樸素貝葉斯算法詳細總結

樸素貝葉斯法是基于貝葉斯定理與特征條件獨立假設的分類方法，是經(jīng)典的機器學習算法之一，處理很多問題時直接又高效，因此在很多領域有著廣泛的應用，如垃圾郵件過濾、文本分類等。也是學習研究自然語言處理問題的一個很好的切入口。樸素貝葉斯原理簡單，卻有著堅實的數(shù)學理論基礎，對于剛開始學習算法或者數(shù)學基礎差的同學們來說，還是會遇到一些困難，花費一定的時間。比如小編剛準備學習的時候，看到貝葉斯公式還是有點小害怕的，也不知道自己能不能搞定。至此，人工智能頭條特別為大家尋找并推薦一些文章，希望大家在看過學習后，不僅能消除心里的小恐懼，還能高效、容易理解的get到這個方法，從中獲得啟發(fā)沒準還能追到一個女朋友，脫單我們是有技術的。

貝葉斯分類是一類分類算法的總稱，這類算法均以貝葉斯定理為基礎，故統(tǒng)稱為貝葉斯分類。而樸素樸素貝葉斯分類是貝葉斯分類中最簡單，也是常見的一種分類方法。這篇文章我盡可能用直白的話語總結一下我們學習會上講到的樸素貝葉斯分類算法，希望有利于他人理解。

▌分類問題綜述

對于分類問題，其實誰都不會陌生，日常生活中我們每天都進行著分類過程。例如，當你看到一個人，你的腦子下意識判斷他是學生還是社會上的人；你可能經(jīng)常會走在路上對身旁的朋友說“這個人一看就很有錢、”之類的話，其實這就是一種分類操作。

既然是貝葉斯分類算法，那么分類的數(shù)學描述又是什么呢？

從數(shù)學角度來說，分類問題可做如下定義：

已知集合C=y1,y2,……,yn和I=x1,x2,……,xn確定映射規(guī)則y=f()，使得任意xi∈I有且僅有一個yi∈C，使得yi∈f(xi)成立。

其中C叫做類別集合，其中每一個元素是一個類別，而I叫做項集合（特征集合），其中每一個元素是一個待分類項，f叫做分類器。分類算法的任務就是構造分類器f。

分類算法的內容是要求給定特征，讓我們得出類別，這也是所有分類問題的關鍵。那么如何由指定特征，得到我們最終的類別，也是我們下面要講的，每一個不同的分類算法，對應著不同的核心思想。

本篇文章，我會用一個具體實例，對樸素貝葉斯算法幾乎所有的重要知識點進行講解。

▌樸素貝葉斯分類

那么既然是樸素貝葉斯分類算法，它的核心算法又是什么呢？

是下面這個貝葉斯公式：

換個表達形式就會明朗很多，如下:

我們最終求的p(類別|特征)即可！就相當于完成了我們的任務。

▌例題分析

下面我先給出例子問題。

給定數(shù)據(jù)如下：

現(xiàn)在給我們的問題是，如果一對男女朋友，男生想女生求婚，男生的四個特點分別是不帥，性格不好，身高矮，不上進，請你判斷一下女生是嫁還是不嫁？

這是一個典型的分類問題，轉為數(shù)學問題就是比較p(嫁|(不帥、性格不好、身高矮、不上進))與p(不嫁|(不帥、性格不好、身高矮、不上進))的概率，誰的概率大，我就能給出嫁或者不嫁的答案！

這里我們聯(lián)系到樸素貝葉斯公式：

我們需要求p(嫁|(不帥、性格不好、身高矮、不上進),這是我們不知道的，但是通過樸素貝葉斯公式可以轉化為好求的三個量：

p(不帥、性格不好、身高矮、不上進|嫁)、

p（不帥、性格不好、身高矮、不上進)、

p(嫁)（至于為什么能求，后面會講，那么就太好了，將待求的量轉化為其它可求的值，這就相當于解決了我們的問題?。?/p>

▌樸素貝葉斯算法的樸素一詞解釋

那么這三個量是如何求得？

是根據(jù)已知訓練數(shù)據(jù)統(tǒng)計得來，下面詳細給出該例子的求解過程。

回憶一下我們要求的公式如下：

那么我只要求得p(不帥、性格不好、身高矮、不上進|嫁)、p（不帥、性格不好、身高矮、不上進)、p(嫁)即可，好的，下面我分別求出這幾個概率，最后一比，就得到最終結果。

p(不帥、性格不好、身高矮、不上進|嫁) = p(不帥|嫁)*p(性格不好|嫁)*p(身高矮|嫁)*p(不上進|嫁)，那么我就要分別統(tǒng)計后面幾個概率，也就得到了左邊的概率！

等等，為什么這個成立呢？學過概率論的同學可能有感覺了，這個等式成立的條件需要特征之間相互獨立吧！

對的！這也就是為什么樸素貝葉斯分類有樸素一詞的來源，樸素貝葉斯算法是假設各個特征之間相互獨立，那么這個等式就成立了！

但是為什么需要假設特征之間相互獨立呢？

1、我們這么想，假如沒有這個假設，那么我們對右邊這些概率的估計其實是不可做的，這么說，我們這個例子有4個特征，其中帥包括，性格包括，身高包括，上進包括，那么四個特征的聯(lián)合概率分布總共是4維空間，總個數(shù)為2*3*3*2=36個。

24個，計算機掃描統(tǒng)計還可以，但是現(xiàn)實生活中，往往有非常多的特征，每一個特征的取值也是非常之多，那么通過統(tǒng)計來估計后面概率的值，變得幾乎不可做，這也是為什么需要假設特征之間獨立的原因。

2、假如我們沒有假設特征之間相互獨立，那么我們統(tǒng)計的時候，就需要在整個特征空間中去找，比如統(tǒng)計p(不帥、性格不好、身高矮、不上進|嫁)

我們就需要在嫁的條件下，去找四種特征全滿足分別是不帥，性格不好，身高矮，不上進的人的個數(shù)，這樣的話，由于數(shù)據(jù)的稀疏性，很容易統(tǒng)計到0的情況。 這樣是不合適的。

根據(jù)上面?zhèn)z個原因，樸素貝葉斯法對條件概率分布做了條件獨立性的假設，由于這是一個較強的假設，樸素貝葉斯也由此得名！這一假設使得樸素貝葉斯法變得簡單，但有時會犧牲一定的分類準確率。

好的，上面我解釋了為什么可以拆成分開連乘形式。那么下面我們就開始求解！

我們將上面公式整理一下如下：

下面我將一個一個的進行統(tǒng)計計算（在數(shù)據(jù)量很大的時候，根據(jù)中心極限定理，頻率是等于概率的，這里只是一個例子，所以我就進行統(tǒng)計即可）。

p(嫁)=？

首先我們整理訓練數(shù)據(jù)中，嫁的樣本數(shù)如下：

則 p(嫁) = 6/12（總樣本數(shù)） = 1/2

p(不帥|嫁)=？統(tǒng)計滿足樣本數(shù)如下：

則p(不帥|嫁) = 3/6 = 1/2

p(性格不好|嫁)= ？統(tǒng)計滿足樣本數(shù)如下：

則p(性格不好|嫁)= 1/6

p（矮|嫁） = ?統(tǒng)計滿足樣本數(shù)如下：

則p(矮|嫁) = 1/6

p(不上進|嫁) = ?統(tǒng)計滿足樣本數(shù)如下：

則p(不上進|嫁) = 1/6

下面開始求分母，p(不帥)，p（性格不好），p（矮），p（不上進）

統(tǒng)計樣本如下：

不帥統(tǒng)計如上紅色所示，占4個，那么p（不帥） = 4/12 = 1/3

性格不好統(tǒng)計如上紅色所示，占4個，那么p（性格不好） = 4/12 = 1/3

身高矮統(tǒng)計如上紅色所示，占7個，那么p（身高矮） = 7/12

不上進統(tǒng)計如上紅色所示，占4個，那么p（不上進） = 4/12 = 1/3

到這里，要求p(不帥、性格不好、身高矮、不上進|嫁)的所需項全部求出來了，下面我?guī)脒M去即可，

=(1/2*1/6*1/6*1/6*1/2)/(1/3*1/3*7/12*1/3)

下面我們根據(jù)同樣的方法來求p(不嫁|不帥，性格不好，身高矮，不上進)，完全一樣的做法，為了方便理解，我這里也走一遍幫助理解。首先公式如下：

下面我也一個一個來進行統(tǒng)計計算，這里與上面公式中，分母是一樣的，于是我們分母不需要重新統(tǒng)計計算！

p(不嫁)=？根據(jù)統(tǒng)計計算如下（紅色為滿足條件）：

則p(不嫁)=6/12 = 1/2

p(不帥|不嫁)= ？統(tǒng)計滿足條件的樣本如下（紅色為滿足條件）：

則p(不帥|不嫁)= 1/6

p(性格不好|不嫁)= ？據(jù)統(tǒng)計計算如下（紅色為滿足條件）：

則p(性格不好|不嫁) =3/6 = 1/2

p(矮|不嫁)= ？據(jù)統(tǒng)計計算如下（紅色為滿足條件）：

則p（矮|不嫁） = 6/6 = 1

p(不上進|不嫁)= ？據(jù)統(tǒng)計計算如下（紅色為滿足條件）：

則p（不上進|不嫁） = 3/6 = 1/2

那么根據(jù)公式：

p(不嫁|不帥、性格不好、身高矮、不上進) =((1/6*1/2*1*1/2)*1/2)/(1/3*1/3*7/12*1/3)

很顯然 (1/6*1/2*1*1/2) > (1/2*1/6*1/6*1/6*1/2)

于是有p(不嫁|不帥、性格不好、身高矮、不上進)>p(嫁|不帥、性格不好、身高矮、不上進)

所以我們根據(jù)樸素貝葉斯算法可以給這個女生答案，是不嫁?。。。?/p>

▌樸素貝葉斯分類的優(yōu)缺點

優(yōu)點：

算法邏輯簡單,易于實現(xiàn)

分類過程中時空開銷小

缺點：

理論上，樸素貝葉斯模型與其他分類方法相比具有最小的誤差率。但是實際上并非總是如此，這是因為樸素貝葉斯模型假設屬性之間相互獨立，這個假設在實際應用中往往是不成立的，在屬性個數(shù)比較多或者屬性之間相關性較大時，分類效果不好。

而在屬性相關性較小時，樸素貝葉斯性能最為良好。對于這一點，有半樸素貝葉斯之類的算法通過考慮部分關聯(lián)性適度改進。

整個例子詳細的講解了樸素貝葉斯算法的分類過程，希望對大家的理解有幫助~

上文中我們已經(jīng)根據(jù)樸素貝葉斯算法給出了當一個男生想他的女朋友求婚，女生是否嫁給他的答案！

這個男生的四個特征是長相不帥，性格不好，身高矮，不上進，我們最終得出的結論是女生不嫁！很多人說這是一道送分題，哈哈哈哈。我們用數(shù)學算法也說明了不靠譜是取不到老婆滴！

那么我們再來一個例子，假如此時另外一對情侶，這對情侶中，男生的四個特征是，長相帥，性格爆好，身高高，上進，那么他的女朋友嫁還是不嫁呢？可能又會有小伙伴說這是一道送分題，是不是，我們下面用事實說話！

下面通過例子來引出拉普拉斯平滑過程！

▌從例子開始

還是下面的訓練數(shù)據(jù)：

四個特征集合分別長相{帥，不帥}、性格{爆好，好，不好}、身高{高，中，矮}、上進與否{上進，不上進}

我們此時要求出該男生在四個特征分別是長相帥，性格爆好，身高高，上進的情況下，他對應的嫁與不嫁的概率誰大誰小，從而得出結論！

也就是要比較p(嫁|長相帥，性格爆好，身高高，上進)與p(不嫁|長相帥，性格爆好，身高高，上進)的概率大小。

按照樸素貝葉斯算法公式，我們可以得到如下公式：

由于兩者的分母都是p(長相帥)、p(性格爆好)、p(身高高)、p（上進）,那么我們可以不算分母，比較的時候只比較倆個公式分子大小即可。

好的，下面我們開始計算，先計算在四個特征的條件下，嫁的概率。

我們需要分別計算p（性格爆好|嫁）、p(長相帥|嫁)、p(身高高|嫁)、p(上進|嫁)

首先我們來算p(性格爆好|嫁)=？我們觀察訓練數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)如下：

居然沒有一個數(shù)據(jù)有爆好這個特點的，那么p（性格爆好|嫁） = 0，那么我們可以看出問題了，根據(jù)公式：

我們最后的p(嫁|長相帥、性格爆好、身高高、上進)由于一項p（性格爆好|嫁）為0，而造成整個概率為0，這顯然是錯誤的。

而這個錯誤的造成是由于訓練量不足，會令分類器質量大大降低。為了解決這個問題，我們引入Laplace校準（這就引出了我們的拉普拉斯平滑），它的思想非常簡單，就是對每個類別下所有劃分的計數(shù)加1，這樣如果訓練樣本集數(shù)量充分大時，并不會對結果產生影響，并且解決了上述頻率為0的尷尬局面。

引入拉普拉斯平滑的公式如下：

其中ajl，代表第j個特征的第l個選擇，Sj代表第j個特征的個數(shù)，K代表種類的個數(shù)。

λ為1，這也很好理解，加入拉普拉斯平滑之后，避免了出現(xiàn)概率為0的情況，又保證了每個值都在0到1的范圍內，又保證了最終和為1的概率性質！

我們可以通過下面例子更加深刻的理解這個公式：（現(xiàn)在我們是加入拉普拉斯平滑）

▌加入拉普拉斯平滑

我們先需要分別計算p（性格爆好|嫁）、p(長相帥|嫁)、p(身高高|嫁)、p(上進|嫁)，p(嫁)

p(性格爆好|嫁)=？統(tǒng)計滿足要求的如下面紅色部分

沒有一個滿足是性格爆好的條件，但是此時概率不為0，按照加入拉普拉斯平滑后的公式,性格特征的個數(shù)為爆好，好，不好，三種情況，那么Sj為3，則最終概率為1/9 （嫁的個數(shù)為6+特征個數(shù)為3）

p(長相帥|嫁)=？統(tǒng)計滿足條件的如下面紅色部分：

由上圖可知滿足要求的為3個，按照加入拉普拉斯平滑后的公式,長相特征的個數(shù)為帥，不帥，兩種情況，那么Sj為2，則最終概率p(長相帥|嫁)為4/8 （嫁的個數(shù)為6+特征個數(shù)為2）

p（身高高|嫁） = ？統(tǒng)計滿足條件的如下面紅色部分：

由上圖可知滿足要求的為3個，按照加入拉普拉斯平滑后的公式,身高特征的個數(shù)為高，中，矮情況，那么Sj為3，則最終概率p(身高高|嫁)為4/9 （嫁的個數(shù)為6+特征個數(shù)為3）

p（上進|嫁)=？統(tǒng)計滿足要求的如下面紅色部分：

由上圖可知滿足要求的為5個，按照加入拉普拉斯平滑后的公式,上進特征的個數(shù)為上進，不上進情況，那么Sj為2，則最終概率p(上進|嫁)為6/8 （嫁的個數(shù)為6+特征個數(shù)為2）

p(嫁) = ？滿足要求的如下紅色標注：

由上圖可知滿足要求的為6個，按照加入拉普拉斯平滑后的公式,種類的個數(shù)為嫁，不嫁情況，那么K為2，則最終概率p(嫁)為7/14 = 1/2 （嫁的個數(shù)為6+種類個數(shù)為2）

到這里為止，我們已經(jīng)算出了在該男生條件下，嫁的概率為：

p(嫁|長相帥、性格爆好、身高高、上進) = 1/9*4/8*4/9*6/8*1/2

下面我們需要算出p(不嫁|長相帥、性格爆好、身高高、上進)的概率，然后與上面的數(shù)值進行比較即可，算法與上面完全一模一樣！這里也走一遍。

我們需要估計出p(長相帥|不嫁)、p(性格爆好|不嫁)、p(身高高|不嫁)、p（上進|不嫁），p（不嫁）的概率分別為多少。

p（長相帥|不嫁）=？滿足要求如下面紅色標注：

由上圖可知滿足要求的為5個，按照加入拉普拉斯平滑后的公式,長相帥特征的個數(shù)為不帥，帥情況，那么Sj為2，則最終概率p(長相不帥|不嫁)為6/8 （不嫁的個數(shù)為6+特征個數(shù)為2）

p（性格爆好|不嫁）=？滿足要求如下面紅色標注：

沒有一個滿足是性格爆好的條件，但是此時概率不為0，按照加入拉普拉斯平滑后的公式,性格特征的個數(shù)為爆好，好，不好，三種情況，那么Sj為3，則最終概率p（性格爆好|不嫁）為1/9 （不嫁的個數(shù)為6+特征個數(shù)為3）

p（身高高|不嫁）=？滿足要求如下面紅色標注：

沒有一個滿足是身高高的條件，但是此時概率不為0，按照加入拉普拉斯平滑后的公式，身高特征的個數(shù)為高，中，矮，三種情況，那么Sj為3，則最終概率p(身高高|不嫁)為1/9 （不嫁的個數(shù)為6+特征個數(shù)為3）

p（上進|不嫁）=？滿足要求如下面紅色標注：

由上圖可知滿足要求的為3個，按照加入拉普拉斯平滑后的公式,上進特征的個數(shù)為上進，不上進情況，那么Sj為2，則最終概率p(上進|不嫁)為4/8 （不嫁的個數(shù)為6+特征個數(shù)為2）

p（不嫁）=？滿足要求的如紅色標注：

由上圖可知滿足要求的為6個，按照加入拉普拉斯平滑后的公式，種類的個數(shù)為嫁，不嫁情況，那么K為2，則最終概率p(不嫁)為7/14 = 1/2 （不嫁的個數(shù)為6+種類個數(shù)為2）

到這里為止，我們已經(jīng)算出了在該男生條件下，不嫁的概率為：

p(不嫁|長相帥、性格爆好、身高高、上進) = 5/8*1/9*1/9*3/8*1/2

▌結論

于是我們可以得到

p(嫁|長相帥、性格爆好、身高高、上進) = 1/9*4/8*4/9*6/8*1/2 > p(不嫁|長相帥、性格爆好、身高高、上進) = 6/8*1/9*1/9*4/8*1/2

于是我們可以大膽的告訴女生，這樣的好男人，貝葉斯告訴你了，該嫁?。?！

這就是我們使用拉普拉斯平滑后計算的整個算法過程！

希望對大家的理解有幫助~歡迎大家指錯交流！