FFT、PFT和多相位DFT濾波器組瞬態(tài)響應的比較

摘要：本文簡要地論述了FFT和多相位DFT濾波器組在響應方面的差異。一般而言，多相位DFT(甚至包括任何濾波器組，比如PFT)在穩(wěn)態(tài)條件下有著很好的相鄰信道抑制性能，而瞬態(tài)響應卻很糟糕。這符合了濾波器沖激響應結論。通過對一個典型的1024子帶濾波器組研究的簡單例子說明這些不同點。

引言
濾波器組頻率響應的研究是一個非常復雜的課題。這方面的大多數(shù)文章只研究穩(wěn)定狀態(tài)下的響應，事實上，雷達和其它突發(fā)方式的信號具有瞬時的特性。因此，了解濾波器組的瞬時性能是非常重要的。一般而言，頻率分辨特性越好，穩(wěn)定下來需要的時間越長。這是因為越是陡峭的濾波器，其需要的抽頭就越多、沖激響應時間越長。因此，在穩(wěn)定期間，濾波器抽頭沒有充滿，相鄰信道的頻率響應實際上比非加權的FFT濾波器組還要差。
本文將對FFT和多相位DFT濾波器組進行比較，包括穩(wěn)定狀態(tài)和瞬時條件的情況。同時也簡要地分析了過抽樣和所謂的“最小相位”濾波器的內容。

濾波器組穩(wěn)定狀態(tài)下的
頻率響應
頻率響應的比較
眾所周知，管道FFT的有效濾波器響應是Sinx/x (Sinc)函數(shù)，對很多應用，它不能提供足夠的相鄰信道抑制能力。使用簡單的窗口函數(shù)，比如Hanning, Kaiser, Blackman-Harris等，可改善濾波器的旁瓣抑制，代價是主瓣寬度減小。通過設計適當?shù)臑V波器組，比如PFT和多相位DFT,可以改善頻率響應特性。
有效噪聲帶寬
濾波器性能的另一個重要參數(shù)是有效噪聲帶寬(ENB)。表1給出了幾種濾波器組的比較。
由表1可知，Blackman-Harris窗口加權的FFT具有很好的旁瓣抑制，但在信噪比(S/N)上損失超過3dB ；而一個8抽頭多相位DFT(如下面要說明的一個8倍變換長度的窗口)具有良好的旁瓣抑制和低的有效噪聲帶寬，信噪比損失只有1dB 。

圖1   2倍過抽樣、非加權、1024子帶管道FFT瞬態(tài)響應

圖2   2倍過抽樣、5抽頭、1024子帶多相位DFT瞬態(tài)響應

圖3  32倍過抽樣、5抽頭、1024子帶多相位DFT瞬態(tài)響應

圖4  2倍過抽樣、5抽頭、最小相位、1024子帶多相位DFT瞬態(tài)響應

一般時域考慮
時域抽樣窗口
對簡單的窗口抽樣，窗口中的抽樣點數(shù)目等于它自身的變換長度。為了獲得更好的濾波效果，需要使窗口中的抽樣點數(shù)目大于變換長度。理論上，窗口的大小可以為任意長度。在多相位DFT當中，它通常是變換長度的整數(shù)倍(2x，3x等)，但是在WOLA實現(xiàn)中，它可以是任意長度。比方說，一個1024子帶的濾波器組可能需要4096個輸入抽樣(4倍幀長度)作為第一個全輸出的幀。對于PFT濾波器組，需要的抽樣點數(shù)目等同于級聯(lián)濾波器的沖激響應，但實際效果類似于獲得第一個全輸出幀需要的抽樣點數(shù)目，遠超過了幀的長度。
過抽樣
影響處理吞吐量速率的另一個因素是輸出濾波器需要的過抽樣程度。即使獲得臨界抽樣(抽樣速率正好等于奈奎斯特速率)也需要交迭處理。使用上面的例子，形成1024子帶的第一個全輸出幀需要4096個抽樣。要實現(xiàn)臨界抽樣就意味著1024子帶的下一幀在時間上必須與前一幀相鄰，并且輸出抽樣速率必須等于輸入抽樣速率。這可以通過下一組4096個抽樣點的起始延時1024個抽樣點、并進行4次交迭處理來實現(xiàn)。要實現(xiàn)過抽樣，需要增加交迭的次數(shù)。再用以上的例子，2倍的過抽樣將需要4096個抽樣的延時，而通過8次交迭處理，僅需512個抽樣即可滿足上述要求。PFT通常采用2倍的過抽樣。
過抽樣的程度由新抽樣的數(shù)目M(每一次新變換的參數(shù))決定。M的值越小，過抽樣因子越大。

瞬態(tài)分析
一般參數(shù)
盡管多相位、WOLA 或 PFT濾波器組在穩(wěn)態(tài)條件(如穩(wěn)定的信號條件和所有的濾波器抽頭充滿)給出了很好的相鄰信道抑制性能，瞬態(tài)響應卻是另外一種情況。在以下的討論中，使用的一般參數(shù)是：
?子帶的數(shù)目 = 1024
?輸入抽樣速率=102.4 MS/s(復數(shù))
?輸出抽樣速率 = 204.8 MS/s (2倍過抽樣)
?多相位抽頭的數(shù)目=5(等同5120點窗口)
?濾波器阻帶抑制 = -85 dB
?濾波器通帶紋波 = 0.2 dB(峰—峰)
?濾波器交迭 = 75%
最后一個參數(shù)用來測量濾波器的截止率。濾波器被設計成子帶的邊緣內都是平坦的，然后進入阻帶，與相鄰子帶的寬度有75%的交迭。
瞬態(tài)的結果由一個正弦波輸入的階梯函數(shù)產(chǎn)生，頻率范圍從中心頻率到半個子帶的偏移。它給出了對于FFT的最差的頻譜泄漏。
下面將介紹歸一化的功率譜(10*Log10{I2+Q2})，描述在2倍過抽樣速率(在這種情況下速率是204.8MS/s)情況下的管道輸出。一個單獨的1024抽樣的幀包含了從蠪s/2 到 +Fs/2的交織頻率子帶，這里Fs是輸入復數(shù)抽樣速率。
FFT瞬態(tài)響應
圖1給出了非加權FFT的瞬態(tài)響應。圖中沒有表示在第一次輸出前需要采集1024個抽樣和實際硬件處理帶來的任何其它延時的“廢棄”時間。因為它是2倍過抽樣，第一個1024點的幀還沒有達到穩(wěn)定狀態(tài)。這可以由以下的事實說明：第一個輸出幀在5ms內產(chǎn)生(1024個點以204.8MS/s 的抽樣速率產(chǎn)生)，而輸入抽樣速率是102.4MS/s ，這意味著只有512個抽樣是有用的(剩余的為0)。
多相位DFT瞬態(tài)響應
圖2給出了5抽頭多相位DFT的瞬態(tài)響應。很顯然，與FFT相比瞬態(tài)響應的時間要長，并且直到第10幀才完全達到穩(wěn)定狀態(tài)。直到第5幀，有效的濾波器頻率響應還不如非加權的FFT好。這是因為濾波器的抽頭只是半充滿。達到全穩(wěn)定狀態(tài)花費了10幀的時間(5抽頭乘以過抽樣因子)。
過抽樣的影響
有人可能認為通過在濾波器組的輸出端進行過抽樣能夠減少瞬態(tài)響應時間，這是不正確的。瞬態(tài)響應是濾波器沖激響應函數(shù)，過抽樣的影響只是使瞬態(tài)響應的細節(jié)更加清楚。這可以通過以下的例子說明：
?子帶的數(shù)目=1024
?輸入抽樣速率=6.4MS/s (復數(shù))
?輸出抽樣速率 = 204.8MS/s (32倍過抽樣)
?多相位抽頭的數(shù)目=5(同上具有相同的有效濾波)
圖3給出了32倍過抽樣的瞬態(tài)響應。為了保持204.8MS/s的輸出抽樣速率(受限于設備最大輸出速率)，輸入速率必須減小到6.4MS/s。
32倍過抽樣情形下的第80和第160幀的瞬態(tài)響應恰好對應于2倍過抽樣情形的第5和第10幀。這清楚地說明過抽樣并沒有獲得時間上的好處。32倍過抽樣的第1幀甚至比2倍過抽樣的第1幀還要差，因為現(xiàn)在5120個抽樣中只有32個可用。通過將圖2和圖3進行比較，瞬態(tài)響應的細微差別就更加清楚了(注意，由于輸入抽樣速率從102.4MS/s到6.4 MS/s的改變，引起時間軸刻度不同)。
最小相位FIR濾波器的影響
在此方面，一個更準確的命名是“最小群時延濾波器”，因為對于IIR濾波器而言，通過非線性相位響應的代價，可以減少中心頻帶的群時延。典型的例子如圖4所示。
除了濾波器抽頭系數(shù)不同，其它參數(shù)和圖2一樣?？梢钥吹?，濾波器的幅度響應增長很快，但這并不意味著濾波器在相鄰信道抑制方面能夠更快的穩(wěn)定下來。
在最小相位第5幀，盡管幅度已經(jīng)達到了最大值，但頻譜響應還沒有達到第9或第10幀的穩(wěn)定狀態(tài)條件。這方面的影響與標準多相位DFT的情況是類似的。

結語
結論很清楚?？焖偎矐B(tài)響應和陡峭頻譜濾波器不能同時獲得。最快速穩(wěn)定時間可以從簡單的FFT(加權或非加權)得到，代價是相對差的頻譜濾波特性。從另一個方面看，Sinx/x  FFT 濾波器的階梯響應很接近立即階梯響應。
提到“磚墻”濾波器，設計人員必須接受隨之引起的由于濾波器需要充滿帶來的瞬態(tài)響應延時。濾波器越陡峭，瞬態(tài)時間越長。如果優(yōu)先考慮給定子帶的信號幅度，那么“最小相位”濾波器會有所幫助，但這并不能改善(實際上可能會惡化)瞬態(tài)期間的相鄰信道抑制性能。這也會帶來每一個子帶的非線性相位響應。
過抽樣在瞬態(tài)期間展示更多細節(jié)方面有一定的作用，但它不會縮短瞬態(tài)響應時間。