白話空間統(tǒng)計(jì)之地理加權(quán)回歸

前文再續(xù)，書(shū)接上一回……上一次說(shuō)到，在改進(jìn)全局回歸的基礎(chǔ)上，GWR終于橫空出世了，從此空間分析領(lǐng)域終于有了自己專(zhuān)用的回歸算法。如果說(shuō)，空間統(tǒng)計(jì)有別于經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)的兩大特征：空間相關(guān)性和空間異質(zhì)性，莫蘭指數(shù)等可以用來(lái)量化空間相關(guān)性，那么地理加權(quán)回歸，就可以用來(lái)量化空間異質(zhì)性。

在對(duì)全局回歸問(wèn)題的改進(jìn)中，局部回歸可以說(shuō)是最簡(jiǎn)單的方法，GWR繼續(xù)應(yīng)用了局部回歸的思想，但是在局部窗口的模式下，遵循了所謂的“地理學(xué)第一定律”，在回歸的時(shí)候，使用了空間關(guān)系作為權(quán)重加入到運(yùn)算中，下面通過(guò)一個(gè)示例來(lái)講講GWR的基本思想。

首先看看全局回歸和局部回歸：

在看看地理加權(quán)回歸：

地理加權(quán)和其他回歸分析一樣，首先要?jiǎng)澏ㄒ粋€(gè)研究區(qū)域，當(dāng)然，通常這個(gè)區(qū)域也可以包含整個(gè)研究數(shù)據(jù)的全體區(qū)域（以此擴(kuò)展，你可以利用空間關(guān)系（比如k-臨近），進(jìn)行局部地理加權(quán)計(jì)算）……接下去最重要的就是利用每個(gè)要素的不同空間位置，去計(jì)算衰減函數(shù)，這個(gè)是一個(gè)連續(xù)的函數(shù)，有了這個(gè)衰減函數(shù)，當(dāng)你把每個(gè)要素的空間位置（一般是坐標(biāo)信息（x,y))和要素的值帶入到這個(gè)函數(shù)里面之后，就可以得到一個(gè)權(quán)重值，這個(gè)值就可以帶入到回歸方程里面去。

所以可以看到，最重要的就是這個(gè)距離衰減函數(shù)，正因?yàn)橛袀€(gè)這個(gè)衰減函數(shù)，得出不同權(quán)重，這個(gè)方法才會(huì)被叫做“地理加權(quán)回歸分析”。這個(gè)衰減函數(shù)的理論基礎(chǔ)，正是Tobler提出所謂的“地理學(xué)第一定律（Tobler's First Law或者Tobler's First Law of Geography)：位置越接近的數(shù)據(jù)，比遠(yuǎn)處的數(shù)據(jù)對(duì)結(jié)果的影響更大。這個(gè)影響在數(shù)學(xué)上，就化為了權(quán)重。

利用這些公式，就可以對(duì)所有的樣本點(diǎn)進(jìn)行逐點(diǎn)的計(jì)算，每個(gè)樣本點(diǎn)計(jì)算的時(shí)候，其他的參與計(jì)算的樣本都會(huì)根據(jù)與這個(gè)樣本點(diǎn)不同的空間關(guān)系賦予不同的權(quán)值，這樣最后就可以得出每個(gè)不同樣本的相關(guān)回歸系數(shù)了。最后通過(guò)解讀這些個(gè)系數(shù)，完成整個(gè)地理加權(quán)回歸分析整個(gè)分析過(guò)程。

一直在強(qiáng)調(diào)這個(gè)衰減函數(shù)，那么考慮一下如果沒(méi)有衰減呢？沒(méi)有衰減的話，就發(fā)現(xiàn)所有的權(quán)重都是一樣的（權(quán)重全部為1,1乘以任何數(shù)，都等于其本身）……那這個(gè)方程就變成了全局回歸方程了。這樣脫離了地理學(xué)第一定律，就立馬變回了經(jīng)典統(tǒng)計(jì)理論。

現(xiàn)在看看這個(gè)衰減函數(shù)如何來(lái)計(jì)算？

下面先貼公式，有數(shù)學(xué)恐懼癥的同學(xué)請(qǐng)略過(guò)：

這個(gè)方法，利用了擬合值來(lái)進(jìn)行計(jì)算，其中