自動控制系統(tǒng)的設計--基于根軌跡的串聯(lián)校正設計

與頻域法相似，利用根軌跡法進行系統(tǒng)的設計也有兩種方法：1）常規(guī)方法；2）Matlab方法。Matlab的根軌跡方法允許進行可視化設計，具有操作簡單、界面直觀、交互性好、設計效率高等優(yōu)點。目前常用的Matlab設計方法有：1）直接編程法；2）Matlab控制工具箱提供的強大的Rltool工具；3）第三方提供的應用程序，如CTRLLAB等。本節(jié)在給出根軌跡的設計思路的基礎上，將重點介紹第一、二種方法。

6.4.1 超前校正
關于超前校正裝置的用途，在頻率校正法中已進行了較詳細的敘述，在此不再重復。

利用根軌跡法對系統(tǒng)進行超前校正的基本前提是：假設校正后的控制系統(tǒng)有一對閉環(huán)主導極點，這樣系統(tǒng)的動態(tài)性能就可以近似地用這對主導極點所描述的二階系統(tǒng)來表征。因此在設計校正裝置之前，必須先把系統(tǒng)時域性能的指標轉化為一對希望的閉環(huán)主導極點。通過校正裝置的引入，使校正后的系統(tǒng)工作在這對希望的閉環(huán)主導極點處，而閉環(huán)系統(tǒng)的其它極點或靠近某一個閉環(huán)零點，或遠離s平面的虛軸，使它們對校正后系統(tǒng)動態(tài)性能的影響最小。

是否采用超前校正可以按如下方法進行簡單判斷：若希望的閉環(huán)主導極點位于校正前系統(tǒng)根軌跡的左方時，宜用超前校正，即利用超前校正網絡產生的相位超前角，使校正前系統(tǒng)的根軌跡向左傾斜，并通過希望的閉環(huán)主導極點。 （一）根軌跡超前校正原理
設一個單位反饋系統(tǒng)，G0(s)為系統(tǒng)的不變部分，Gc(s)為待設計的超前校正裝置，
Kc為附加放大器的增益。繪制G0(s)的根軌跡于圖6—19上，設點Sd 為系統(tǒng)希望的閉環(huán)極點，則 若為校正后系統(tǒng)根軌跡上的一點，必須滿足根軌跡的相角條件，即

∠Gc(Sd)G0(Sd)=∠Gc(Sd)+G0(Sd)=-π

于是得超前校正裝置提供的超前角為：

(6-21)

顯然在Sd已知的情況下，這樣的Gc(s)是存在的，但它的零點和極點的組合并不唯一，這相當于張開一定角度的剪刀，以Sd為中心在擺動。若確定了Zc和Pc的位置，即確定了校正裝置的參數(shù)。下面介紹三種用于確定超前校正網絡零點和極點的方法。

（二）三種確定超前校正裝置參數(shù)的方法
零極點抵消法

在控制工程實踐中，通常把Gc(s)的零點設置在正對希望閉環(huán)極點Sd下方的負實軸上，或位于緊靠坐標原點的兩個實極點的左方，此法一般可使校正后系統(tǒng)的期望閉環(huán)極點成為主導極點。

比值α最大化法

能使超前校正網絡零點和極點的比值α為最大的設計方法。按照該法去設計Gc(s)的零點和極點，能使附加放大器的增益盡可能地小。

以圖6—19上的點O和Sd，以Sd為頂點，線段O 為邊，向左作角γ，角γ的另一邊與負實軸的交點Zc=-1/T，點Zc就是所求 的一個零點。再以線段ZcSd為邊，向左作角
∠PcSdZc，該角的另一邊與負實軸的交點Pc=-1/αT，點 就是所求Gc(s)的一個極點。根據(jù)正弦定理，由圖6—18求得:

(6-22)

(6-23)

于是有:

(6-24)

將夾角γ作為自變量，式（6—24）對γ求導，并令其等于零，即dα/dγ=0
由上式解得對應于最大α值時的γ角為

(6-25)

不難看出，當希望的閉環(huán)極點Sd被確定后，式（6—25）中的θ和φ均為已知值，因而由上式可求得γ角，然后由式（6－22）和式（6－23）求得相應的零極點。

幅值確定法

設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù):

且令超前校正裝置的傳遞函數(shù)：

(6-27)

若要求校正后系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)K(Kp,Kv,Ka)，則由上式可首先確定k：

在開環(huán)增益k確定后，根據(jù)根軌跡原理，若Sd為校正后的閉環(huán)極點，則它除必須滿足相角條件外，還應滿足幅值條件：

(6-29)

上式中，

同樣根據(jù)平面三角形原理，對于△ZcOSd有：

(6-30)

而對于△PcOSd有：

(6-31)

由上二式消去sinθ，并由式（6－29）可得：

(6-32)

根據(jù)三角函數(shù)性質，上式可寫成如下形式：

進而有：

(6-34)

由于k可由穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)確定，u由未校正傳遞函數(shù)求出，因此根據(jù)上式求出角γ。最后可用式（6－22）和式（6－23）確定校正裝置的零極點和具體參數(shù)。

通過上述分析可知，對于超前校正裝置的參數(shù)確定，可用三種方法進行設計，其中第一法是工程經驗方法，第二法則是從抑制高頻噪聲角度出發(fā)進行設計，第三法則先在滿足靜態(tài)性能指標的條件下設計滿足動態(tài)性能指標的控制器。但必須指出，上述三法均用于對靜態(tài)性能要求不高而系統(tǒng)的動態(tài)性能需要改善的控制系統(tǒng)，校正后的系統(tǒng)應滿足根軌跡的相角條件和幅值條件。若系統(tǒng)的靜態(tài)性能指標較高，可能無法設計合適的超前校正裝置，此時應采用遲后－超前校正裝置。

（三）根軌跡超前校正的步驟
綜上所述，用根據(jù)軌跡法進行超前校正的一般步驟為：

１）根據(jù)對系統(tǒng)靜態(tài)性能指標和動態(tài)性能指標的要求，分析確定希望的開環(huán)增益k閉環(huán)主導極點Sd的位置．

２）畫出校正前系統(tǒng)的根軌跡，判斷希望的主導極點位于原系統(tǒng)的根軌跡左側，以確定是否應加超前校正裝置。

３）根據(jù)式（６—21）解出超前校正網絡在Sd點處應提供的相位超前角φ。

４）選擇前面介紹的三種方法之一，求γ，爾后用圖解法或根據(jù)式（６—22）和式（６—23）求得Gc(s)的零點和極點，進而求出校正裝置的參數(shù)。

５）畫出校正后系統(tǒng)的根軌跡，校核閉環(huán)主導極點是否符合設計要求。

６）若采用第一法和第二法，則還須根據(jù)根軌跡的幅值條件，確定校正后系統(tǒng)工作在 處的增益和靜態(tài)誤差系數(shù)。如果所求的靜態(tài)誤差系數(shù)與要求的值相差不大，則可通過適當調整Gc(s)零點和極點的位置來解決；如果所求的靜態(tài)誤差系數(shù)比要求的值小得多，則需考慮用別的校正方法，如用遲后—超前校正。

下面舉例分別介紹上述三法的使用，進而對根軌跡超前校正步驟進行說明。

例6－5 已知一單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：

試設計一超前校正裝置，使校正后系統(tǒng)的無阻尼自然頻率 ，阻尼比 。

解：（１）這是一個積分環(huán)節(jié)和慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)的系統(tǒng)，系統(tǒng)的無阻尼自然頻率 ，阻尼比 ，閉環(huán)極點為 以及靜態(tài)速度誤差系數(shù) ，校正前系統(tǒng)的根軌跡如圖６—20虛線所示。

（２）由 和 ，求得希望的閉環(huán)極點為:

。

（３）計算超前校正裝置在 處需提供的相位超前角。由于未校正系統(tǒng)的 在 處的相角為：

為了使校正后系統(tǒng)的概軌跡能通過希望的極點，超前校正裝置必須在該點產生的超前角。

（4）根據(jù)根軌跡的相角條件，確定超前校正裝置的零點和極點。因為 ， ，所以 。按照最大α值的設計方法，可計算或作圖求出 ， 。這一校正裝置的傳遞函數(shù) 。于是求得由校正網絡和附加放大器組成的超前校正裝置的傳遞函數(shù)，并得到校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函

數(shù)

式中，。由上式作出校正后系統(tǒng)的根軌跡，如圖6—20中的實線所示。

（5）確定系統(tǒng)工作在希望閉環(huán)極點處的增益和靜態(tài)速度誤差系數(shù)。由根軌跡的幅值條件

解得 。由于 ，因而 。系統(tǒng)對應的開環(huán)傳遞函數(shù)為

由上式求得校正后系統(tǒng)的靜態(tài)速度誤差系數(shù)

校正后系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)可由Matlab中的G＝feedback(Gc*G,1)得到：

由上式可見，校正后的系統(tǒng)雖上升為三階系統(tǒng)，但由于所增加的一個閉環(huán)極點 與其零點 靠得很近，因而這個極點對系統(tǒng)瞬態(tài)響應的影響就很小，從而說明了 確為系統(tǒng)一對希望的閉環(huán)主導極點。由于本例題對系統(tǒng)的靜態(tài)誤差系數(shù)沒有提出具體的要求，故認為上述的設計是成功的。

例6－6 設一單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試設計一超前校正裝置，使校正后的系統(tǒng)能具有下列的性能指標：超調量 %，調整時間 。

解：（1）作出校正前系統(tǒng)的根軌跡，如圖6—21所示。

（2）根據(jù) ，解得 ，考慮到非主導極點和零點對超調量的影響，取 。又由 ，求得 。進而求得系統(tǒng)的一對希望的閉環(huán)主導極點 。

（3）根據(jù)求得的主導極點，計算超前校正網絡在處應提供的超前角為

（4）由于 的開環(huán)極點正好落在希望閉環(huán)極點 下方的負實軸上，因此可采用第一法進行校正。把 的零點設置在緊靠 這個開環(huán)極點的左側。如設 ，則 的極點落在以 為頂點，向左作角 的負實軸交點上， ，即為所求 的極點。

（5） 校正后系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

由根軌跡的幅值條件，求得系統(tǒng)工作于 點處的K值為30.4。這樣，上式便改寫為

據(jù)此，求得校正后系統(tǒng)的靜態(tài)速度誤差系數(shù)

如果希望 值有少量地增大，則可通過適當調整 零點和極點的位置來實現(xiàn)，但這種調整有可能會破壞 的主導作用。

（6）它的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

或直接由如下的Matlab命令得到：

zpk(feedback(G0*Gc,30.4))

Zero/pole/gain:

(s+1.2)

------------------------------------------

(s+6.631) (s+1.347) (s^2 + 1.972s + 4.085)

下面檢驗希望閉環(huán)極點 是否符合主導極點的條件。不難看出，由于閉環(huán)系統(tǒng)的一個極點與零點靠得很近，故它對系統(tǒng)瞬態(tài)響應的影響很小，同時由于另一極點 距s平面的虛軸較遠，因而這個瞬態(tài)分量不僅幅值小，而且衰減的速度也快。由此得出，上述設計的超前校正裝置能使 成為系統(tǒng)希望的閉環(huán)主導極點。

上面兩個例題均對靜態(tài)誤差系數(shù)沒有特殊要求，否則，宜采用如下方法，即第三法。

例6－7 有一單位反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)： ，設計一超前校正裝置，滿足如下性能指標：靜態(tài)誤差系數(shù) ，閉環(huán)主導極點位于： 處。

解：（1）繪制未校正系統(tǒng)的根軌跡，并根據(jù)靜態(tài)誤差系統(tǒng)，確定開環(huán)增益：

， ，

（2）根據(jù)幅值確定法，并代入：

超前校正裝置應提供的超前角度：

（3）根據(jù)公式（6－34）確定夾角 γ：

得到：

（4）由設計要求， ， ， ，求出校正裝置的參數(shù)。

，

，

得到： ， 。因而超前校正裝置的傳遞函數(shù)：

（5）校正后閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和主導極點分別為：

G=G0*Gc

Transfer function:

576.8 s + 1921

------------------------------

s^4 + 34 s^3 + 256 s^2 + 384 s

Gl=feedback(G0＊Gc,1)

zpk(Gl)

Zero/pole/gain:

576.8 (s+3.33)

------------------------------------------

(s+25.25) (s+4.745) (s^2 + 4.006s + 16.03)

顯然，系統(tǒng)靜態(tài)誤差系數(shù)為： ，主導極點為： ，設計基本符合要求。

6.4.2 遲后校正
通過設置校正裝置的零極點，使之形成一對在S平面上靠近原點的偶極子，這樣，在基本保持原系統(tǒng)主導極點的前提下，可提高系統(tǒng)的靜態(tài)誤差系數(shù)而不致使系統(tǒng)的動態(tài)性能變壞。

例如，對于一單位反饋系統(tǒng)，若其開環(huán)傳遞函數(shù)：G0(S)=K/s(s+a)(s+b),則靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv=K/ab ，因為系統(tǒng)主導極點為Sd，則K=|Sd|·|Sd+a|·|Sd+b|。串聯(lián)遲后校正裝置后，開環(huán)傳遞函數(shù)：

若要求主導極點基本不變，則

由于設計時選取的-1/τ和-1/βτ均靠近原點，因此

可見校正后靜態(tài)誤差系數(shù)增大了約β倍，而主導極點可基本保持不變。

由上，可得出遲后校正的根軌跡法步驟：

（１）畫出未校正開環(huán)系統(tǒng)的根軌跡；

（２）根據(jù)系統(tǒng)設計的時域指標，確定主導極點Sd，進而計算未校正系統(tǒng)的增益Ｋ及靜態(tài)誤差系數(shù)Kv ；

（３）將要求的靜態(tài)誤差系統(tǒng)與未校正系統(tǒng)的靜態(tài)誤差系數(shù)進行比較；得出遲后校正裝置的β值；

（４）確定校正裝置的零點和極點。零點的確定方法是：以主導極點Sd為頂點，引線為起起始邊，向左旋轉5°-10° ，此邊與負實軸的交點即為校正裝置的零點-1/τ ，由（３）中β值進而確定校正裝置極點-1/βτ。

（５）畫出校正后系統(tǒng)的根軌跡。若新的主導極點Sd1或靜態(tài)誤差系數(shù)與設計要求相關較大，則宜適當調整β或-1/υ ，直至滿足要求。

需要說明的是，上述推導過程中按Kv 進行說明，但對于Kp或Ka結論相似。

例6－8 已知一單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

要求校正后的系統(tǒng)能滿足下列的性能指標：阻尼比ξ=0.5 ；調整時間ts=10s；靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv≥5/s。解：（１）繪制未校正系統(tǒng)的根軌跡如圖６—23中的虛線所示。

（２）根據(jù)給定的性能指標，確定系統(tǒng)的無阻尼自然頻率為

據(jù)此，求得希望的閉環(huán)主導極點

（３）由根軌跡的幅值條件，確定未校正系統(tǒng)在 處的增益，即根據(jù) ，求得 ,,相應的靜態(tài)速度誤差系數(shù)為

（４）基于校正后的系統(tǒng)要求，據(jù)此算出遲后校正裝置的參數(shù)β值，即

考慮到遲后校正裝置在 點處產生遲后角的影響，所選取的β值應大于７.5，現(xiàn)取β＝１０。

（５）由點 作一條與線段Ｏ 成 角的直線，此直線與負實軸的交點就是校正裝置的零點，由圖６—23 可知，零點 ，極點為 。這樣，校正裝置的傳遞函數(shù)

校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

校正后系統(tǒng)的根軌跡如圖６—23中的實線所示。由該圖可見，若要使 ，則校正后系統(tǒng)主導極點的位置略偏離要求值，即由 點移到 點。相應的增益 。

校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

相應的靜態(tài)速度誤差系數(shù)為： 。

比較未校正系統(tǒng)和校正后系統(tǒng)的根軌跡可見，校正后系統(tǒng)的 從0.8減到０.7，這意味著調整時間略有增加。如果對此不滿意，則可重新選擇希望閉環(huán)主導極點的位置，且使其 值略高于0.8。

6.4.3 遲后—超前校正
由上兩節(jié)的討論可知，超前校正主要用于提高系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度，改善系統(tǒng)的動態(tài)性能，而遲后校正則可以減少系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。由此設想，若把這兩種校正結合起來應用，必然會同時改善系統(tǒng)的動態(tài)和靜態(tài)性能，這就是遲后—超前校正的基本思路。

當希望的閉環(huán)主導極點Sd位于未校正系統(tǒng)根軌跡的左方時，如只用單個超前網絡對系統(tǒng)進行校正，雖然也能使校正后系統(tǒng)的根軌跡通過Sd點，但無法使系統(tǒng)在該點具有較大的開環(huán)增益，以滿足靜態(tài)性能的需要。對于這種情況，一般宜采用遲后—超前校正。

設遲后—超前校正裝置的傳遞函數(shù)為

其中Gc1(s)起遲后校正作用，它使系統(tǒng)在Sd處的開環(huán)增益有較大幅度的增大，以滿足靜態(tài)性能的需要；Gc2(s)起超前校正作用，利用它所產生的相位超前角φc2使根軌跡向左傾斜，并通過希望的閉環(huán)主導極點Sd，從而改善系統(tǒng)的動態(tài)性能。

用根軌跡法進行遲后—超前校正的一般步驟為：

1）根據(jù)對系統(tǒng)性能指標的要求，確定希望閉環(huán)主導極點Sd的位置。

2）設計校正裝置的超前部分Gc2(s)。設計時要兼顧到既使Gc2(s)在Sd處產生的相位超前角φc2滿足Sd點的相角條件，又使Gc2(s)極點與零點的比值β足夠大，以滿足遲后部分使系統(tǒng)在Sd點的開環(huán)增益有較大幅度增大的需要。

3）根據(jù)所確定的β值，按遲后校正的設計方法去設計Gc1(s)。

4）畫出校正后系統(tǒng)的根軌跡。由根軌跡的幅值條件，計算系統(tǒng)工作在Sd處的靜態(tài)誤差系數(shù)。如果所求的值小于給定值，則需增大β值，應從步驟2）開始重新設計。

下面以實例說明這種校正的具體步驟。

例6—9　校正前該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

要求校正后具有下列的性能指標：阻尼比 ；無阻尼自然頻率 ；靜態(tài)速度誤差系數(shù) 。試設計一遲后—超前校正裝置。

解（1）根據(jù)給定的性能指標，求出希望的閉環(huán)主導極點為

（2）設計校正裝置。超前部分 在 處應提供的超前角

令 的零點 ，以抵消原系統(tǒng)的一個開環(huán)極點。這樣設計不僅使校正后系統(tǒng)的階數(shù)降低，繪制根軌跡方便，而且一般易于實現(xiàn)希望閉環(huán)極點的主導作用。在圖6-24所示的s平面上，以 點為頂點，點 與-1點的連線為邊，向左作角 ，該角的另一邊與負實軸的交點 ，這就是所求超前部分的極點。由此可見， ， 。

（3）經過超前部分校正后，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

據(jù)此，作出相應的根軌跡，如圖6-24中的實線所示。根據(jù)根軌跡的幅值條件，求得系統(tǒng)工作在 點時的增益 ，對應的靜態(tài)速度誤差系數(shù)為

顯然， 不能滿足給定指標的要求，所要增大的倍數(shù) 應由遲后部分 來提供。由此可見，上述確定的β=4能滿足將靜態(tài)速度誤差系數(shù)提高3.35倍的要求。

（4）設計校正裝置的遲后部分 。

由點 向左作一條與線段 成 角的直線，此直線與負實軸交于 ，這就是所求 的零點，它的極點 。于是求得遲后部分的傳遞數(shù)為

經遲后—超前校正后，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

校正后系統(tǒng)的根軌跡如圖6-24中的虛線所示。由圖可見，校正后系統(tǒng)的主導極點由 點移動到 點，相應的增益 ，靜態(tài)速度誤差系數(shù)為

利用Matlab進行串聯(lián)校正設計步驟，以例6－9為例，要求校正后具有下列的性能指標：阻尼比 ；無阻尼自然頻率 ,但對靜態(tài)誤差系統(tǒng)沒有要求?？砂慈缦虏襟E進行：

（１） 寫出系統(tǒng)傳遞函數(shù)G，并畫出其根軌跡。

G0=tf(1,conv([1,1],[1,4]),0);

Rlocus(G0);hold on;[x,y]=rloc_asymp(G0);plot(x,y,’:’)

（1）根據(jù)設計要求，畫出其等ξ線和等ωn線，并由圖確定其主導極點。

Zet=[0.5];wn=[2];sgrid(zet,wn)

由圖可得到sd=-1±1.732j

（2）確定超前裝置的補償角φc，利用自編函數(shù)angle_c計算。

Fi_c=angle_c(G0,sd)

（3）確定校正器的零極點?？上冗x定校正器的零點zc=-1.2，然后由已知的γ、ωn、θ、φc計算極點。

Pc=find_pc(wn,zc,theta,fi_c)

（4）得到校正裝置Gc,并畫出Gc*G0的根軌跡圖。

Hold on; Rlocus(Gc*G0)

（5）從圖中交互確定在sd處對象的K值，并進而得出系統(tǒng)的閉環(huán)極點及階躍響應。檢驗設計效果。

[K,P]=rloc_find(Gc*G0)。

此例完整程序見下面，設計效果見圖6－25。

G0=tf(1,[conv([1,1],[1,4]),0])

Transfer function:

1

-----------------

s^3 + 5 s^2 + 4 s

Rlocus(G0);hold on;[x,y]=rloc_asymp(G0);plot(x,y,':')

zet=[0.5];wn=[2];sgrid(zet,wn)

sd=-1+1.732j;

Fi_c=angle_c(G0,sd)

Fi_c =

60.0000

Fi_c=Fi_c*pi/180;

zc=-1.2;theta=acos(0.5);

pc=find_pc(wn,zc,theta,Fi_c);

pc =

5.0000

Gc=tf([1,-zc],[1,pc])

Transfer function:

s + 1.2

-------

s + 5

Hold on; Rlocus(Gc*G0)

[K,P]=rlocfind(Gc*G0)

Select a point in the graphics window

selected_point =

-1.0001 + 1.7315i

K =

29.9894

P =

-6.6454

-1.0001 + 1.7315i

-1.0001 - 1.7315i

-1.3543

function ang=angle_c(g,sd)

[p,z]=pzmap(g);

theta_z=0;theta_p=0;

for i=[1:1:length(z)]

theta_z=theta_z+angle(sd-z(i));

end

for i=[1:1:length(p)]

theta_p=theta_p+angle(sd-p(i));

end

ang=(-pi+theta_p-theta_z)*180/pi;end

function pc=find_pc(wn,zc,theta,fc)

gama=atan(sin(theta)/(wn/abs(zc)-cos(theta)));

pc=wn*sin(gama+fc)/sin(pi-theta-fc-gama)

6.4.4基于根軌跡的串聯(lián)校正Matlab設計
在采用根軌跡法對控制系統(tǒng)進行校正時，常用的函數(shù)有：

1．Rlocus: 根軌跡作圖命令；

2．Sgrid: 等ξ線和等ωn線；

3．Tf、Zpk: 求傳遞函數(shù)命令；

4．Rlocfind: 求取根軌跡上某點對應的增益K及閉環(huán)極點；

5．Rloc_asymp: 作軌跡漸近線；

6．Rltool: 由Matlab提供的根軌跡設計工具;

7．Pzmap,pole,zer 求取系統(tǒng)的零極點。

利用Matlab進行串聯(lián)校正設計有兩種方法：一種是利用書中介紹的步驟進行設計，另外也可以用Matlab提供的rltool可視化工具進行交互式設計。