傅里葉變換的應用 FFT分析信號頻譜

前面兩篇文章講了離散傅里葉變換的應用之一——用FFT分析信號頻譜，并給出了一道題目。鏈接如下：

數(shù)字信號處理系列串講第11篇（離散信號的頻域分析之五）——傅里葉變換的應用（1）：FFT分析信號頻譜（之一）

數(shù)字信號處理系列串講第12篇（離散信號的頻域分析之五）——FFT分析信號頻譜題目解答（補充修訂版）

今天這篇，來說一說FFT分析信號頻譜中一個重要的概念：頻率分辨率。

分辨率是信號處理中的基本概念之一，通俗地講，分辨率就是能夠?qū)蓚€事物分開的能力。頻率分辨率就是頻域上能夠?qū)蓚€不同頻率分量分開的能力。

前面說了，計算機只能處理有限長的數(shù)據(jù)。無限長的單頻信號的頻譜為一個沖激，但有限長（例如長度為L）的單頻信號，頻譜是什么樣子呢？上一篇中已經(jīng)給大家詳細推導了，寬度為4Π/L（單位：弧度rad）。那么，如果信號中包含兩個頻率成分，要能夠把它們分開，它們最近能離得多近呢？看下圖：

圖1

注意，上圖中只畫出了主瓣，沒有畫出旁瓣。上圖中的Δw為數(shù)字域頻率，單位為：弧度rad，再利用數(shù)字域頻率與模擬角頻率的關(guān)系（如果這個問題有疑惑，看如下鏈接：）

數(shù)字信號處理系列（離散信號的頻域分析之二）——數(shù)字域頻率與模擬角頻率

得到頻率分辨率為：

圖2

上式中，fs為采樣率，T為采樣間隔，L為截取的數(shù)據(jù)點數(shù)。因此，LT為數(shù)據(jù)時間長度（單位：秒），也就是說

頻率分辨率為信號時長的倒數(shù)。

這與我們的直觀感受也是一致的，截取的信號時間越長，得到的信息越多，頻率分辨率越高，即Δf的數(shù)值越小，越有可能把離得很近的兩個頻率分辨開。

那么，問題來了，如果L很小，但我給截取后的數(shù)據(jù)補上很多個零，做一個比較大點數(shù)的DFT，能提高頻率分辨率嗎？

補零的作用，可以減小將頻譜離散化時的間隔（提高頻譜離散化的精細度，因為N點DFT就是將頻譜以2Π/N為間隔離散化），可以減小”柵欄效應“。但DFT是對信號DTFT的抽樣，而補零并不能改變DTFT的結(jié)果，也就是說，連續(xù)的頻譜在補零前后是一樣的，因此頻率分辨率也就不會發(fā)生改變。

另一方面，從信息的角度，直觀上就很容易理解，補零并不增加新的信息，自然也就不會改善頻率分辨率。

所以說，對L點長的數(shù)據(jù)做N點DFT，頻率分辨率為：fs/L，而不是fs/N。

但是，在計算第k根譜線對應的模擬頻率時，是：kfs/N，而不是kfs/L。

為了區(qū)分，有些教材上，將fs/N稱為“計算分辨率”，fs/L稱為”物理分辨率“。

我講清楚了嗎？

另外，我們知道，如果采樣率為fs，意味著信號中最高頻率fh不能超過fs的一半，即：

fs≥2fh

將上式代入到圖2公式中，得到：

根據(jù)上式，得到：

也就是說，若信號中最高頻率成分為fh，要達到Δf的頻率分辨率，至少要截取的序列點數(shù)L為2fh/Δf。

注意，上式得到的L，為理論上的最低條件。因為上式的導出，是沒有考慮其他信號處理措施（如加各種窗），除了矩形窗之外的窗函數(shù)，主瓣會展寬，而且實際信號含有噪聲。因此，實際信號處理時，序列點數(shù)需大于上述條件。

最后，總結(jié)一下重點：

頻率分辨率為信號時長的倒數(shù)。

補零，可以改善“柵欄效應”，但不能真正提高信號的頻率分辨率。