聊聊s域和z域之間的轉(zhuǎn)換

之前跟大家聊過CDR、TX FFE均衡和SDM，他們的傳函都是z域的，對(duì)于模擬IC工程師而言，更喜歡在s域用bode圖來分析穩(wěn)定性問題，本期跟大家聊聊s域和z域之間的轉(zhuǎn)換。

1. z平面到s****平面的映射

Fig1. s平面到z平面的映射關(guān)系

由上面的推導(dǎo)及映射關(guān)系可得到如下結(jié)論：

①s平面左半平面（σ<0）映射到z平面的單位圓內(nèi)

②s平面右半平面（σ>0）映射到z平面的單位圓外

③s平面虛軸（σ=0）映射到z平面的單位圓上

④s平面虛軸從負(fù)無窮到正無窮每間隔fs或ω s ，z平面單位圓旋轉(zhuǎn)一周

⑤穩(wěn)定系統(tǒng)要求s平面的σ<0或者z平面的所有極點(diǎn)落在單位圓內(nèi)（后邊章節(jié)會(huì)有解釋）。

當(dāng)σ=0時(shí)，角頻率ω從0ωs~變化時(shí)z域極坐標(biāo)角度θ的變化如表1所示。

Table1. σ=0時(shí)，ω與θ的關(guān)系

2. σ為什么要小于****0

對(duì)于一階RC低通濾波器而言，其傳遞函數(shù)為1/(1+sRC)，其極點(diǎn)為-1/RC。聯(lián)系之前講的s=σ+jω，得到此一階低通濾波器的σ=-1/RC，ω=0，1/(1+sRC)進(jìn)行拉普拉斯變換轉(zhuǎn)到時(shí)域的表達(dá)式 為e^-t/RC^，這顯然是一個(gè)減函數(shù)，系統(tǒng)最終會(huì)趨于穩(wěn)定，相反σ=1/RC>0時(shí)為增函數(shù)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。因此穩(wěn)定系統(tǒng)要求所有極點(diǎn)中的σ項(xiàng)小于0（或者所有極點(diǎn)落在單位圓內(nèi)）。

3. z****域穩(wěn)定性分析

3.1 CDR****環(huán)路分析

替換前CDR的z域傳函：

替換后CDR的s域傳函：

3.2 SDM****分析

Fig2. 三階單環(huán)前饋SDM z域模型

Fig3. 三階單環(huán)前饋SDM噪聲傳函的零極點(diǎn)分布

Fig4. 一階/二階泰勒等效和freqz函數(shù)得到的幅頻特性曲線

三階單環(huán)前饋SDM噪聲傳函，一階/二階泰勒等效和freqz函數(shù)得到的幅頻特性曲線的matlab code如下：

clear all;close all;clc;

fs=100e6;Ts=1/fs;

% P=logspace(0,6);

P = bodeoptions; % Set frequency units toHz in options

P.FreqUnits = 'Hz'; % Create plot withthe options specified by P

%%%%%%second order taylor series expansion%%%%%%

num_second_order_taylor =[TsTsTs,0,0,0];

den_second_order_taylor =[0.125TsTsTsTs,0.5TsTsTs,0.5Ts*Ts,0,0.5];

Ls_second_order_taylor = tf(num_second_order_taylor,den_second_order_taylor);

%%%%%%first order taylor series expansion%%%%%%

num_first_order_taylor =[TsTsTs,0,0,0];

den_first_order_taylor =[0.5TsTs,0,0.5];

Ls_first_order_taylor =tf(num_first_order_taylor,den_first_order_taylor);

figure(1);

bodemag(Ls_second_order_taylor,{1,2pi100000000},P,'-b');holdon;

bodemag(Ls_first_order_taylor,{1,2pi100000000},P,'-g');

%%%%%%z transform%%%%%%

w=linspace(0,2*pi,1000);

numEqsingleloop=[1 -3 3 -1];%(1-z^-1)^3

densingleloop=[1 -1 0.5];%1-z^-1+0.5z^-2

HEqsingleloop=freqz(numEqsingleloop,densingleloop,w);holdon;

loglog(wfs/2/pi,20log10(abs(HEqsingleloop)),'-r');gridon;

legend('second order taylor seriesexpansion','first order taylor series expansion','z transform');