如果你對(duì)這方面感興趣不妨可以研究一下經(jīng)典的快速平方根算法。

另外，我們平時(shí)做單片機(jī)開發(fā)時(shí)在一些比較低端的芯片中，比如C51單片機(jī)，請(qǐng)切記不要輕易使用浮點(diǎn)運(yùn)算！如果需要進(jìn)行小數(shù)運(yùn)算，我們可以借助定點(diǎn)運(yùn)算是思想在程序中通過設(shè)計(jì)一定的比例系數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行放大或縮小處理，從而實(shí)現(xiàn)某些功能。不要問我為啥，舉個(gè)簡單的例子，利用超聲波模塊測距，你自己寫兩個(gè)程序，一個(gè)使用浮點(diǎn)，一個(gè)不使用做個(gè)實(shí)驗(yàn)測試一下就可以知道結(jié)果是怎么的了。