基于變換光學(xué)的超散射的發(fā)展歷程

|作者：陳煥陽1，? 段琦琳1 伍瑞新2 馬紅孺3

(1 廈門大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院)

(2 南京大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院)

(3 云南大學(xué)物理與天文學(xué)院)

本文選自《物理》2022年第12期

摘要???基于變換光學(xué)的幻象光學(xué)器件能夠表現(xiàn)出自然界中不存在的現(xiàn)象，如隱身、超散射和隱形門等。其中電磁超散射現(xiàn)象利用變換光學(xué)中的折疊幾何變換，使得物體的散射截面遠(yuǎn)大于其幾何截面，顛覆了人們對于傳統(tǒng)散射中散射截面通常小于散射體幾何截面的認(rèn)知。這一現(xiàn)象也為現(xiàn)實中實現(xiàn)“穿墻術(shù)”提供了可能。文章著重介紹了基于變換光學(xué)的超散射的發(fā)展歷程以及利用超散射實現(xiàn)隱形門的方法。隱形門在自由空間的實現(xiàn)為將來幻象器件的設(shè)計提供了新的思路。

1??引言 ? ?

許多影視和文學(xué)作品中對于“隱身”的描繪令人心馳神往，其中最著名的當(dāng)屬《哈利波特》中的隱身衣，當(dāng)披上隱身衣即不為外部所見。人能感知到物體是由于接收到了物體反射的光，因此隱身的關(guān)鍵就是對于光的操縱。穿墻術(shù)在神話中指人作為主體具有穿過實體墻的超能力，現(xiàn)實中“穿墻”則需要通過改變墻的特殊光學(xué)性質(zhì)來實現(xiàn)。對電磁波來說，穿墻術(shù)就是物體可以穿過一道特殊的門，而此門卻不為觀察者所見，即“隱形門”。用隱形門實現(xiàn)的穿墻術(shù)與幻象光學(xué)息息相關(guān)。物體的幻象光學(xué)效應(yīng)是指被觀測到的物體和實際物體本身不同的一種光學(xué)現(xiàn)象，其中一個典型的例子是超散射效應(yīng)，散射體的散射截面被極度增大[1]，即對觀察者而言物體的尺寸變得很大。2009年，上海交通大學(xué)馬紅孺/羅旭東課題組在研究中首先發(fā)現(xiàn)超散射。理論研究表明，超散射體可以用補償介質(zhì)[2]結(jié)合變換光學(xué)的方法[3]加以實現(xiàn)。這一方法已被用來設(shè)計許多奇妙有趣的幻象光學(xué)器件，如基于超散射效應(yīng)的隱形通道或隱形門[4]、超吸收體[5]、非包裹隱身衣[6]和內(nèi)窺鏡[7]等，其中隱形門是最受關(guān)注的幻象光學(xué)器件。通過合理設(shè)計材料的介電常數(shù)ε?和磁導(dǎo)率μ?(或折射率n )，2009年研究人員首先在理論上實現(xiàn)了隱形門。然而，此隱形門對所需材料的折射率分布要求極其苛刻[4]，在實驗上很難實現(xiàn)。后來人們提出一種基于簡化參數(shù)的隱形門設(shè)計方案[8]，并用電路等效的方法驗證了隱形門的存在性[9]。然而直至2021年，真正的隱形門才在實驗上得到證實。南京大學(xué)伍瑞新課題組和陳煥陽合作，首次在微波頻率的自由空間中驗證了超散射現(xiàn)象，在實驗中實現(xiàn)了電磁隱形門這一幻象光學(xué)器件[10]。

隱形門從首次的理論提出到最終的實驗實現(xiàn)經(jīng)歷了十余年。本文將著重介紹隱形門的發(fā)展歷程，主要從三個方面概述：首先是變換光學(xué)這一強有力理論的提出；其次是從準(zhǔn)靜態(tài)極限到電磁超散射的提出；最后是基于超散射效應(yīng)的隱形門理論設(shè)計以及實驗驗證。隱形門在實驗上的成功實現(xiàn)將為今后新型光場調(diào)控器件的應(yīng)用和發(fā)展提供新的思路。

2? 變換光學(xué) ? ?

光線在均勻介質(zhì)中沿直線傳播，當(dāng)光線通過兩個介質(zhì)的交界面時會發(fā)生偏折。在生活中，放在盛有水的透明杯中的筷子仿佛被“折斷”就是這一原理的體現(xiàn)。當(dāng)折射率出現(xiàn)漸變分布時，比如由于溫度的不均勻?qū)е律衬峡諝獾拿芏炔煌瑥亩a(chǎn)生漸變的折射率分布，進而出現(xiàn)神奇的海市蜃樓現(xiàn)象。這讓我們不禁想到，只要設(shè)計出具有一定折射率分布的介質(zhì)，那么光線就會在其中沿著特定的方向傳播。

2006年，Pendry等[3]和Leonhardt[11]分別獨立地提出了通過變換光學(xué)設(shè)計隱身衣的方法。如圖1(a)所示，在“虛擬空間”，即真空中，光線沿著直線傳播，通過坐標(biāo)變換，空間中的一個點膨脹開形成一個“物理空間”中的圓(圖1(b))，光線會繞著紅色圓圈傳播，因此紅色圓圈內(nèi)部對外部不可見，呈現(xiàn)出隱形效果[12]。這一理論的提出讓《哈利波特》中神奇的隱身衣有了實現(xiàn)的可能。隨后，Smith等人利用開口諧振環(huán)作為超構(gòu)材料的結(jié)構(gòu)單元在微波波段的實驗上實現(xiàn)了單頻的二維隱身器件[13]。自此，變換光學(xué)因具有可自由操控光場的能力吸引了人們的廣泛關(guān)注。

圖1 坐標(biāo)變換? ?(a)變換前在自由空間沿直線傳播的光線；(b)通過變換將一個點膨脹成一個圓(紅色圓圈)，光線繞過圓形區(qū)域傳播[12]

變換光學(xué)的核心是通過坐標(biāo)變換在兩個空間(虛擬空間和物理空間)建立起變換關(guān)系。由于坐標(biāo)變換前后麥克斯韋方程組具有形式不變性，故兩個空間中的電磁參數(shù)(介電常數(shù)ε和磁導(dǎo)率μ)可以建立起與坐標(biāo)變換的對應(yīng)關(guān)系[14]：

其中

是虛擬空間與物理空間的雅可比變換矩陣，i、j?以及i?'、j '從1到3選值以分別表示三個空間坐標(biāo)。利用變換光學(xué)可以設(shè)計出許多具有新穎功能的器件，如隱身衣[15]、旋轉(zhuǎn)衣[16，17]、匯聚器[18]以及幻象器件等。

圖2 部分幻象光學(xué)器件及其對應(yīng)的坐標(biāo)變換關(guān)系? ?(a)理想隱身衣；(b)弱化設(shè)計后的隱身衣；(c)基于法布里—珀羅共振的隱身衣；(d)折疊變換后的隱身器件；(e—h)相應(yīng)器件對應(yīng)虛擬空間r與物理空間r?′的變換關(guān)系，其中黃色圓點對應(yīng)變換的轉(zhuǎn)變點，r與r?′分別表示變換前后同心圓環(huán)的半徑

變換光學(xué)自提出以來，最受關(guān)注的就是“隱身衣”的設(shè)計，如圖2(a)所示，隱身衣可以引導(dǎo)光線圍繞物體傳播，從而使物體“隱形”。在圓柱極坐標(biāo)下，該理想二維隱身衣對應(yīng)的變換關(guān)系如圖2(e)所示，即：

然而這樣的理想隱身衣只能在單一的頻點下工作，無法在較寬的頻率范圍內(nèi)實現(xiàn)完美的隱身效果。針對這一問題，陳煥陽等提出了色散隱身衣[19]，這種隱身衣相較于理想隱身衣工作頻率有所拓寬，但伴隨著部分性能的犧牲。色散隱身衣設(shè)計的核心思想是用一個更一般的變換形式，如圖2(f)所示，將一個共心圓環(huán)區(qū)域區(qū)域r0?

2015年，陳煥陽/侯波課題組將法布里—珀羅共振引入了變換光學(xué)器件的設(shè)計中[20]，這樣的器件可以在多個共振頻率下工作，使得變換光學(xué)器件的多頻率應(yīng)用成為可能。如圖2(g)所示，其變換的核心是將虛擬空間中的r1?≤?r?

當(dāng)m?= 3，r2′?= 2，r1′?= 1時，εθ(r′) = (3 -?r?′)2，其電磁波分布如圖2(c)所示，并且這一器件在實驗上得到了驗證。

當(dāng)變換選擇的標(biāo)記點位置進一步抬高，則對應(yīng)折疊幾何變換。與之前提到的三種變換不同的是，如圖2(h)所示的折疊變換由于斜率為負(fù)將會引入負(fù)折射率材料(ε<0，μ<0)[21，22]。負(fù)折射率材料在自然界中并不存在，但是可以通過人工超構(gòu)材料構(gòu)造出ε?和μ?同時為負(fù)的負(fù)折射率材料[23，24]。在負(fù)折射率材料中，光的傳播與其在傳統(tǒng)材料中的傳播特性相反，從而引發(fā)許多“違背常理”的光學(xué)現(xiàn)象，為人們操控光的傳播提供了更多的可能。其中最著名的應(yīng)用是Pendry提出的可以實現(xiàn)超越衍射極限的完美成像效果[22]。這一成像過程在幾何光學(xué)方面，可以從變換光學(xué)的角度來看，將其理解為空間的折疊變換，由虛擬空間中的單個點對應(yīng)于物理空間中的三個點[25]。早在2003年，Pendry基于負(fù)折射率平板提出了補償介質(zhì)的概念[2]，補償介質(zhì)由兩個具有相反電磁特性的區(qū)域構(gòu)成，光在通過補償介質(zhì)后沒有相位的積累，看起來仿佛這一塊區(qū)域不存在[26]。在圖2(d)中，由內(nèi)向外三個圓的材料依次是均勻介質(zhì)(r?

結(jié)合負(fù)折射率和補償介質(zhì)還可以設(shè)計出許多有趣的幻象光學(xué)器件。賴耘等人提出了非包裹式的隱身[6]，其原理是利用補償介質(zhì)來消除被隱物體的反射以實現(xiàn)隱身效果。這不同于圖2(a)中的隱身裝置，由于光線無法進入r = r1′內(nèi)部，故圖2(a)中隱身裝置內(nèi)部的觀測者是看不到外部情況的，而非包裹式隱身內(nèi)部的觀測者可以看到外部情況。通過折疊幾何變換還可以設(shè)計出反隱身的器件，破壞由正折射率材料組成的隱身器件的隱身效果[27]。這些神奇的幻象器件不禁讓人思考，所見即是真實嗎？

3??電磁超散射的提出與發(fā)展 ? ?

電磁波入射到物體表面時會發(fā)生散射，電磁散射是非常普遍的物理現(xiàn)象[28]。例如，晴朗的天空呈現(xiàn)藍(lán)色源于瑞利散射：空氣中的分子尺寸遠(yuǎn)小于光的波長，可見光中藍(lán)光波長較短因此更容易發(fā)生散射，這就是蔚藍(lán)天空所蘊含的物理奧妙。當(dāng)空氣中存在較多比光波長尺寸大的塵粒和液滴時會發(fā)生米氏散射，米氏散射中所有波長的光均等散射，故而天空呈灰白色。電磁散射還具有許多重要的應(yīng)用。例如，在通信領(lǐng)域中，可以利用對流層對電磁波產(chǎn)生的散射作用進行超視距通信；在軍事雷達(dá)探測中，通過分析散射特征可以得到散射物體的信息。

可以看到在傳統(tǒng)散射中，散射特征與散射體尺寸息息相關(guān)，物體的散射截面通常小于其幾何截面。普通材料對于電磁波的調(diào)控能力有限，即便是相較于波長尺寸較大的散射體，其散射截面僅趨近幾何截面。一些基于共振效應(yīng)獲得的超出幾何截面的散射截面，也可以通過分析各級米氏散射系數(shù)，將其與非共振散射體區(qū)分出來。變換光學(xué)和超材料的出現(xiàn)，極大增強了人們對電磁場的操控能力，除了可以完美消除散射的隱身效應(yīng)，還可以使小物體與大物體的散射特征無法區(qū)分，即“超散射”現(xiàn)象。這一現(xiàn)象顛覆了電動力學(xué)中大尺度物體最大散射截面是其幾何截面的傳統(tǒng)認(rèn)知。

超散射通過增強散射截面使得一個物體看起來比其實際尺寸大。該現(xiàn)象在傳感[29]、匯聚能量[30，31]、熒光成像[32]、電力無線傳輸[33]等方面有廣泛的應(yīng)用前景?？紤]從如圖3(a)所示核層結(jié)構(gòu)的散射問題出發(fā)，在準(zhǔn)靜態(tài)極限下(即物體尺寸遠(yuǎn)小于波長)，可以使用近似的麥克斯韋方程組來求解問題，并且可以忽略其他項而只考慮偶極子項[34]，分析芯層(ε1)、殼層(ε2)和背景材料(ε3)組成的物體對于以離散電偶極子為源的響應(yīng)[35]。當(dāng)ε1+ε2=0且ε2+ε3=0時，物體對于外部場沒有影響；而僅當(dāng)ε2+ε3=0時，芯層的散射會超過殼層的散射，仿佛芯層的半徑被放大。在準(zhǔn)靜態(tài)極限下可以產(chǎn)生芯層被放大的現(xiàn)象，從準(zhǔn)靜態(tài)極限過渡到電磁散射(需要考慮其他階數(shù)項的散射)。目前主要有三種方法可以實現(xiàn)超散射：第一種是通過變換光學(xué)的方法，并引入補償介質(zhì)的概念來放大物體，從而實現(xiàn)超散射[1]；第二種是利用多層金屬—介質(zhì)亞波長納米柱表面等離激元的共振打破單通道散射極限，以此實現(xiàn)超散射現(xiàn)象[36，37]，該方法通過共振只能實現(xiàn)有限階數(shù)的放大，并且材料的損耗對散射增強效果影響很大；第三種是利用近零折射率材料來增強物體散射[38，39]，該方法需要近零折射率的背景環(huán)境，對制備和兼容性提出了進一步的挑戰(zhàn)。本文聚焦于第一種實現(xiàn)超散射的方法，下面將做進一步的介紹。

在準(zhǔn)靜態(tài)條件下，低階散射系數(shù)起到?jīng)Q定性作用，當(dāng)物體的尺寸與波長可比擬時，不能忽略高階散射，通過變換光學(xué)的手段可以實現(xiàn)具有與波長可比擬尺寸的物體的超散射[1]。從圖3(b)的負(fù)折射率平板出發(fā)，在小于負(fù)折射率平板(黃色區(qū)域)厚度的位置放置點源S，通過幾何光學(xué)可知點源S會在F2和F1處成像。在R1處設(shè)置完美電導(dǎo)體邊界(PEC)，光線會被反彈回來，而區(qū)域R2?

圖3 (a)核層結(jié)構(gòu)的電磁散射示意圖；光線在平板負(fù)折射率材料(b)與圓柱負(fù)折射率材料(c)中的傳播，其中綠色實線為完美電導(dǎo)體[1]；(d)內(nèi)外半徑分別為R1=0.1 m與R2=0.2 m的超散射圓柱周圍的總電場分布[1]；(e)半徑R3=0.3 m的完美電導(dǎo)體的總電場分布，(d)，(e)均為平面波入射[1]

當(dāng)頻率為3 GHz的橫電模式(電場沿著z方向)平面波入射時，圖3(d)，(e)的電場分布相同，證明了超散射現(xiàn)象。其背后的物理機制是負(fù)折射率殼層對于倏逝波的放大。這種超散射現(xiàn)象不僅可以放大圓柱形狀的物體，也被證明了可以放大其他形狀的物體[26，40]。

4??電磁隱形門的實現(xiàn) ? ? 在電影《哈利波特》中，站臺是登上霍格沃茨特快列車的隱形通道(或隱形門)，如圖4(a)所示，這既是魔法，也可以是一種幻象光學(xué)效應(yīng)，即這個通道在空間上是實際存在的，但是在通道外的觀察者卻無法從視覺層面看到。隨著變換光學(xué)的不斷發(fā)展，研究人員發(fā)現(xiàn)結(jié)合超散射技術(shù)，便可實現(xiàn)隱形通道效應(yīng)。

2009年，上海交通大學(xué)馬紅孺/羅旭東課題組[4]進一步發(fā)展了圖3(d)中提出的超散射體，將其推廣為方形超散射體并置于兩個恰當(dāng)距離的金屬墻體之間。如圖4(b)所示，其中完美電導(dǎo)體的高度為2b3，隱形通道的區(qū)域?qū)挾仍O(shè)計為2a3。當(dāng)|x| ≤?a3+δ區(qū)域不存在超散射體時，則此通道區(qū)域( |x| ≤?a3+δ?)顯然可以通過分析散射電磁波被探測到，而當(dāng)在該通道區(qū)域中放置設(shè)計好的方形超散射體時(該超散射體為Γ2邊界面包圍的區(qū)域)，由于該超散射體散射截面大于其幾何截面，故電磁波無法通過，因此構(gòu)造了一個“隱形”通道。他們利用COMSOL仿真展示了當(dāng)入射光源位于隱形門一側(cè)時，觀察者在隱形通道兩側(cè)時會看到截然不同的“景象”，如圖4(d)，(e)所示。這樣的隱形門設(shè)計雖與實際場景相符合，但實現(xiàn)起來需要負(fù)折射率材料，并且對材料的折射率分布要求苛刻，限制了隱形通道器件的發(fā)展。

圖4 隱形門的理論原型設(shè)計[4，8]? ?(a)《哈利波特》中的站臺；(b)一種包裹式的隱形門，其中Γ1為完美電導(dǎo)體區(qū)域，Γ2為負(fù)折射率包裹區(qū)域，Γ3為電磁波無法透過的區(qū)域；(c)一種簡單化的隱形門；(d)，(e)對應(yīng)(b)中的隱形門，通過仿真演示了觀察者分別位于兩側(cè)的效果；(f)對應(yīng)(c)中的隱形門效果

同年，陳煥陽等[8]提出一種簡化的隱形門原型設(shè)計，如圖4(c)所示。這種新的超散射體不再需要復(fù)雜折射率分布的材料，取而代之的是填充部分折射率為-1的材料，并且還具有一定的工作帶寬。在光源激勵下，由于負(fù)折射率材料的存在(圖4(c)中的紅色區(qū)域)，會在空氣和材料界面激發(fā)表面波，進而表現(xiàn)出超散射的現(xiàn)象，其散射截面等效于器件本身附加填充負(fù)折射率材料區(qū)域的鏡像部分。在考慮橫電模式的情況下，在超散射體兩端放置完美電導(dǎo)體，自然形成了隱形通道。如圖COMSOL仿真結(jié)果4(f)所示，一側(cè)的電磁波在通過器件的空氣通道時被完美“阻擋”，但卻可以讓物體通過，充當(dāng)著完美的隱形門。此外，他們還給出了利用磁光子晶體來實現(xiàn)隱形門的方案，并進行了仿真驗證。

在隱形門簡易化原型提出后不久，研究者們便利用電路模擬方法在實驗中予以實現(xiàn)。2010年，中國科學(xué)院電子學(xué)研究所李超和陳煥陽等人合作，利用傳輸線模型，在實驗中首次模擬驗證了隱形門器件[9]。如圖5(a)所示，他們利用串聯(lián)電感和并聯(lián)電容來模擬空氣，利用串聯(lián)電容和并聯(lián)電感來模擬負(fù)折射率材料，并優(yōu)化兩者的邊界，最后在電路板上構(gòu)造了隱形門器件，通過圖5(b)的實驗測量結(jié)果可以看出，隱形門可以完美阻擋交流信號的傳播。

圖5?隱形門的電路實驗實現(xiàn)[9]? ??(a)利用電路模型模擬的隱形門器件；(b)電路模擬隱形門實驗測量結(jié)果

電路模擬的驗證方法為幻象光學(xué)器件的實現(xiàn)提供了一個可行方案，然而這與真實的場景仍有天壤之別，人們期待在真實環(huán)境中實現(xiàn)真正的隱形門。直到2021年，南京大學(xué)伍瑞新課題組與陳煥陽合作[10]，采用簡化的隱形門設(shè)計方案[8]，利用自偏置鍶磁鐵氧體陣列構(gòu)建超散射體，并在自由空間中搭建了隱形門，如圖6(a)所示。在實驗中首次直接觀測到空氣通道對電磁場有著顯著的阻斷作用，如圖6(b)所示，入射電磁波沿著通道迅速衰減，在空氣通道的盡頭電場幾乎消失，從而實現(xiàn)了自由空間中真實的隱形門。作為對比，如圖6(c)所示，置于兩完美電導(dǎo)體之間與圖6(c)具有相同寬度的空氣通道則無法阻擋電磁波的傳播，入射電磁波可以穿透空氣通道而沒有衰減。為了進一步說明該隱形門對電磁波的阻擋效果，圖6(d)展示了在圖6(a)中標(biāo)記的從B點到B′點的歸一化電場能量密度，可以看到在隱形門中，電場能量密度迅速衰減，從B點到B′點有90%的能量被阻擋，而在金屬波導(dǎo)中電場能量密度的衰減僅為15%。圖6(e)則展示了在實驗中隱形門和金屬波導(dǎo)兩個端口的電場能量密度比值與頻率的關(guān)系，可以看到在綠色陰影區(qū)間內(nèi)比值逐漸減小而對應(yīng)的金屬波導(dǎo)的比值則較為穩(wěn)定。綜上說明了該隱形門對電磁波傳播的阻擋能力。超構(gòu)材料隱形門的實現(xiàn)進一步推動了幻象光學(xué)器件的發(fā)展，使得隱形門在真實場景中的應(yīng)用成為可能。

圖6 隱形門在微波頻段的自由空間的實驗實現(xiàn)[10]? ?(a)利用鐵氧體陣列(白色梯形陣列區(qū)域)搭建的電磁隱形門器件，與鐵氧體陣列接合的金屬鋁作為完美電導(dǎo)體；(b)電磁隱形門實驗測量結(jié)果；(c)用完美電導(dǎo)體代替鐵氧體陣列實驗對比結(jié)果，在圖(b)，(c)中，鐵氧體用白點標(biāo)記，鋁用灰色表示；(d)實驗與仿真中沿著隱形門(對應(yīng)(b)圖)和金屬波導(dǎo)(對應(yīng)(c)圖)的空氣通道的歸一化的電場能量密度；(g)實驗中隱形門與金屬波導(dǎo)在輸出端口與輸入端口處的電場能量密度比值與頻率的關(guān)系

5? 總結(jié) ? ?

一直以來，自由操控電磁波是人們孜孜不倦的追求。應(yīng)用變換光學(xué)使得人們可以通過設(shè)計材料的電磁參數(shù)實現(xiàn)對電磁波散射的調(diào)控。當(dāng)散射被抑制時可以實現(xiàn)完美的隱身衣，當(dāng)散射被放大時就可以實現(xiàn)超散射現(xiàn)象。超散射不僅在傳感、能量收集等領(lǐng)域有廣闊的應(yīng)用前景，而且還可以用于構(gòu)造如隱形門等光學(xué)幻象器件。隱形門從最開始的電路等效實驗到微波頻段的自由空間中的實驗實現(xiàn)，預(yù)示著幻象光學(xué)領(lǐng)域又前進了一大步。值得注意的是，由于材料參數(shù)的簡化，該隱形門器件的橫向和縱向電尺寸(物理尺寸/波長)無嚴(yán)格的限制(橫向電尺寸通常大于1，縱向電尺寸通常大于2)，并且可以拓寬到其他光學(xué)頻段，例如可見光、紅外波段等。然而目前隱形門的實現(xiàn)主要依賴負(fù)折射率材料(折射率n=-1)，因此在工作帶寬上存在一定的限制，且不能推廣到幾何光學(xué)領(lǐng)域。隨著聲學(xué)負(fù)折射率材料的提出，該隱形門今后有望推廣到三維聲學(xué)領(lǐng)域中用于聲波的調(diào)控。

致 謝??有許多合作者都對這一系列工作做出了極大的貢獻和影響，不能一一羅列。比如，香港科技大學(xué)的陳子亭教授，張昭慶教授和沈平教授，上海交通大學(xué)的羅旭東教授和寧夏大學(xué)的楊濤教授，南京大學(xué)的賴耘教授，蘇州大學(xué)的侯波教授和徐亞東教授，南方科技大學(xué)的吳紫輝教授，復(fù)旦大學(xué)的林志方教授和浙江師范大學(xué)的劉士陽等，和他們在一起的討論，是極其愉悅的回憶，也是人生的幸事！還要感謝廈門大學(xué)的博士生殷玉杭、趙鵬飛、朱杉的辛勤工作與校正。

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編輯：黃飛

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