你真的理解自發(fā)產(chǎn)生的電荷濃度嗎？

前文講了電子在不同能量下的分布概率，顯然概率隨能量是遵守費米分布規(guī)律連續(xù)性變化的。

至于電子在某個能量狀態(tài)下是否能夠存在，得看 是否存在對應于這個能量值的能級，并不是有出現(xiàn)概率就一定存在 。

回憶之前所舉的棋盤格子的例子，一個格子代表一個能級，一個能級對應一個能量。對于電子來說，一個能量可以存在兩個狀態(tài)，即兩個不同旋轉方向，也就是說，若將一個電子比喻成一個棋子，那么一個格子中能放兩個不同旋轉方向的電子。

那么要想知道電荷的濃度，相當于想要知道單位面積內(nèi)的格子里有多少個電子。接下來我們將分別通過公式推導和定性的方式來解釋自發(fā)產(chǎn)生的電荷濃度。

電荷濃度的公式推導

01

在已知電子存在于每個格子的概率的情況下，只需要知道棋盤單位面積內(nèi)總共有多少個格子即可，即用單位面積內(nèi)的格子數(shù)乘以每個格子中電子的分布概率就得到總的電子數(shù)量。

上述單位面積的棋盤和格子的關系，對應到En-kn關系中，就是單位能量中的波矢數(shù)量，即dE中對應的kn數(shù)量，物理上稱為（能）態(tài)密度，即單位能量范圍內(nèi)可存在的狀態(tài)密度。

顯然，對于導帶，態(tài)密度可表達為N c (E)=dX/dE，其中，dX表示在能量dE范圍內(nèi)的能態(tài)數(shù)量。

導帶中電子的能量表達式為

欲求得態(tài)密度dX/dE，在知道dk/dE的情況下，將其做一個變形

因為，所以上式可以近似得到導帶中電子濃度為

同理，可以推導出價帶中的空穴濃度，但要注意的是

這兩個表達式即描述了在溫度T，導帶和價帶中對應某個能量本征激發(fā)的電荷濃度。

電荷濃度的定性解釋

02

電荷濃度的推導涉及到固體物理的基礎知識，盡管前文以棋盤為例進行類比，但要理解還是不大直觀，其原因主要在于E-k(能量-波矢）空間比較抽象，即倒格子空間，這是分析微觀粒子量子化特性的一個基本空間，完全是一個想象出來的數(shù)學抽象空間。

為什么需要這么一個抽象空間呢？因為微觀粒子的描述方式有一個基本方程式叫做薛定諤方程，描述了 微觀粒子的波函數(shù)和能量之間的關系，波函數(shù)表征的則是粒子出現(xiàn)的概率 。

如前文提到空間自由電子的波函數(shù)表達式為,k是描述波函數(shù)的重要物理量，所以在E-k所描繪的空間中，可以比較方便地推導各種微觀粒子的狀態(tài)。

至于薛定諤方程的由來，以及如何通過薛定諤方程推導某種具體粒子的狀態(tài)，在此不做贅述。

還是結合棋盤的例子，這里再進一步做解釋，大致邏輯可以梳理如下：若將一個電子比作一枚棋子，能級比作一個棋盤上的格子，能帶比作一層又一層的棋盤。棋子有一個特性就是一直處于旋轉狀態(tài)，可以順時針旋轉，也可以逆時針旋轉，猶如圍棋中有白棋和黑棋。

一個格子只能放一顆白棋或者一顆黑棋或者一顆白棋加上一顆黑棋，也就是說 一個能級最多只能存在兩個不同旋轉方向的電子 ，原則上棋子可以在空間中任何位置出現(xiàn)，包括棋盤之上以及棋盤之間的空間，其出現(xiàn)的規(guī)律符合費米分布。

但是只有將棋子放到棋盤之上的格子之中，才符合下棋的規(guī)則，所以并不是有出現(xiàn)概率就一定會出現(xiàn)，放入哪一層的棋盤以及棋盤中哪一個格子的概率同樣遵從費米分布，顯然某一層棋盤中能放入多少棋子（電子濃度），就看 這個棋盤中有多少格子，以及棋子放入這些格子的概率 。格子的數(shù)量和周期則與材料本身的特性相關，如原子之間的間距、質量等。

文末總結

1、通過公式推導，得出導帶中電子濃度：

2、同理得到價帶中的空穴濃度：

3、定性解釋：

以棋盤實驗為例，原則上棋子可以在空間中任何位置出現(xiàn)，但是只有將棋子放到棋盤之上的格子之中，才符合下棋的規(guī)則，所以并不是有出現(xiàn)概率就一定會出現(xiàn)，某一層棋盤中能放入多少棋子（電子濃度），就看這個棋盤中有多少格子，以及棋子放入這些格子的概率。