電子發(fā)燒友App
歐拉定理
在數(shù)學(xué)及許多分支中都可以見到很多以歐拉命名的常數(shù)、公式和定理。在數(shù)論中，歐拉定理（Euler Theorem，也稱費馬-歐拉定理或歐拉函數(shù)定理）是一個關(guān)于同余的性質(zhì)。歐拉定理得名于瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉，該定理被認為是數(shù)學(xué)世界中最美妙的定理之一。歐拉定理實際上是費馬小定理的推廣。此外還有平面幾何中的歐拉定理、多面體歐拉定理（在一凸多面體中，頂點數(shù)-棱邊數(shù)+面數(shù)=2）。西方經(jīng)濟學(xué)中歐拉定理又稱為產(chǎn)量分配凈盡定理，指在完全競爭的條件下，假設(shè)長期中規(guī)模收益不變，則全部產(chǎn)品正好足夠分配給各個要素。另有歐拉公式。
1、初等數(shù)論中的歐拉定理： 對于互質(zhì)的整數(shù)a和n，有a^φ（n） ≡ 1 （mod n）
證明：
首先證明下面這個命題：
對于集合Zn={x1，x2，。。。，xφ（n）}，其中xi（i=1，2，…φ（n））是不大于n且與n互素的數(shù)，即n的一個化簡剩余系，或稱簡系，或稱縮系），考慮集合S = {a*x1（mod n），a*x2（mod n），。。。，a*xφ（n）（mod n）}
則S = Zn
1） 由于a，n互質(zhì)，xi也與n互質(zhì)，則a*xi也一定于p互質(zhì)，因此任意xi，a*xi（mod n） 必然是Zn的一個元素
2） 對于Zn中兩個元素xi和xj，如果xi ≠ xj則a*xi（mod n） ≠ a*xi（mod n），這個由a、p互質(zhì)和消去律可以得出。所以，很明顯，S=Zn既然這樣，那么
?。╝*x1 × a*x2×。。。×a*xφ（n））（mod n）
= （a*x1（mod n） × a*x2（mod n） × 。。。 × a*xφ（n）（mod n））（mod n）
= （x1 × x2 × 。。。 × xφ（n））（mod n）
考慮上面等式左邊和右邊
左邊等于（a*（x1 × x2 × 。。。 × xφ（n））） （mod n）
右邊等于x1 × x2 × 。。。 × xφ（n））（mod n）
而x1 × x2 × 。。。 × xφ（n）（mod n）和n互質(zhì)
根據(jù)消去律，可以從等式兩邊約去，就得到：a^φ（n） ≡ 1 （mod n）
推論：對于互質(zhì)的數(shù)a、n，滿足a^（φ（n）+1） ≡ a （mod n）
費馬定理：
a是不能被質(zhì)數(shù)p整除的正整數(shù)，則有a^（p-1） ≡ 1 （mod p）
證明這個定理非常簡單，由于φ（p） = p-1，代入歐拉定理即可證明。
同樣有推論：對于不能被質(zhì)數(shù)p整除的正整數(shù)a，有a^p ≡ a （mod p） 2、平面幾何里的歐拉定理：（1） （Euler定理）設(shè)三角形的外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，外心與內(nèi)心的距離為d，則d2=R2-2Rr．
證明：如右下圖，O、I分別為⊿ABC的外心與內(nèi)心．
連AI并延長交⊙O于點D，由AI平分DBAC，故D為弧BC的中點．
連DO并延長交⊙O于E，則DE為與BC垂直的⊙O的直徑．
由圓冪定理知，R2-d2=（R+d）（R-d）=IA·ID．（作直線OI與⊙O交于兩點，即可用證明）
但DB=DI（可連BI，證明DDBI=DDIB得），故只需證2Rr=IA·DB，即2R∶DB=IA∶r 即可．
而這個比例式可由⊿AFI∽⊿EBD證得．故得R2-d2=2Rr，即證．
?。?）四邊形ABCD的兩條對角線AC、BD的中點分別為M、N，則：AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=AC^2+BD^2+4MN^2.
證明：如右上圖，連接BD、BM，由中線公式有AB^2+BC^2=2（BM^2+AM^2）.DA^2+CD^2=2（DM^2+AM^2，又BM^2+DM^2=2（BN^2+MN^2），4AM^2=AC^2， 4BN^2=BD^2，故AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=2（BM^2+DM^2）
+4AM^2=4BN^2+4MN^2+4AM^2=AC^2+BD^2+4MN^2
注：當(dāng)A、B、C、D為空間四點時，結(jié)論依然成立，且有AB^2+BC^2+CD^2+DA^2≥ AC^2+BD^2，此結(jié)論為第四屆美國數(shù)學(xué)奧林匹克試題
［編輯本段］歐拉公式 簡單多面體的頂點數(shù)V、面數(shù)F及棱數(shù)E間有關(guān)系
V+F-E=2
這個公式叫歐拉公式。公式描述了簡單多面體頂點數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)特有的規(guī)律。
歐拉定理的意義
?。?）數(shù)學(xué)規(guī)律：公式描述了簡單多面體中頂點數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)之間特有的規(guī)律
（2）思想方法創(chuàng)新：定理發(fā)現(xiàn)證明過程中，觀念上，假設(shè)它的表面是橡皮薄膜制成的，可隨意拉伸；方法上將底面剪掉，化為平面圖形（立體圖→平面拉開圖）。
?。?）引入拓撲學(xué)：從立體圖到拉開圖，各面的形狀、長度、距離、面積等與度量有關(guān)的量發(fā)生了變化，而頂點數(shù)，面數(shù)，棱數(shù)等不變。
定理引導(dǎo)我們進入一個新幾何學(xué)領(lǐng)域：拓撲學(xué)。我們用一種可隨意變形但不得撕破或粘連的材料（如橡皮波）做成的圖形，拓撲學(xué)就是研究圖形在這種變形過程中的不變的性質(zhì)。
?。?）提出多面體分類方法： 在歐拉公式中， f （p）=V+F-E 叫做歐拉示性數(shù)。歐拉定理告訴我們，簡單多面體f （p）=2。 除簡單多面體外，還有非簡單多面體。例如，將長方體挖去一個洞，連結(jié)底面相應(yīng)頂點得到的多面體。它的表面不能經(jīng)過連續(xù)變形變?yōu)橐粋€球面，而能變?yōu)橐粋€環(huán)面。其歐拉示性數(shù)f （p）=16+16-32=0，即帶一個洞的多面體的歐拉示性數(shù)為0。
?。?）利用歐拉定理可解決一些實際問題如：為什么正多面體只有5種？ 足球與C60的關(guān)系？否有棱數(shù)為7的正多面體？等。
工商網(wǎng)監(jiān)
評論