基于NURBS的復(fù)雜域邊界單元改進(jìn)方法

提出了基于非均勻有理B樣條(NURBS)理論的邊界單元改進(jìn)方法。該方法以原分網(wǎng)后的節(jié)點和單元數(shù)據(jù)為依據(jù)，按照平均取值的原則獲取邊界單元邊界邊上的控制點，根據(jù)這些控制點利用NURBS理論表示邊界邊，并可通過不斷調(diào)節(jié)權(quán)因子，使分網(wǎng)后的邊界更加接近真實邊界。最后以VC＋＋為平臺，通過算例驗證了該改進(jìn)方法的有效性，并推導(dǎo)了改進(jìn)后邊界單元的形函數(shù)。
關(guān) 鍵 詞 非均勻有理B樣條; 復(fù)雜域; 邊界單元; 改進(jìn)方法; 分網(wǎng)

有限元法(Finite Element Method，F(xiàn)EM)作為最有效的數(shù)值方法之一，已成功用于解決許多工程問題。有限元模型的建立，是進(jìn)行有限元分析(Finite Element Analysis，F(xiàn)EA)的前提和基礎(chǔ)。分網(wǎng)又是有限元建模中最耗時的環(huán)節(jié)，是有限元分析的關(guān)鍵，它對計算精度、計算規(guī)模等都會產(chǎn)生較大的影響。
為滿足功能或性能要求，工程中存在大量由曲面和曲線組成的區(qū)域——復(fù)雜域組成的產(chǎn)品，如汽車覆蓋件、車架、橋架等。這些復(fù)雜域能很好地滿足產(chǎn)品性能和外觀要求，但同時也給工程分析帶來一定難度，主要體現(xiàn)在分網(wǎng)的精度上。
目前，在分網(wǎng)中，三角形單元應(yīng)用較為廣泛，但有些工程問題需要采用四邊形單元。與三角形單元相比，四邊形單元的數(shù)據(jù)輸入和對輸出應(yīng)力的解釋更容易，但不能很好地表達(dá)復(fù)雜域的實際邊界，精度不能保證[1]。為解決該問題，可采用減小單元尺寸或提高單元階次的方法來提高精度。但這些方法會使節(jié)點和單元數(shù)成倍增加，對計算機性能要求較高。
針對以上問題，本文提出了基于非均勻有理B樣條(Non-Uniform Rational B-Spline，NURBS)的復(fù)雜域邊界單元的改進(jìn)方法。

1 NURBS基本理論
NURBS方法，是目前最佳的曲線、曲面造型方法。由于它能夠精確描述包括二次曲線在內(nèi)的各種曲線，無論是解析形狀還是自由格式形狀均有統(tǒng)一的表示參數(shù)，便于工程數(shù)據(jù)庫的存取和應(yīng)用，并可通過控制點和權(quán)因子方便地對曲線、曲面的形狀進(jìn)行局部調(diào)整。
NUBRS的提出，是為了將所有空間曲線、曲面用統(tǒng)一數(shù)學(xué)形式描述。國際標(biāo)準(zhǔn)組織(ISO)繼美國的PDES后，于1991年頒布了關(guān)于工業(yè)產(chǎn)品數(shù)據(jù)交換的STEP國際標(biāo)準(zhǔn)，把NURBS作為定義工業(yè)產(chǎn)品幾何形狀的唯一數(shù)學(xué)方法。
NURBS對曲線的數(shù)學(xué)定義為：已知空間n+1個點di，(i=0,1,??,n)，則一條k次NURBS曲線可表示為分段有理多項式矢函數(shù)：
,,00()()/()nniiikiikiipuwdNuwNu===ΣΣ 1[,]kkuuu+∈ (1)
式中 di為控制點，i= 0,1,??,n；wi為相應(yīng)控制點的權(quán)因子(Weight Factor)，i= 0,1,??,n；為k次B樣條基函數(shù)；[u)(,uNki0,u1,??,un＋k]為曲線節(jié)點矢量。
2 復(fù)雜域邊界單元的改進(jìn)
2.1 復(fù)雜域邊界單元改進(jìn)思想
采用一般四邊形分網(wǎng)方法得到邊界單元如圖1所示。圖中i、j為邊界單元與復(fù)雜域邊界的交點；為分析域邊界的NURBS表示，i點、j點坐標(biāo)分別為、。采用平均取值的方法，在邊界邊上的和間取m個控制點，即d()pu)(iup)(jup
)(iup
(jup0=，dpm?1= ，d)(jupj=。用式(1)表示邊界單元的邊界邊。 ((()/ium+?
為保證在公共節(jié)點處連續(xù)，取首末權(quán)因子為w0=wm?1=1，其余的權(quán)因子wi],0[+∞∈可取不同的值。當(dāng)wi取值適當(dāng)時，邊界單元邊界邊將在控制點處與邊界實現(xiàn)最佳逼近?？刂泣c越多，逼近程度越好。同時，為保證NURBS曲線不出現(xiàn)奇異，wi取值不小于0。