離散傅里葉變換DFT中的第5個問題：頻域抽樣進行總結

繼續(xù)上一篇，本文對離散信號的頻域分析（共5節(jié)）中的第3節(jié)——離散傅里葉變換DFT（Discrete- Fourier Transform）中的第5個問題：頻域抽樣進行總結。

3.5 頻域抽樣

實際上，DFT，就是頻域抽樣。包括三個問題，這三個問題環(huán)環(huán)相扣、層層推進。

1、DFT與DTFT、z變換的關系

先從公式上看三個變換的關系，再結合z平面的單位圓的概念，從圖形上理解。如下圖：

圖1

圖2

毫無疑問，DFT的自變量k為離散的，而DTFT的自變量w、以及z變換的自變量z都是連續(xù)變量。DFT是兩外兩種變換的離散采樣值。因為這種采樣是在頻域，所以稱為”頻域采樣“。

那么問題來啦：

不管在那個域進行抽樣，其數學本質都是用一些離散的數值代替原來連續(xù)變化的函數，或者說用一些離散的點代表原來連續(xù)的曲線。能不能代表？取決于兩個因素：一是這些離散的點的間隔，即抽樣間隔；二是原來那條連續(xù)曲線的變化起伏程度。這就是第二個問題：頻域抽樣定理。

2、頻域抽樣定理

傅里葉分析方法的好處在于，建立起時域和頻域的一種重要的對應關系：一個域離散抽樣，另外一個域周期延拓。所以，研究時域抽樣時，把問題對應到頻域上去研究；那么現(xiàn)在研究頻域抽樣時，又要把問題對應到時域上去研究。毫無疑問，時域上會周期延拓。如下圖：

圖3

既然是以N為周期延拓，條件自然而然就出來了：

圖4

也就是說，只要滿足頻域抽樣定理的條件，頻譜離散的抽樣值X(k)可以完全表征連續(xù)頻譜X(e^jw)或者X(z)。

問題又來了，怎么表示？這就是第三個問題：頻域的插值恢復。

3、頻域的插值恢復

與時域抽樣的恢復完全相同的思路，用離散的樣本值乘以一個插值函數，得到一個連續(xù)的函數，只不過這里的插值函數是關于w或z的函數。下面的任務就是找這個函數fai(w)或fai(z)。

圖5

z變換的形式更為簡潔，因此首先解決由X(k)得到X(z)的問題。

以下推導過程的大致思路：把z變換定義式中的x(n)用IDFT的公式替換，然后交換求和次序，再利用旋轉因子的性質，即可得到。如下圖：

圖6

解決了由X(k)得到X(z)的問題，將z換成e^jw，自然就得到了X(e^jw)。如下圖：

圖7

把內插公式和內插函數總結如圖8，這個內插函數的幅度部分的圖形我們可以畫出來，我們發(fā)現(xiàn)，它在一些固定的位置（2Π/N的整數倍處）是零，而2Π/N恰好是頻域抽樣時的間隔，這是巧合嗎？顯然不是，這是必然的。

圖8

我們把內插公式展開來看，如圖9所示。也就是說，把各個頻域抽樣值X(k)與做相應平移后的內插函數（平移2Π/N的k倍）相乘，再相加，就得到連續(xù)的頻譜函數X(e^jw)。與第k個抽樣值相乘的內插函數，在所有其他抽樣點處剛好是零點，只有在第k個抽樣點處的值不為零（值為1）。所以，重建后的這個連續(xù)函數，在每個抽樣位置（也就是2Π/N的整數倍）上的值，就等于X(k)這一點的值，不需要任何其他抽樣值參與；而在兩個抽樣點之間的值（沒抽到的地方），需要所有抽樣值來參與共同構成。

圖9

這個問題的理解，與“時域抽樣后信號的重建”問題是一樣的。但有的同學可能會說，時域抽樣后信號的重建，我記得是通過理想低通濾波器來推導出重建的內插公式，這里怎么不是呢？