量子力學(xué)的階梯解法及應(yīng)用

在量子力學(xué)里面，求解體系的束縛態(tài)本征方程占有非常重要的地位，通常采用求解微分方程來(lái)解決，但其煩瑣性不言而喻。
近年來(lái)，在物理學(xué)各前沿領(lǐng)域中，使用構(gòu)造階梯算符來(lái)處理本征值問(wèn)題愈來(lái)愈普遍，但尋找力學(xué)量相應(yīng)的階梯算符卻不規(guī)范，往往憑借經(jīng)驗(yàn)或技巧來(lái)解決。
本文通過(guò)研究束縛態(tài)本征方程里的哈密頓算符的二階線性常微分形式，給出兩個(gè)基本定理并證明，提供構(gòu)造二階線性常微分算符相應(yīng)的階梯算符的普遍實(shí)用的方法，然后利用這兩個(gè)定理構(gòu)造量子力學(xué)中常見力學(xué)量的階梯算符，并用以計(jì)算其能量本征值和對(duì)應(yīng)本征函數(shù)：一維諧振子的能量本征方程； 共同本征態(tài) ；氫原子束縛態(tài)徑向方程；三維各向同性諧振子的徑向方程；無(wú)限深球勢(shì)阱。
[關(guān)鍵詞] 量子力學(xué)；階梯解法；階梯算符；構(gòu)造
在量子力學(xué)中,求解體系的本征值是非常重要和普遍的,常見的解法是在一定的邊界條件下解微分方程,即分析解法。
階梯算符是一種用代數(shù)方法處理量子力學(xué)問(wèn)題的重要工具。用階梯算符求解力學(xué)量的本征值問(wèn)題,往往不需要具體解微分方程,這就使得求解過(guò)程特別的簡(jiǎn)便。
近年來(lái)，在物理學(xué)各前沿領(lǐng)域中，使用構(gòu)建階梯算符來(lái)處理本征值問(wèn)題愈來(lái)愈普遍[1-4]，但尋找力學(xué)量相應(yīng)的階梯算符卻不規(guī)范，往往憑借經(jīng)驗(yàn)或技巧來(lái)解決[5-11]。
本文給出兩個(gè)定理[12-14]，提供用以尋求階梯算符的一種規(guī)范方法，并利用此定理解常見的本征問(wèn)題。