一文解析HA5WH相位移位網(wǎng)絡(luò)(phase shift network)

在SSB單邊帶調(diào)制中，會用到RC-多相網(wǎng)絡(luò)，這個(gè)網(wǎng)絡(luò)非常有意思，在空間中是一個(gè)圓柱形，并不能用平面表示。這篇文章對RC-多相網(wǎng)絡(luò)原理進(jìn)行了分析和理論推導(dǎo)。這里介紹給感興趣的同學(xué)。

本文分析了HA5WH相位移位網(wǎng)絡(luò)(phase shift network)。描述了具有循環(huán)對稱性的理想網(wǎng)絡(luò)，并提供了簡單的設(shè)計(jì)方程。通過考慮元件容差進(jìn)行的計(jì)算表明，必須使用匹配良好的元件才能獲得高質(zhì)量的結(jié)果。

目錄

1. 引言

單邊帶信號的產(chǎn)生或檢測的移相法需要在音頻頻率范圍內(nèi)具有的相對相差的兩個(gè)信號。移相法一直不太受歡迎，特別是在相對便宜的濾波器出現(xiàn)之后。未來，數(shù)字信號處理技術(shù)大概率將執(zhí)行必要的音頻相位移或直接生成射頻單邊帶信號。那么，為什么你還對音頻相移網(wǎng)絡(luò)感興趣呢？或許是因?yàn)樗鼈冚^低的成本、易于構(gòu)建，并且非常有趣。此外，筆者在這里描述的技術(shù)對于其他級聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的有效分析也是非常有用的。

多年來，ARRL手冊[1]中包括了一個(gè)由HA5WH設(shè)計(jì)的音頻相移網(wǎng)絡(luò)電路。筆者還沒有找到這個(gè)網(wǎng)絡(luò)的原始參考文獻(xiàn)。手冊聲稱，該電路使用的公差元件，可以提供大約的邊帶抑制。這與通常的結(jié)果相悖，即你需要的元件來獲得約的抑制。在本文中，筆者將分析這類網(wǎng)絡(luò)并給出設(shè)計(jì)方程。不幸的是，這種分析表明，使用公差元件可能導(dǎo)致邊帶抑制不良。使用理想元件，網(wǎng)絡(luò)可以提供優(yōu)異的性能，通過使用高公差元件或匹配良好的低公差元件，網(wǎng)絡(luò)仍然可以提供良好的性能。

在第2節(jié)中，筆者給出了邊帶抑制的一般公式，用相位和幅度誤差表示相位網(wǎng)絡(luò)中的邊帶抑制。在第3節(jié)中，筆者推導(dǎo)了一種有效的分析一般HA5WH型網(wǎng)絡(luò)的方法。第4節(jié)給出了對網(wǎng)絡(luò)理想實(shí)現(xiàn)的分析。第5節(jié)描述了用易于計(jì)算的橢圓函數(shù)對網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行優(yōu)化，第6節(jié)給出了元件公差的影響。結(jié)果是一組簡單的設(shè)計(jì)方程，用于理想網(wǎng)絡(luò)，并估計(jì)了對元件公差的敏感性。附錄中列出了一組實(shí)現(xiàn)所述方法的Fortran程序。

2. 相位誤差對邊帶抑制的影響

移相法生成的單邊帶信號在數(shù)學(xué)上表示為，其中正負(fù)號分別表示上（下）邊帶，，是載波頻率。類似地，，是音頻調(diào)制頻率。余弦函數(shù)可以寫成

這是移相法的基本方程。右側(cè)的乘法是通過平衡調(diào)制器完成的，而且兩個(gè)音頻信號（以及兩個(gè)射頻信號）相位差必須為，且幅度相等。我們假設(shè)射頻信號恰好相位差為，且幅度相等。使用常規(guī)的復(fù)數(shù)表示法，其中表示一個(gè)音頻信號，表示另一個(gè)音頻信號，使用非理想的相移網(wǎng)絡(luò)的結(jié)果為

邊帶抑制（或增強(qiáng)）由下式給出：

注意，如果等于，即兩個(gè)信號的幅度相等，那么對于相位誤差，抑制（以分貝表示）簡單表示為：

3. 分析HA5WH網(wǎng)絡(luò)

圖1給出了ARRL手冊中的HA5WH網(wǎng)絡(luò)的電路圖。有了這個(gè)電路，可以使用網(wǎng)孔或節(jié)點(diǎn)分析輕松地進(jìn)行數(shù)值分析。這種暴力方法的缺點(diǎn)是它無法解釋網(wǎng)絡(luò)為何有效，或者網(wǎng)絡(luò)的變化如何影響其性能。因此，筆者將提出一種方法，這種方法在數(shù)值上更有效，而且通過使用理想網(wǎng)絡(luò)的對稱性，可以得出簡單的設(shè)計(jì)方程。

圖1：HA5WH寬帶相移網(wǎng)絡(luò)的示意圖。

顯然，該移相網(wǎng)絡(luò)由6個(gè)相似的部分組成，每個(gè)部分都有4個(gè)輸入連接和4個(gè)輸出連接。其中一部分如圖2所示。

圖2：HA5WH網(wǎng)絡(luò)的一部分的示意圖。

將輸入電壓和電流標(biāo)記為。相應(yīng)的輸出電壓和電流標(biāo)記為。對這個(gè)網(wǎng)絡(luò)直接進(jìn)行節(jié)點(diǎn)分析，得到了由矩陣方程表示的8個(gè)線性方程：

其中是長度為4的向量，是4×4矩陣。式5緊湊地表示了網(wǎng)絡(luò)各節(jié)點(diǎn)處的電流守恒要求的8個(gè)方程。矩陣如下：

與使用矩陣級聯(lián)二端口網(wǎng)絡(luò)完全類似，為了級聯(lián)這些網(wǎng)絡(luò)部分，定義一個(gè)新的矩陣方程，解出矩陣得到，其中是矩陣的逆。

將網(wǎng)絡(luò)的每個(gè)部分的8x8矩陣標(biāo)記為，將輸入與整個(gè)網(wǎng)絡(luò)輸出相關(guān)的矩陣是，由四個(gè)4x4矩陣組成，表示如下：其中是矩陣乘積。

手冊中的電路在4個(gè)輸出連接上4個(gè)負(fù)載電阻。將它們標(biāo)記為，并定義一個(gè)的負(fù)載矩陣，

可以將輸出電壓和電流之間的關(guān)系寫為，

解出，然后進(jìn)行反向代入，得到最終的網(wǎng)絡(luò)矩陣方程，它將4個(gè)輸出電壓與4個(gè)輸入電壓相關(guān)聯(lián)，

式中，式15中的1代表單位矩陣，

如果輸出電阻相對于其他電路阻抗來說很大，可以被視為零。在這種情況下，方程簡化為，

手冊中的網(wǎng)絡(luò)使與下式成正比，

在從電路數(shù)值計(jì)算得到和矩陣之后，輸出信號需要按以下方式組合，

邊帶抑制由式3給出。信號的相對幅度和相位也可以被計(jì)算出來。大多數(shù)相移網(wǎng)絡(luò)都是基于全通網(wǎng)絡(luò)的(all pass networks)，因此所有信號的幅度都具有相同的衰減。但HA5WH網(wǎng)絡(luò)不是全通網(wǎng)絡(luò)。理想情況下，我們希望既有很好的邊帶抑制，又希望和在音頻電路的通帶范圍內(nèi)保持恒定的幅度和相位。

如果被求逆的矩陣變?yōu)槠娈惥仃?，上述分析將在奇異點(diǎn)失效。例如，當(dāng)在

在這些點(diǎn)附近，計(jì)算中的舍入誤差會很大。對于這里的分析，不是一個(gè)大問題。然而，在具有許多部分或接近奇異點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)上進(jìn)行分析時(shí)，將需要采用的更多的數(shù)值計(jì)算技巧，或者使用標(biāo)準(zhǔn)公式，在該公式中一次性求解完整的網(wǎng)絡(luò)方程組。

4. 理想循環(huán)網(wǎng)絡(luò)的分析

如手冊所示，HA5WH網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計(jì)在每個(gè)網(wǎng)絡(luò)的六個(gè)部分中都包括四個(gè)相同的電阻和四個(gè)相同的電容。這意味著該網(wǎng)絡(luò)在其端口順序的循環(huán)交換下是不變的。也就是說，如果我們通過將1變成2，2變成3，3變成4，4變成1來重新標(biāo)記端口，我們將得到描述網(wǎng)絡(luò)的完全相同的方程。這種不變性通常使用群論的數(shù)學(xué)方法處理[2]，這極大地簡化了對具有對稱性系統(tǒng)的研究。理想的HA5WH網(wǎng)絡(luò)具有所謂的循環(huán)4或?qū)ΨQ性?？梢允褂萌赫搧矸治鼍W(wǎng)絡(luò)方程。對代表循環(huán)運(yùn)算符的矩陣特征的分析表明，的4個(gè)不可約表示各出現(xiàn)一次。因此，它們對應(yīng)于矩陣的4個(gè)特征向量，可以立即寫出這些向量。

然而，大多數(shù)無線電愛好者可能對群論不太熟悉，然而，可以在不使用群論的情況下輕松驗(yàn)證這些結(jié)果。矩陣的右特征向量和特征值由以下方程確定，

即將特征向量與矩陣相乘后，得到的結(jié)果仍然是該特征向量，只是乘以了特征值。將矩陣乘以其中一個(gè)特征向量的效果就是將該特征向量乘以特征值。在我們的基礎(chǔ)上，循環(huán)特征向量是在元素之間具有恒定相位差的向量，且在最后一個(gè)元素與第一個(gè)元素之間的相位差也相同。這就有了以下關(guān)系，

通過直接的矩陣乘法，可以輕松驗(yàn)證如果在網(wǎng)絡(luò)部分中所有的和值相同，這些向量就是所有矩陣的特征向量。這是循環(huán)4對稱性的直接結(jié)果。此外，由于矩陣是矩陣的乘積的組合，這些相同的向量也是矩陣的特征向量。由于可以表示為矩陣乘以的組合，如果我們將表示為四個(gè)特征向量的線性組合，將通過取相同的線性組合并將每個(gè)項(xiàng)乘以適當(dāng)?shù)奶卣髦档玫?。網(wǎng)絡(luò)必須被設(shè)計(jì)為產(chǎn)生的相對相位差。

HA5WH網(wǎng)絡(luò)的輸入只包含上述的最后兩個(gè)特征向量，即

最后一行定義了相關(guān)的特征向量為和。此外，如果輸出阻抗相同并且運(yùn)算放大器具有良好的共模抑制能力，輸出對于前兩個(gè)特征向量也不敏感。如果由于元件容差而破壞了循環(huán)對稱性，同時(shí)滿足這兩個(gè)條件將是有幫助的。

當(dāng)輸入如式23所示時(shí)，輸出通常會是

而平衡調(diào)制器的兩個(gè)輸出將是

邊帶抑制（以分貝表示）使用式3為

因此，為了設(shè)計(jì)一個(gè)好的網(wǎng)絡(luò)，我們必須消除這最后的兩個(gè)特征向量中的一個(gè)。到目前為止的分析顯示了如何構(gòu)建HA5WH網(wǎng)絡(luò)。特征向量在4個(gè)電壓上具有相等的幅度，并且在相鄰端口之間有和的相位差，最后一個(gè)相當(dāng)于的相位差。我們希望選擇網(wǎng)絡(luò)驅(qū)動、連接和元件值，以選擇出兩個(gè)相位差的特征向量中的一個(gè)。另外，同樣的思想也可以用來設(shè)計(jì)一個(gè)相對相位差為的網(wǎng)絡(luò)，只需使用在群下不變的網(wǎng)絡(luò)，或者從群得到的相位差等。

選擇元件值的第一步是計(jì)算四個(gè)矩陣的特征值。通過直接相乘，得到

其中上標(biāo)a或b表示特征值對應(yīng)于特征向量或。

當(dāng)輸入一個(gè)特征向量時(shí)，一個(gè)矩陣的作用是將式11中的矩陣替換為它們的特征值。經(jīng)過一些代數(shù)運(yùn)算，得到，

矩陣與成比例。如果我們向網(wǎng)絡(luò)部分提供和的線性組合，該部分相對于抑制的因子為

HA5WH網(wǎng)絡(luò)具有以下特性：在正頻率下，式30中的比值的幅度始終小于1，而在時(shí)恰好為零。第一個(gè)特性表明，額外的網(wǎng)絡(luò)部分只能改善輸出的相對相位差。第二個(gè)特性表示，我們可以通過選擇單個(gè)網(wǎng)絡(luò)部分的值來設(shè)置精確相位差的頻率。這兩個(gè)特性極大地簡化了網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計(jì)和優(yōu)化。

單一頻率下的邊帶抑制，對于一個(gè)包含個(gè)部分的網(wǎng)絡(luò)，其中第i個(gè)部分的值分別為和，可以表示為

選擇每個(gè)部分的值的簡單方法是使用計(jì)算機(jī)繪制上述結(jié)果，并調(diào)整和以達(dá)到所需的抑制效果。實(shí)際上，如果你試圖使用已經(jīng)在你廢品箱中的一組零件進(jìn)行設(shè)計(jì)，這是一個(gè)顯而易見的技術(shù)。然而，抑制效果的形式使得在下一節(jié)中看到的最佳值的選擇變得容易。

5. 優(yōu)化邊帶抑制

的最佳值可以使用橢圓函數(shù)輕松計(jì)算。通常，我們希望最壞情況下的抑制效果盡可能高。這引導(dǎo)我們使用等紋波或切比雪夫逼近。相關(guān)數(shù)學(xué)方法的細(xì)節(jié)可以在Saraga的著作[3]中找到。對于上限頻率和下限頻率，個(gè)部分網(wǎng)絡(luò)的值為，

其中，表示第一類完整橢圓積分，是雅可比橢圓函數(shù)[4, 5]。

在表1中，給出了一些對業(yè)余愛好者來說可能感興趣的網(wǎng)絡(luò)的計(jì)算值，以及它們的理論邊帶抑制效果。這些理論結(jié)果當(dāng)然是在假設(shè)元件完美的情況下得到的最佳情況。

順便提一下，注意到Saraga的泰勒逼近[3]是通過簡單地選擇所有的值相等，并且等于得到的。此外，如果在特定頻率（例如，如果您希望在單邊帶發(fā)射機(jī)中使用音頻音調(diào)產(chǎn)生頻率移鍵控）需要最大抑制效果，那么可以簡單地選擇適合這些頻率的值，然后優(yōu)化其他網(wǎng)絡(luò)部分。

表1：一些理想的HA5WH類型相位網(wǎng)絡(luò)的最佳切比雪夫值。和分別為上限和下限頻率，是網(wǎng)絡(luò)的階數(shù)，，其中從1到，是精確相位差的頻率。相應(yīng)的值為。Sup表示網(wǎng)絡(luò)范圍內(nèi)最小的邊帶抑制效果，以分貝表示。

6. 振幅變化和元件容差的影響

到目前為止，只關(guān)注了兩個(gè)輸出之間的相對相位差。為了獲得高質(zhì)量的音頻信號，網(wǎng)絡(luò)的輸出必須是平坦的。通常，這可以通過構(gòu)建全通網(wǎng)絡(luò)來實(shí)現(xiàn)。由于HA5WH網(wǎng)絡(luò)不是全通形式，我們必須研究其頻率響應(yīng)的衰減。在圖3、4和5中，分別繪制了為頻率范圍為到設(shè)計(jì)的最佳4、6和8部分濾波器的邊帶抑制效果，一個(gè)輸出信號的幅度和相位變化，這些濾波器使用相等阻值的電阻。網(wǎng)絡(luò)的各個(gè)部分按照值從大到小的順序排列，與原始的HA5WH設(shè)計(jì)一致。如圖所示，幅度變化小于，相位變化平滑，邊帶抑制效果符合預(yù)期的等紋波形式。

圖3：在頻率范圍為到時(shí)，4、6和8個(gè)最佳切比雪夫網(wǎng)絡(luò)的非期望與期望邊帶幅度的比率。

圖4：在頻率范圍為到時(shí)，4、6和8個(gè)最佳切比雪夫網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)輸出信號的相對幅度。

圖5：在頻率范圍為到時(shí)，4、6和8個(gè)最佳切比雪夫網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)輸出信號的相位差。

該網(wǎng)絡(luò)在手冊中的主要優(yōu)勢之一是聲稱可以使用低容差元件制造高性能網(wǎng)絡(luò)。從第5節(jié)的分析中，如果保持循環(huán)對稱性，網(wǎng)絡(luò)將在每個(gè)網(wǎng)絡(luò)部分對應(yīng)的個(gè)選定頻率（即）處完美運(yùn)行。由于一般來說元件的匹配比準(zhǔn)確測量它們的值更容易，筆者研究了由于完全匹配但容差較低的元件引起的這些節(jié)點(diǎn)頻率變化的影響。由于電阻和電容都可能有變化，使用10%的元件可能會導(dǎo)致節(jié)點(diǎn)頻率的變化約20%，如果兩種元件的值都朝著同一個(gè)方向變化。最糟糕的情況是所有部分的頻率都比正常值高或低20%。這只是將網(wǎng)絡(luò)的中心頻率向上或向下移動20%。對于在到范圍內(nèi)的最佳6部分濾波器而言，這將把邊帶抑制效果從超過降低到約。如果假設(shè)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)頻率的變化為10%（即5%的元件），并且再次假定所有頻率變化的方向相同，抑制效果接近。這表明相對低容差但匹配良好的元件可以獲得出色的結(jié)果。當(dāng)每個(gè)濾波器部分的元件是完全匹配的時(shí)，式31可以輕松用于預(yù)測由于元件容差導(dǎo)致的每個(gè)濾波器部分的值變化的影響。

當(dāng)每個(gè)部分中使用不匹配的和值時(shí)，這當(dāng)然是最具實(shí)際興趣的情況。在這種情況下，我們可以通過觀察當(dāng)M矩陣不再是循環(huán)時(shí)，和之間的交叉項(xiàng)來了解最壞情況的可能性。典型的項(xiàng)給出了貢獻(xiàn)，如下所示：

或

其中，這里的下標(biāo)表示網(wǎng)絡(luò)部分中的位置，如圖2所示。這表明，一個(gè)具有表示容差)的單個(gè)部分可以將總體抑制效果降低到大約。也就是說，如果網(wǎng)絡(luò)部分中的元件沒有匹配，那么的元件可能導(dǎo)致抑制效果降低到，的元件可能降低到。請注意，為了確保獲得60的相對抑制效果，需要使用短期和長期容差為的元件。作為對不匹配元件敏感性的具體例子，筆者計(jì)算了原始HA5WH 6部分濾波器的抑制效果，其中只有最后一節(jié)的電阻被改變了。和提高了，和降低了。對于理想元件，抑制效果大于。只改變最后一節(jié)的電阻將抑制效果降低到，與上面的簡單計(jì)算結(jié)果大致一致。利用這些結(jié)果嘗試構(gòu)造近似最壞情況的情形，筆者嘗試以完全相同的方式改變每個(gè)部分中的所有電阻。此外，通過將和的值提高并將和的值降低來改變所有電容器的值。結(jié)果是進(jìn)一步降低了不需要的邊帶抑制效果，降低到約。顯然，10%的元件和運(yùn)氣不佳將產(chǎn)生不可接受的邊帶抑制效果。

7. 結(jié)論

HA5WH網(wǎng)絡(luò)利用循環(huán)對稱性提供了簡單的設(shè)計(jì)方程，并且在理想元件下具有出色的邊帶抑制效果。如果保持循環(huán)對稱性，網(wǎng)絡(luò)對于元件公差不太敏感。這意味著每個(gè)網(wǎng)絡(luò)部分的元件應(yīng)該被精心匹配。通過使用不匹配的元件打破循環(huán)對稱性可以嚴(yán)重影響網(wǎng)絡(luò)的性能。

8. 勘誤和附錄

在發(fā)表本研究報(bào)告后，筆者受到了Gingell（KN4BS）的聯(lián)系，他告訴筆者說他是這個(gè)電路的發(fā)明者，也是類似電路中稱為“A Symmetrical Polyphase Network”的其他電路的發(fā)明者。他對筆者在這里提到的大多數(shù)結(jié)果都有所了解，除了Saraga的方法應(yīng)用于形成Chebychev網(wǎng)絡(luò)的部分可能例外。然而，他告訴筆者，Saraga是他的博士答辯委員之一，所以筆者認(rèn)為Saraga的方法對他并不完全陌生。

以下是他發(fā)送給筆者的一些參考文獻(xiàn)，其中包含了更多的歷史背景。

1. M.J.Gingell： “A Symmetrical Polyphase Network” British Patents 1，174，709 and 1，174，710 filed 7th June 1968， published 17 Dec 1969， US Patents 3，559，042 and 3，618，133 published Jan 261971 2. M.J.Gingell： “Single Sideband Modulation using Sequence Asymmetric Polyphase Networks” Electrical Communication Magazine， Vol 48 No 1 and 2 combined 1973， p 21-25

2. Pat Hawker， G3VA： “Polyphase System for SSB Generation” in “Technical Topics” Radio Communication Oct 73， p698-9

3. Pat Hawker， G3VA： “More on Polyphase SSB” in “Technical Topics” Radio Communication Dec 73， p852-853

4. M.J.Gingell： “The Synthesis and Application of Polyphase Networks with Sequence Asymmetric Properties” PhD Thesis University of London， 1975

5. M.J.Gingell： “Sequence Asymetric Polyphase Networks： Application to F D M” IEE Colloquium on Applications of Active， Digital and Passive Filters， London， January 141975.

6. Pat Hawker， G3VA： “G3PLX polyphase SSB generator” in “Technical Topics” Radio Communication May 1975， p379-381

7. A. Gschwindt， HA5WH： “Some Reflections on the four-way phasing method” Radio Communication Jan 76， p28-33

8. J.R.Hey： “Practical Polyphase SSB for shallow pockets” Radio Communication Sept 76， p656-660， 663

9. J Heyne： “New Active Quadrature Phase Shift Network” IEE Electronics Letters， 31 March 1977， p216-218

10. A G Constantinide： “Digital Phase Splitting Network Design for digital F.D.M. applications” PROC IEE， Vol 23 No 12 Dec 1976， p 1313-1315

審核編輯：黃飛