快速傅里葉變換（FFT）結(jié)果的物理意義分析

　FFT是離散傅立葉變換的快速算法，可以將一個(gè)信號變換到頻域。有些信號在時(shí)域上是很難看出什么特征的，但是如果變換到頻域之后，就很容易看出特征了。這就是很多信號分析采用FFT變換的原因。另外，F(xiàn)FT可以將一個(gè)信號的頻譜提取出來，這在頻譜分析方面也是經(jīng)常用的。
　　雖然很多人都知道FFT是什么，可以用來做什么，怎么去做，但是卻不知道FFT之后的結(jié)果是什么意思、如何決定要使用多少點(diǎn)來做FFT?，F(xiàn)在就根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)來說說FFT結(jié)果的具體物理意義。一個(gè)模擬信號，經(jīng)過ADC采樣之后，就變成了數(shù)字信號。采樣定理告訴我們，采樣頻率要大于信號頻率的兩倍，這些我就不在此羅嗦了。
　　采樣得到的數(shù)字信號，就可以做FFT變換了。N個(gè)采樣點(diǎn)，經(jīng)過FFT之后，就可以得到N個(gè)點(diǎn)的FFT結(jié)果。為了方便進(jìn)行FFT運(yùn)算，通常N取2的整數(shù)次方。
　　假設(shè)采樣頻率為Fs，信號頻率F，采樣點(diǎn)數(shù)為N。那么FFT之后結(jié)果就是一個(gè)為N點(diǎn)的復(fù)數(shù)。每一個(gè)點(diǎn)就對應(yīng)著一個(gè)頻率點(diǎn)。這個(gè)點(diǎn)的模值，就是該頻率值下的幅 度特性。具體跟原始信號的幅度有什么關(guān)系呢？假設(shè)原始信號的峰值為A，那么FFT的結(jié)果的每個(gè)點(diǎn)（除了第一個(gè)點(diǎn)直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。而 第一個(gè)點(diǎn)就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。而每個(gè)點(diǎn)的相位呢，就是在該頻率下的信號的相位。第一個(gè)點(diǎn)表示直流分量（即0Hz），而最后一個(gè)點(diǎn)N 的再下一個(gè)點(diǎn)（實(shí)際上這個(gè)點(diǎn)是不存在的，這里是假設(shè)的第N+1個(gè)點(diǎn)，也可以看做是將第一個(gè)點(diǎn)分做兩半分，另一半移到最后）則表示采樣頻率Fs，這中間被 N-1個(gè)點(diǎn)平均分成N等份，每個(gè)點(diǎn)的頻率依次增加。例如某點(diǎn)n所表示的頻率為：Fn=（n-1）*Fs/N。由上面的公式可以看出，F(xiàn)n所能分辨到頻率為 為Fs/N，如果采樣頻率Fs為1024Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為1024點(diǎn)，則可以分辨到1Hz。1024Hz的采樣率采樣1024點(diǎn)，剛好是1秒，也就是說， 采樣1秒時(shí)間的信號并做FFT，則結(jié)果可以分析到1Hz，如果采樣2秒時(shí)間的信號并做FFT，則結(jié)果可以分析到0.5Hz。如果要提高頻率分辨力，則必須 增加采樣點(diǎn)數(shù)，也即采樣時(shí)間。頻率分辨率和采樣時(shí)間是倒數(shù)關(guān)系。
　　假設(shè)FFT之后某點(diǎn)n用復(fù)數(shù)a+bi表示，那么這個(gè)復(fù)數(shù)的模 就是An=根號a*a+b*b，相位就是Pn=atan2（b，a）。根據(jù)以上的結(jié)果，就可以計(jì)算出n點(diǎn)（n≠1，且n《=N/2）對應(yīng)的信號的表 達(dá)式為：An/（N/2）*cos（2*pi*Fn*t+Pn），即2*An/N*cos（2*pi*Fn*t+Pn）。對于n=1點(diǎn)的信號，是直流分 量，幅度即為A1/N。
　　由于FFT結(jié)果的對稱性，通常我們只使用前半部分的結(jié)果，即小于采樣頻率一半的結(jié)果。
　　好了，說了半天，看著公式也暈，下面以一個(gè)實(shí)際的信號來做說明。
　　假設(shè)我們有一個(gè)信號，它含有2V的直流分量，頻率為50Hz、相位為-30度、幅度為3V的交流信號，以及一個(gè)頻率為75Hz、相位為90度、幅度為1.5V的交流信號。用數(shù)學(xué)表達(dá)式就是如下：
　　S=2+3*cos（2*pi*50*t-pi*30/180）+1.5*cos（2*pi*75*t+pi*90/180）
　　式中cos參數(shù)為弧度，所以-30度和90度要分別換算成弧度。我們以256Hz的采樣率對這個(gè)信號進(jìn)行采樣，總共采樣256點(diǎn)。按照我們上面的分 析，F(xiàn)n=（n-1）*Fs/N，我們可以知道，每兩個(gè)點(diǎn)之間的間距就是1Hz，第n個(gè)點(diǎn)的頻率就是n-1。我們的信號有3個(gè)頻率：0Hz、50Hz、 75Hz，應(yīng)該分別在第1個(gè)點(diǎn)、第51個(gè)點(diǎn)、第76個(gè)點(diǎn)上出現(xiàn)峰值，其它各點(diǎn)應(yīng)該接近0。實(shí)際情況如何呢？我們來看看FFT的結(jié)果的模值如圖所示。
　　
　　FFT的結(jié)果
　　從圖中我們可以看到，在第1點(diǎn)、第51點(diǎn)、和第76點(diǎn)附近有比較大的值。我們分別將這三個(gè)點(diǎn)附近的數(shù)據(jù)拿上來細(xì)看：
　　1點(diǎn)： 512+0i
　　2點(diǎn)： -2.6195E-14 - 1.4162E-13i
　　3點(diǎn)： -2.8586E-14 - 1.1898E-13i
　　50點(diǎn)：-6.2076E-13 - 2.1713E-12i
　　51點(diǎn)：332.55 - 192i
　　52點(diǎn)：-1.6707E-12 - 1.5241E-12i
　　75點(diǎn)：-2.2199E-13 -1.0076E-12i
　　76點(diǎn)：3.4315E-12 + 192i
　　77點(diǎn)：-3.0263E-14 +7.5609E-13i
　　很明顯，1點(diǎn)、51點(diǎn)、76點(diǎn)的值都比較大，它附近的點(diǎn)值都很小，可以認(rèn)為是0，即在那些頻率點(diǎn)上的信號幅度為0。接著，我們來計(jì)算各點(diǎn)的幅度值。分別計(jì)算這三個(gè)點(diǎn)的模值，結(jié)果如下：
　　1點(diǎn)： 512
　　51點(diǎn)：384
　　76點(diǎn)：192
　　按照公式，可以計(jì)算出直流分量為：512/N=512/256=2；50Hz信號的幅度為：384/（N/2）=384/（256/2）=3；75Hz信號的幅度為192/（N/2）=192/（256/2）=1.5?？梢?，從頻譜分析出來的幅度是正確的。
　　然后再來計(jì)算相位信息。直流信號沒有相位可言，不用管它。先計(jì)算50Hz信號的相位，atan2（-192， 332.55）=-0.5236，結(jié)果是弧度，換算為角度就是180*（-0.5236）/pi=-30.0001。再計(jì)算75Hz信號的相 位，atan2（192， 3.4315E-12）=1.5708弧度，換算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002?？梢姡辔灰彩菍Φ?。根據(jù)FFT結(jié)果以及上面的 分析計(jì)算，我們就可以寫出信號的表達(dá)式了，它就是我們開始提供的信號。
　　總結(jié)：假設(shè)采樣頻率為Fs，采樣點(diǎn)數(shù)為N，做FFT之 后，某一點(diǎn)n（n從1開始）表示的頻率為：Fn=（n-1）*Fs/N；該點(diǎn)的模值除以N/2就是對應(yīng)該頻率下的信號的幅度（對于直流信號是除以N）；該 點(diǎn)的相位即是對應(yīng)該頻率下的信號的相位。相位的計(jì)算可用函數(shù)atan2（b，a）計(jì)算。atan2（b，a）是求坐標(biāo)為（a，b）點(diǎn)的角度值，范圍從 -pi到pi。要精確到xHz，則需要采樣長度為1/x秒的信號，并做FFT。要提高頻率分辨率，就需要增加采樣點(diǎn)數(shù)，這在一些實(shí)際的應(yīng)用中是不現(xiàn)實(shí)的， 需要在較短的時(shí)間內(nèi)完成分析。解決這個(gè)問題的方法有頻率細(xì)分法，比較簡單的方法是采樣比較短時(shí)間的信號，然后在后面補(bǔ)充一定數(shù)量的0，使其長度達(dá)到需要的 點(diǎn)數(shù)，再做FFT，這在一定程度上能夠提高頻率分辨力。具體的頻率細(xì)分法可參考相關(guān)文獻(xiàn)。
　　［附錄：本測試數(shù)據(jù)使用的matlab程序］
　　close all; %先關(guān)閉所有圖片
　　Adc=2; %直流分量幅度
　　A1=3; %頻率F1信號的幅度
　　A2=1.5; %頻率F2信號的幅度
　　F1=50; %信號1頻率（Hz）
　　F2=75; %信號2頻率（Hz）
　　Fs=256; %采樣頻率（Hz）
　　P1=-30; %信號1相位（度）
　　P2=90; %信號相位（度）
　　N=256; %采樣點(diǎn)數(shù)
　　t=［0:1/Fs:N/Fs］; %采樣時(shí)刻
　　%信號
　　S=Adc+A1*cos（2*pi*F1*t+pi*P1/180）+A2*cos（2*pi*F2*t+pi*P2/180）;
　　%顯示原始信號
　　plot（S）;
　　title（‘原始信號’）;
　　figure;
　　Y = fft（S，N）; %做FFT變換
　　Ayy = （abs（Y））; %取模
　　plot（Ayy（1:N））; %顯示原始的FFT模值結(jié)果
　　title（‘FFT 模值’）;
　　figure;
　　Ayy=Ayy/（N/2）; %換算成實(shí)際的幅度
　　Ayy（1）=Ayy（1）/2;
　　F=（［1:N］-1）*Fs/N; %換算成實(shí)際的頻率值
　　plot（F（1:N/2），Ayy（1:N/2））; %顯示換算后的FFT模值結(jié)果
　　title（‘幅度-頻率曲線圖’）;
　　figure;
　　Pyy=［1:N/2］;
　　for i=“1:N/2”
　　Pyy（i）=phase（Y（i））; %計(jì)算相位
　　Pyy（i）=Pyy（i）*180/pi; %換算為角度
　　end;
　　plot（F（1:N/2），Pyy（1:N/2））; %顯示相位圖
　　title（‘相位-頻率曲線圖’）;
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