學(xué)好數(shù)學(xué)幫工程師做信號(hào)完整性設(shè)計(jì)

我想大家都有這樣的體會(huì)：小學(xué)的時(shí)候你根本不知道初中數(shù)學(xué)是什么樣，高中的時(shí)候你也根本想不到大學(xué)數(shù)學(xué)是什么樣。而大學(xué)生，如果你不專注于數(shù)學(xué)，恐怕也不知道現(xiàn)代數(shù)學(xué)是什么模樣。下面將分別從學(xué)數(shù)學(xué)的動(dòng)機(jī)、數(shù)學(xué)不同學(xué)科的分類以及如何切實(shí)可行培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力等幾個(gè)方面闡述如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

進(jìn)入正題:

一、認(rèn)清你的需要

為什么需要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，這是你首先需要想清楚的問題。數(shù)學(xué)學(xué)科子分類多、每一本數(shù)學(xué)書中都有許多定理和結(jié)論，需要花大量時(shí)間研究。而人的時(shí)間是寶貴的、有限的，需不需要學(xué)數(shù)學(xué)，學(xué)數(shù)學(xué)到什么程度你需要大體有一個(gè)目標(biāo)和計(jì)劃，合理安排時(shí)間。

1.1你的目標(biāo)是精通數(shù)學(xué)、鉆研數(shù)學(xué)，以數(shù)學(xué)謀生，你可能立志掌握代數(shù)幾何，或者想精通前沿物理。那么你需要打下堅(jiān)實(shí)的現(xiàn)代代數(shù)、幾何以及分析基礎(chǔ)，你需要準(zhǔn)備大量時(shí)間和精力，擁有堅(jiān)定不移的決心。（要求：精通全部三級(jí)高等數(shù)學(xué)）

1.2你的目標(biāo)是能夠熟練運(yùn)用高等數(shù)學(xué)，解決問題，掌握探索新應(yīng)用領(lǐng)域的武器，你可能立志進(jìn)入計(jì)算機(jī)視覺領(lǐng)域、經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域或數(shù)據(jù)挖掘領(lǐng)域。那么，你需要打下堅(jiān)實(shí)的矩陣論、微積分以及概率統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)。（要求：精通第一級(jí)高等數(shù)學(xué)）

1.3你的目標(biāo)是想了解數(shù)學(xué)的樂趣，把學(xué)數(shù)學(xué)作為人生一大業(yè)余愛好。那么，你需要打下堅(jiān)實(shí)的線性代數(shù)、數(shù)學(xué)分析、拓?fù)鋵W(xué)以及概率統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)，對(duì)你來說，體會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)的樂趣是一個(gè)更重要的目標(biāo)。（精通第一級(jí)高等數(shù)學(xué)，在第二級(jí)高等數(shù)學(xué)中暢游，嘗試接觸第三級(jí)高等數(shù)學(xué)）

二、給自己足夠的動(dòng)力

學(xué)數(shù)學(xué)需要智力，更需要時(shí)間和精力。下面的幾個(gè)事實(shí)相大家都深有體會(huì)：

1.凡是沒有用的東西，或者雖然有用，但是你用不到的東西，學(xué)得快忘得也快。不信你回憶一下你大一或者初一的基礎(chǔ)課，你還記的清楚嗎？

2.凡是你不感興趣（或者感覺不到樂趣）的東西，你很難堅(jiān)持完成它。很多人都有這樣的經(jīng)歷，一本書，前三章看的很仔細(xì)，后面就囫圇吞棗，越看越快，反正既沒意思也沒用。

3.小學(xué)數(shù)學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，中學(xué)數(shù)學(xué)是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，高中數(shù)學(xué)是大學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)（你可以以此類推）。因此，無論你的目標(biāo)是什么，搞數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)、還是體會(huì)數(shù)學(xué)的樂趣、滿足自己從少年時(shí)就有的夢(mèng)想。學(xué)有所樂、學(xué)有所用，永遠(yuǎn)是維持你動(dòng)力不衰退的兩個(gè)最主要的因素。

三、如何學(xué)習(xí)現(xiàn)代數(shù)學(xué)

首先我們要知道什么是數(shù)學(xué)，要對(duì)數(shù)學(xué)下個(gè)定義是很難的。本文的處理途徑是，不去回答它，我不打算給出數(shù)學(xué)的定義而是通過描述它的許多最重要的概念，定理，和應(yīng)用使對(duì)于什么是數(shù)學(xué)有一個(gè)好的看法，而要使這些有意義對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)行分類是很有必要的

1現(xiàn)代數(shù)學(xué)可以大致被分為兩個(gè)領(lǐng)域：純粹數(shù)學(xué)（研究數(shù)學(xué)本身）和應(yīng)用數(shù)學(xué)（用以解決更實(shí)際的問題）。但我們要記住的是，它們之間其實(shí)有著緊密的關(guān)聯(lián)。如果能的話，應(yīng)該畫張圖更好一點(diǎn)，地圖更應(yīng)該是一張網(wǎng)絡(luò)，連接著每個(gè)相關(guān)的分支。

事實(shí)上，從歷史中我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，有許多數(shù)學(xué)家一開始只是出于好奇以及對(duì)美的追求去研究數(shù)學(xué)，然后發(fā)展了一系列美麗而又有趣的數(shù)學(xué)分支，但對(duì)于真實(shí)世界卻一點(diǎn)用處都沒有。令人驚喜的是，比如在100年后，當(dāng)有些科學(xué)家正在試圖解決物理學(xué)或計(jì)算機(jī)科學(xué)最前沿的問題時(shí)發(fā)現(xiàn)，他們所需要的數(shù)學(xué)其實(shí)早就在純粹數(shù)學(xué)里被發(fā)展出來了。這樣的例子不勝枚舉，比如廣義相對(duì)論的發(fā)展依賴于黎曼度規(guī)；弦理論則需要卡-丘空間等等。這些抽象的概念最終被應(yīng)用在其它的科學(xué)領(lǐng)域中是非常令人欣喜的一件事。先拋開純粹數(shù)學(xué)是否有一天能被應(yīng)用在現(xiàn)實(shí)中去，其實(shí)研究純粹數(shù)學(xué)本身也是非常有價(jià)值的事。如果你問一位數(shù)學(xué)家為什么要研究純粹數(shù)學(xué)，我想很多人的答案會(huì)簡(jiǎn)潔到只有一個(gè)字，那就是：美！

2.純粹數(shù)學(xué)

純粹數(shù)學(xué)主要包括四個(gè)部分：數(shù)字系統(tǒng)、結(jié)構(gòu)、空間和變化。

2.1【數(shù)字系統(tǒng)】

數(shù)字系統(tǒng)的研究起源于數(shù)，一開始為熟悉的自然數(shù)（1、2、3...）及整數(shù)（…-2、-1、0、1、2...）與被描述在算術(shù)內(nèi)的自然數(shù)及整數(shù)的算術(shù)運(yùn)算（＋－× ÷）。當(dāng)數(shù)系進(jìn)一步發(fā)展時(shí)，整數(shù)被視為有理數(shù)（-7、1/2、2.32...）的子集，而有理數(shù)則包含于實(shí)數(shù)（-4π、e、√2...）中。實(shí)數(shù)則可以進(jìn)一步被廣義化為復(fù)數(shù)（4+3i、-4i...）。除此外，還有其它一系列的數(shù)（比如四元數(shù)、八元數(shù)和基數(shù)等）。還有一些數(shù)深受數(shù)學(xué)家的喜愛，比如π、e和質(zhì)數(shù)（1，3，11...）。

剛才提到的這些數(shù)字都有一些有意思的性質(zhì)，例如，盡管實(shí)數(shù)和整數(shù)都有無限多，但實(shí)數(shù)要比整數(shù)多。所以有一些無限實(shí)際要比另一些大。

2.2【結(jié)構(gòu)】

對(duì)結(jié)構(gòu)的研究起始于將數(shù)字以變量的形式代入方程（y=mx+c）。如何解這些方程的規(guī)則包含在代數(shù)之中。在這個(gè)分支中，還有矢量和矩陣，它們都是多維數(shù)，而它們之間的聯(lián)系于線性代數(shù)中被研究。

在這個(gè)分支內(nèi)，有一個(gè)被譽(yù)為“最純”的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，那就是數(shù)論。數(shù)論專注于研究在“數(shù)字系統(tǒng)”中提到的所有數(shù)的特征，比如質(zhì)數(shù)的性質(zhì)（質(zhì)數(shù)產(chǎn)生了很多非專業(yè)人士也能理解而又懸而未解的問題，如哥德巴赫猜想，孿生質(zhì)數(shù)猜想等）。

另一方面，組合數(shù)學(xué)是一門研究可數(shù)或離散對(duì)象的數(shù)學(xué)分支，比如樹、圖論等，一些著名的問題包括地圖著色問題、船夫過河問題等等。群論則是研究名為群的代數(shù)結(jié)構(gòu)，一個(gè)熟悉的例子就是魔方，是一個(gè)置換群。序理論是研究捕獲數(shù)學(xué)排序的直覺概念的各種二元關(guān)系的數(shù)學(xué)分支，比如哈斯圖，是用來表示有限偏序集的一種數(shù)學(xué)圖標(biāo)。

2.3【空間】

純粹數(shù)學(xué)的另一個(gè)部分是研究形狀和它們?cè)诳臻g中的行為?？臻g的研究源自于幾何——尤其是歐幾里得幾何。三角學(xué)則結(jié)合了空間及數(shù)，且包含有著名的勾股定理。還有一些比較有趣的領(lǐng)域，比如分形，它是一種具有尺度不變性的數(shù)學(xué)模式，意思是說你無論你怎么放大它們看起來都是一樣的。

在其許多分支中，拓?fù)鋵W(xué)可能是20世紀(jì)數(shù)學(xué)中有著最大進(jìn)展的領(lǐng)域。拓?fù)鋵W(xué)研究的是空間的不同性質(zhì)，你可以連續(xù)不斷地將它們變形，但不能將它們撕裂或粘合。例如，無論你對(duì)莫比烏斯帶做什么，它永遠(yuǎn)只有一個(gè)面和一個(gè)邊界。在拓?fù)鋵W(xué)里，咖啡杯和甜甜圈是一樣的東西。拓?fù)鋵W(xué)包含了存在已久的龐加萊猜想（2006年由數(shù)學(xué)家格里戈里·佩雷爾曼證明）以及頗有爭(zhēng)議的四色定理（1976年由計(jì)算機(jī)證明）。

測(cè)度論是一種給空間或集分配數(shù)值的數(shù)學(xué)分支，它將數(shù)和空間聯(lián)系起來。最后，微分幾何是非常重要的一個(gè)數(shù)學(xué)分支，它研究在彎曲表面上的形狀的性質(zhì)，比如三角形在彎曲的表面中內(nèi)角和跟在歐式空間中的不一樣。

2.4【變化】

了解及描述變化在自然科學(xué)里是一個(gè)普遍的議題，而微積分更加使研究變化的有力工具。函數(shù)誕生于此，作為描述一變化的量的核心概念。微積分是研究極限、微分學(xué)（函數(shù)的梯度的行為）、積分學(xué)（函數(shù)下的面積）和無窮級(jí)數(shù)的一個(gè)分支。而向量分析關(guān)注的則是向量場(chǎng)的微分和積分。除此外，還有一系列其它的研究方向。動(dòng)力系統(tǒng)描述的是系統(tǒng)如何隨著時(shí)間流逝從一個(gè)狀態(tài)演化到另一個(gè)狀態(tài)，比如流體流動(dòng)或任何有反饋環(huán)路的東西（如生態(tài)系統(tǒng)）?；煦缋碚搫t是對(duì)系統(tǒng)的既不可預(yù)測(cè)而又是決定的行為作明確的描述，它對(duì)于初始條件非常敏感，比如著名的蝴蝶效應(yīng)。最后是復(fù)分析，對(duì)于實(shí)數(shù)及實(shí)變函數(shù)的嚴(yán)格研究為實(shí)分析，而復(fù)分析則為復(fù)數(shù)的等價(jià)領(lǐng)域。數(shù)學(xué)中最大的未解問題之一——黎曼猜想便是以復(fù)分析來描述的。

以上這些便是純粹數(shù)學(xué)的各個(gè)分支。接下來我們進(jìn)入應(yīng)用數(shù)學(xué)的領(lǐng)域。應(yīng)用數(shù)學(xué)的主旨在于將抽象的數(shù)學(xué)工具運(yùn)用在解答科學(xué)、工程、商業(yè)及其他領(lǐng)域上的現(xiàn)實(shí)問題。

3.應(yīng)用數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)被廣泛地應(yīng)用在各個(gè)科學(xué)領(lǐng)域。

3.1我們從物理學(xué)開始。基本上在純粹數(shù)學(xué)提到的所有分支都多多少少的被應(yīng)用于物理學(xué)上。數(shù)學(xué)和理論物理跟純粹數(shù)學(xué)的關(guān)系是密不可分的。許多數(shù)學(xué)理論是在物理問題的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的；也有很多數(shù)學(xué)方法和工具通常只在物理學(xué)中找到實(shí)際應(yīng)用。例如，微分方程被應(yīng)用在經(jīng)典力學(xué)和量子力學(xué)；場(chǎng)論被應(yīng)用在電磁場(chǎng)、引力場(chǎng)和規(guī)范場(chǎng)；群論和表示論別應(yīng)用在粒子物理學(xué)中。

3.2除了物理外，數(shù)學(xué)也被應(yīng)用在其它的自然科學(xué)上，特別是在數(shù)學(xué)化學(xué)和生物數(shù)學(xué)上。在數(shù)學(xué)化學(xué)中，數(shù)學(xué)模型通常被用以模擬分子；拓?fù)浠瘜W(xué)也是一個(gè)熱門的研究領(lǐng)域（2016年的諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)就跟拓?fù)溆嘘P(guān)）。數(shù)學(xué)也大量應(yīng)用在生物學(xué)中，如由于基因?qū)W的發(fā)展，生物學(xué)家采集到的大量數(shù)據(jù)必須通過解析方法加以處理；演化生物學(xué)和生態(tài)學(xué)都大量使用數(shù)學(xué)理論等等。

3.3數(shù)學(xué)也被大量應(yīng)用在工程學(xué)上，自古埃及和巴比倫時(shí)期，數(shù)學(xué)就被大量應(yīng)用在建筑上。非常復(fù)雜的電路系統(tǒng)，比如在飛機(jī)或電網(wǎng)中，就利用了動(dòng)力系統(tǒng)的方法，叫控制理論。

（這里推薦一本Mary Boas寫的教材《Mathematical Methods in the Physical Sciences》，對(duì)于那些本科選擇物理、化學(xué)和工程專業(yè)的學(xué)生，這本書可以快速的幫你們掌握所需要的數(shù)學(xué)知識(shí)。）

3.4當(dāng)一些數(shù)學(xué)太過于復(fù)雜我們無法有效地解決時(shí)，我們就會(huì)用到數(shù)值分析，它也包含了對(duì)計(jì)算中舍入誤差或其它來源的誤差之研究。例如，如果你把一個(gè)圓圈放進(jìn)一個(gè)正方形中，并向它扔許多的飛鏢，接著比較飛鏢在圓圈和正方形的數(shù)量，你就可以得到π的近似值。但在現(xiàn)實(shí)中，數(shù)值分析通常會(huì)使用大型計(jì)算機(jī)來實(shí)現(xiàn)。

3.5博弈論專注于思考游戲中的個(gè)體的預(yù)測(cè)行為和實(shí)際行為，并研究它們的優(yōu)化策略。主要研究公式化了的激勵(lì)結(jié)構(gòu)（游戲）間的相互作用。其中一個(gè)代表性的應(yīng)用例子是囚徒困境。博弈論在經(jīng)濟(jì)學(xué)、心理學(xué)、生物學(xué)、國(guó)際關(guān)系、政治學(xué)等其它學(xué)科都有廣泛的應(yīng)用。

3.6概率論是集中研究概率及隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)分支，最簡(jiǎn)單的隨機(jī)事件為扔硬幣、抽撲克或擲骰子。應(yīng)用數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要領(lǐng)域?yàn)榻y(tǒng)計(jì)學(xué)，它利用概率論為其工具并允許對(duì)含有機(jī)會(huì)成分的現(xiàn)象進(jìn)行描述、分析與預(yù)測(cè)。大部分的實(shí)驗(yàn)、調(diào)查及觀察研究都依賴于統(tǒng)計(jì)分析。因此被廣泛地應(yīng)用在各門學(xué)科，從自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)到人文學(xué)科。特別是在金融行業(yè)，通過統(tǒng)計(jì)分析以獲取最大的利益。

3.7跟最大化利益相關(guān)的是最優(yōu)化，你試圖計(jì)算的是在一系列不同選擇或限制下的最佳選擇，也就是找到一個(gè)函數(shù)的最高或最低點(diǎn)。最優(yōu)化問題是人類的第二天性，我們一直在都在進(jìn)行最優(yōu)化選擇，比如試圖最優(yōu)化我們的快樂程度，購(gòu)買的時(shí)候想要物有所值等等。

3.8另一個(gè)領(lǐng)域跟純數(shù)學(xué)有非常深的聯(lián)系，那就是計(jì)算機(jī)科學(xué)。計(jì)算機(jī)科學(xué)的規(guī)則事實(shí)上是從純數(shù)學(xué)中推導(dǎo)出來的。機(jī)器學(xué)習(xí)是實(shí)現(xiàn)人工智能的一個(gè)途徑，即以機(jī)器學(xué)習(xí)為手段解決人工智能中的問題。機(jī)器學(xué)習(xí)是一門多領(lǐng)域的交叉學(xué)科，利用了數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域，比如線性代數(shù)、最優(yōu)化、動(dòng)力系統(tǒng)和概率論等等。

3.9最后，密碼術(shù)也是非常重要且實(shí)用的一個(gè)數(shù)學(xué)分支，應(yīng)用到了純粹數(shù)學(xué)研究，比如組合數(shù)學(xué)和數(shù)論等。

現(xiàn)在我們已經(jīng)概括了純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的主要部分。但是，還沒有結(jié)束，我們不能夠忽略數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。

4.基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)試圖理解數(shù)學(xué)本身的性質(zhì)，并且追問所有數(shù)學(xué)規(guī)則的基礎(chǔ)是什么。是否存在著一套稱為公理的完整的基本規(guī)則？我們要如何證明它是否自洽？數(shù)理邏輯、集合論和范疇論就試圖回答這個(gè)問題。在數(shù)理邏輯中有一個(gè)非常著名的成果叫做哥德爾不完備定理，對(duì)大多數(shù)人來說，數(shù)學(xué)并沒有一套完整和自洽的公理，意味著它們都是由我們?nèi)祟悇?chuàng)造的。這聽起來很奇怪，因?yàn)閿?shù)學(xué)如此完美的解釋了宇宙中的許多事物。為什么我們會(huì)認(rèn)為由人類創(chuàng)造的東西可以做到如此地步？這是一個(gè)非常深?yuàn)W的謎題。我們還有計(jì)算理論，它專注于研究不同的計(jì)算模型，基于這些模型如何能夠有效地解決問題。它包含了復(fù)雜性理論，其中P/NP問題是該領(lǐng)域中至今沒有解決的問題。數(shù)學(xué)是一個(gè)非常抽象和美妙的世界，如果要用一句話形容它的重要性，那么我會(huì)選擇伽利略曾經(jīng)說過的：“如果一個(gè)人不懂得宇宙的語(yǔ)言，即數(shù)學(xué)的語(yǔ)言，他就不能夠閱讀宇宙這本偉大的書。”

四、如何學(xué)習(xí)

4.1適量做題

千萬千萬千萬不要狂做題。比如說你先花5年做完吉米諾維奇六本數(shù)學(xué)分析習(xí)題集，那么到時(shí)候你就30歲了，后面的二級(jí)課程還沒開始學(xué)呢。因此，做一些課后習(xí)題，幫助你復(fù)習(xí)、思考、維持大腦運(yùn)轉(zhuǎn)就行，要不斷地向后學(xué)。如果完全學(xué)不懂了，返回來做習(xí)題幫自己理清頭緒。

4.2了解思想

數(shù)學(xué)的精髓不是做題的數(shù)量，而是掌握思想。每一個(gè)數(shù)學(xué)分支都有自己的主線思想和方法論，不同分支也有相互可供對(duì)比和借鑒的思維方式。留意它，模仿它，瑣碎的知識(shí)就串成了一條項(xiàng)鏈，你也就掌握了一門課。思想并不是讀一本教材就能輕易了解的，你要讀好幾本書，了解一些應(yīng)用才能體會(huì)。舉兩個(gè)例子：

微積分的主線有這么幾條：認(rèn)識(shí)到微觀和宏觀是有聯(lián)系的，微分用來刻畫事物如何變化，它把細(xì)節(jié)放大給你看，而積分用來刻畫事物的整體性質(zhì)；微分和積分有時(shí)是描述一個(gè)現(xiàn)象的不同方式，這一點(diǎn)你在數(shù)學(xué)分析書中可能不容易發(fā)現(xiàn)，但是如果學(xué)點(diǎn)物理，就會(huì)發(fā)現(xiàn)麥克斯韋方程組同時(shí)有等價(jià)的微分形式和積分形式；積分變換能夠建立不同空間之間的的聯(lián)系，建立空間和空間邊界的聯(lián)系，這就是Stokes定理，這個(gè)公式最遲要在微分流形中你才能一窺全貌。

矩陣是空間中線性變換的抽象，線性代數(shù)這門課的全部意義在于研究如何表達(dá)、化簡(jiǎn)、分類空間線性變換算子；SVD分解不僅在應(yīng)用學(xué)科用有極為廣泛的亮相，也是你理解矩陣的有力工具；矩陣是有限維空間上的線性算子，對(duì)"空間"的理解不僅能讓你重新認(rèn)識(shí)矩陣，更為泛函分析的學(xué)習(xí)開了個(gè)好頭。

4.3漸進(jìn)式迂回式學(xué)習(xí)，對(duì)比學(xué)習(xí)

很多時(shí)候，只讀一本書，可能由于作者在某處思維跳躍了一下，以后你就再也跟不上了。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅，就是你同時(shí)拿到好幾本國(guó)際知名教材，相互對(duì)比著看，或者看完一本然后再看同一主題的另一本書，已經(jīng)熟悉的內(nèi)容跳過去，如果看不懂了，停下來思考或者做做習(xí)題，還是不懂則往后退一退，從能看懂的部分向前推進(jìn)，當(dāng)你看的多了，就會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)東西出現(xiàn)在很多地方，對(duì)它的理解就加深了。舉兩個(gè)例子：

a.外微分這個(gè)東西，國(guó)內(nèi)有的數(shù)學(xué)分析書里可能不介紹，我第一次遇到是在彭家貴的《微分幾何》里，覺得這是個(gè)方便巧妙的工具；后來讀卓里奇的《數(shù)學(xué)分析》和Rudin的《數(shù)學(xué)分析原理》，都講了這個(gè)東西，可見在西方外微分是一個(gè)基礎(chǔ)知識(shí)。你要讀懂它，可能要首先理解矩陣，明白行列式恰好是空間體積在矩陣的變換下拉伸的倍數(shù)，它是一種線性形式。最后，當(dāng)你讀微分流形后，將發(fā)現(xiàn)外微分是獲得流形上的Stokes定理的工具。

b.點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)這個(gè)東西，搞應(yīng)用用不到。但是但凡你想往深處學(xué)，這一門學(xué)科就必須要掌握，因?yàn)樗峁?duì)諸如開集、緊集、連續(xù)、完備等數(shù)學(xué)基本概念的精準(zhǔn)刻畫。往后學(xué)泛函分析、微分流形，沒有這些概念你將寸步難行。首先你要讀芒克里斯的曠世名著《拓?fù)鋵W(xué)》，接著在讀其他外國(guó)人寫的書時(shí)，或多或少都會(huì)接觸一些相關(guān)概念，你的理解就加深了，比如讀Rudin的《泛函分析》，開始就是介紹線性拓?fù)淇臻g，前面的知識(shí)你就能用上了。

4.4建立不同學(xué)科的聯(lián)系

看到一個(gè)東西在很多地方用，你對(duì)它的理解就加深了，慢慢也就能體會(huì)到這個(gè)東西的精妙，最后你會(huì)發(fā)現(xiàn)所有的基礎(chǔ)學(xué)科相互交織，又在后續(xù)應(yīng)用中相互幫助，切實(shí)體會(huì)到它們真的很基礎(chǔ)，很有用。這是一種體會(huì)數(shù)學(xué)樂趣的途徑。

4.5關(guān)注應(yīng)用學(xué)科(上文介紹過一些)

沒有什么比應(yīng)用更能激發(fā)你對(duì)新知識(shí)、新工具的渴望。找一些感興趣的應(yīng)用學(xué)科教材，讀一讀，開闊眼界，為自己的未來積累資源。以下結(jié)合自己的專業(yè)（計(jì)算機(jī)視覺）和愛好說說一些優(yōu)秀的專業(yè)書籍：

學(xué)了微積分，就可以無壓力閱讀《費(fèi)恩曼物理學(xué)講義第一卷》，了解力、熱、光、時(shí)空的奧秘；學(xué)了偏微分方程，就可以無壓力閱讀《費(fèi)恩曼物理學(xué)講義第二卷》，了解電的奧秘；學(xué)了矩陣論，可以買一本《計(jì)算機(jī)視覺中的多視圖幾何》，了解成像的奧秘，編程進(jìn)行圖像序列的三維重建；學(xué)了概率論的同學(xué)應(yīng)該會(huì)聽說過貝葉斯學(xué)派和頻率學(xué)派，這兩個(gè)學(xué)派的人把戰(zhàn)場(chǎng)拉到了機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域，成就了兩本經(jīng)典著作《Pattern Recognition And Machine Learning》和《TheElements of Statistical Learning》，讀了它們，我被基礎(chǔ)數(shù)學(xué)為機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域提供的豐碩成果和深刻見解深深折服；讀了《Ray Tracing from the Ground Up》，自己寫了一個(gè)光線追蹤器渲染真實(shí)場(chǎng)景，它的基礎(chǔ)就是一點(diǎn)點(diǎn)微積分和矩陣......

高等數(shù)學(xué)的應(yīng)用實(shí)在是太多了，如果你喜歡編程，自動(dòng)化、機(jī)器人、計(jì)算機(jī)視覺、模式識(shí)別、數(shù)據(jù)挖掘、圖形圖像、信息論和密碼學(xué)......到處都有大量模型供你玩耍，而且只需要一點(diǎn)點(diǎn)高等數(shù)學(xué)。在這些領(lǐng)域，你可能能發(fā)現(xiàn)比數(shù)學(xué)書更有趣，也更容易找到工作的目標(biāo)。

4.6找有趣的書看

數(shù)學(xué)家寫的書有時(shí)是比較死板的，但是總有一些教材，它們的作者有強(qiáng)烈的欲望想向你展示"這個(gè)東西其實(shí)很有趣"，"這個(gè)東西完全不是你想的那個(gè)樣子"等等，他們成功了；還有些作者，他們喜歡把一個(gè)東西在不同領(lǐng)域的應(yīng)用，和不同東西在某一領(lǐng)域的應(yīng)用集中展示給你看。這樣的書會(huì)提供給你充足的樂趣讀下去。典型代表就是國(guó)內(nèi)出版的一套《圖靈數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)叢書》，這一套書實(shí)在是太棒了，比如《線性代數(shù)應(yīng)該這樣學(xué)》《復(fù)分析：可視化方法》《微分方程、動(dòng)力系統(tǒng)與混沌導(dǎo)論》，個(gè)人認(rèn)為都是學(xué)數(shù)學(xué)必讀的經(jīng)典教材，非常非常有趣。

五、多讀書，讀好書

如果只有一句話概括如何培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力，那么就是這一句：多讀書，讀好書。因此這一步我想單獨(dú)拿出來多說兩句。

想必大家都十分精通并能熟練應(yīng)用小學(xué)數(shù)學(xué)。想讀懂代數(shù)幾何，或者退一步，想讀懂信息論基礎(chǔ)，你就要挑幾本好的基礎(chǔ)教材，最好是外國(guó)人寫的，像掌握小學(xué)數(shù)學(xué)那樣掌握它。不要只看一本，找三本不同作者的書，對(duì)比著看，逐行逐字看。有的地方肯定看不懂，記下來，說不定在另一本書的某個(gè)地方就從另一個(gè)角度說到了這個(gè)東西。

如果你以后還要往后學(xué)，現(xiàn)在看到的每一個(gè)基礎(chǔ)定理，以后還會(huì)用到。每一本基礎(chǔ)書，你今天放棄，明天還要乖乖重頭再來。要像讀經(jīng)文一樣，交叉閱讀對(duì)比不同教材內(nèi)容的異同。