在FPGA里浮點(diǎn)數(shù)與定點(diǎn)數(shù)表示法原理展示

浮點(diǎn)數(shù)與定點(diǎn)數(shù)表示法是我們在計(jì)算機(jī)中常用的表示方法 所以必須要弄懂原理，特別是在FPGA里面，由于FPGA不能像在MCU一樣直接用乘除法。

定點(diǎn)數(shù)

首先說一下簡單的定點(diǎn)數(shù)，定點(diǎn)數(shù)是克服整數(shù)表示法不能表示實(shí)數(shù)的缺陷，那么我們就可以通過將實(shí)數(shù)乘上一個(gè)分?jǐn)?shù)來實(shí)現(xiàn)，當(dāng)然要是分?jǐn)?shù)就是2^-i倍數(shù)，那么我們的定點(diǎn)數(shù)表示法就是精確的表示，但是很不幸我們自然界中的樹并不是那么湊巧。所以定點(diǎn)數(shù)只能是近視表示實(shí)數(shù)，包括浮點(diǎn)法也是這樣的。具體的實(shí)現(xiàn)就是將表示成2進(jìn)制后，然后在左移k位，那么對于N為的定點(diǎn)數(shù)表示法中，就有N-1-K表示整數(shù)部分，低k位表示分?jǐn)?shù)，最高位表示符號。

定點(diǎn)數(shù)表達(dá)法的缺點(diǎn)在于其形式過于僵硬，固定的小數(shù)點(diǎn)位置決定了固定位數(shù)的整數(shù)部分和小數(shù)部分，不利于同時(shí)表達(dá)特別大的數(shù)或者特別小的數(shù)。

浮點(diǎn)數(shù)

浮點(diǎn)數(shù)表示法更為復(fù)雜，這種表達(dá)方式利用科學(xué)計(jì)數(shù)法來表達(dá)實(shí)數(shù)，即用一個(gè)尾數(shù)（Mantissa ），一個(gè)基數(shù)（Base），一個(gè)指數(shù)（Exponent）以及一個(gè)表示正負(fù)的符號來表達(dá)實(shí)數(shù)。比如 123.45 用十進(jìn)制科學(xué)計(jì)數(shù)法可以表達(dá)為 1.2345 × 102 ，其中 1.2345 為尾數(shù)，10 為基數(shù)，2 為指數(shù)。浮點(diǎn)數(shù)利用指數(shù)達(dá)到了浮動小數(shù)點(diǎn)的效果，從而可以靈活地表達(dá)更大范圍的實(shí)數(shù)。

提示: 尾數(shù)有時(shí)也稱為有效數(shù)字（Significand）。尾數(shù)實(shí)際上是有效數(shù)字的非正式說法。

在 IEEE 標(biāo)準(zhǔn)中，浮點(diǎn)數(shù)是將特定長度的連續(xù)字節(jié)的所有二進(jìn)制位分割為特定寬度的符號域，指數(shù)域和尾數(shù)域三個(gè)域，其中保存的值分別用于表示給定二進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)中的符號，指數(shù)和尾數(shù)。這樣，通過尾數(shù)和可以調(diào)節(jié)的指數(shù)（所以稱為"浮點(diǎn)"）就可以表達(dá)給定的數(shù)值了。具體的格式參見下面的圖例：

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?

上圖中可以看出S表示符號位，EXponent表示指數(shù)位，也就是“浮動”的指數(shù)位，指數(shù)的范圍在32位的系統(tǒng)中（0-2^8 -1）/2 也就是0-127，在double型位2^11位浮動指數(shù)。

指數(shù)域中，對應(yīng)于我們之前介紹的二進(jìn)制科學(xué)計(jì)數(shù)法中的指數(shù)部分。其中單精度數(shù)為 8 位，雙精度數(shù)為 11 位。以單精度數(shù)為例，8 位的指數(shù)為可以表達(dá) 0 到 255 之間的 255 個(gè)指數(shù)值。但是，指數(shù)可以為正數(shù)，也可以為負(fù)數(shù)。為了處理負(fù)指數(shù)的情況，實(shí)際的指數(shù)值按要求需要加上一個(gè)偏差（Bias）值作為保存在指數(shù)域中的值，單精度數(shù)的偏差值為 127，而雙精度數(shù)的偏差值為 1023。比如，單精度的實(shí)際指數(shù)值 0 在指數(shù)域中將保存為 127；而保存在指數(shù)域中的 64 則表示實(shí)際的指數(shù)值 -63。 偏差的引入使得對于單精度數(shù)，實(shí)際可以表達(dá)的指數(shù)值的范圍就變成 -127 到 128 之間（包含兩端）。我們不久還將看到，實(shí)際的指數(shù)值 -127（保存為 全 0）以及 +128（保存為全 1）保留用作特殊值的處理。這樣，實(shí)際可以表達(dá)的有效指數(shù)范圍就在 -127 和 127 之間。在本文中，最小指數(shù)和最大指數(shù)分別用 emin 和 emax 來表達(dá)。

圖例中的第三個(gè)域?yàn)槲矓?shù)域，其中單精度數(shù)為 23 位長，雙精度數(shù)為 52 位長。除了我們將要講到的某些特殊值外，IEEE 標(biāo)準(zhǔn)要求浮點(diǎn)數(shù)必須是規(guī)范的。這意味著尾數(shù)的小數(shù)點(diǎn)左側(cè)必須為 1，因此我們在保存尾數(shù)的時(shí)候，可以省略小數(shù)點(diǎn)前面這個(gè) 1，從而騰出一個(gè)二進(jìn)制位來保存更多的尾數(shù)。這樣我們實(shí)際上用 23 位長的尾數(shù)域表達(dá)了 24 位的尾數(shù)。比如對于單精度數(shù)而言，二進(jìn)制的 1001.101（對應(yīng)于十進(jìn)制的 9.625）可以表達(dá)為 1.001101 × 23，所以實(shí)際保存在尾數(shù)域中的值為 00110100000000000000000，即去掉小數(shù)點(diǎn)左側(cè)的 1，并用 0 在右側(cè)補(bǔ)齊。

注：單精度浮點(diǎn)型所謂的7.2位精度就是指的是有效位的范圍，因?yàn)閱尉雀↑c(diǎn)可以表達(dá)的最大指數(shù)為 2^24 - 1 = 16,777,215這個(gè)數(shù)就是有效位的最大表示數(shù)字了，超過這個(gè)數(shù)的就要進(jìn)行取舍。

參考：

IEEE 754 Floating-Point Format
IEEE 754 FLOATING POINT REPRESENTATION