基于特定插入損耗指標(biāo)的LC四端口網(wǎng)絡(luò)綜合設(shè)計(jì)

這是達(dá)林頓(S. Darlington)經(jīng)典著作，現(xiàn)代網(wǎng)絡(luò)綜合的開(kāi)山之作，濾波器類(lèi)文章引用最高文章，他總結(jié)了之前濾波器的設(shè)計(jì)方法，并指出其缺陷，首次提出了使用插入損耗來(lái)設(shè)計(jì)濾波器的方法，這種方法一直沿用至今。將這篇文章分四次發(fā)表，這是其二。

綜合特定插入損耗指標(biāo)的LC四端口網(wǎng)絡(luò)(二)

SYNTHESIS OF REACTANCE 4-POLES WHICH PRODUCE PRESCRIBED INSERTION LOSS CHARACTERISTICS

包括對(duì)濾波器設(shè)計(jì)的特殊應(yīng)用
作者 S. Darlington*

使用實(shí)際電路結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)開(kāi)路和短路阻抗

已經(jīng)開(kāi)發(fā)出了設(shè)計(jì)方法，用于設(shè)計(jì)產(chǎn)生規(guī)定的開(kāi)路和短路阻抗的各種不同的LC四端口網(wǎng)絡(luò)電路結(jié)構(gòu)，例如通過(guò)第一部分中描述的方法從插入損耗函數(shù)確定的阻抗。據(jù)說(shuō)其中一些電路結(jié)構(gòu)是規(guī)范的(Canonical)，因?yàn)樗鼈兛梢员辉O(shè)計(jì)為具有任何一組可以用物理LC網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)的阻抗。其他的則不那么通用，但可以更有利地使用，或者是通用電路結(jié)構(gòu)的特殊情況，已經(jīng)為其開(kāi)發(fā)了更簡(jiǎn)單的設(shè)計(jì)方法。

Cauer規(guī)范電路結(jié)構(gòu)

最簡(jiǎn)單的一般設(shè)計(jì)理論適用于由Cauer (5)引入的兩種規(guī)范LC 四端口網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計(jì)。它們的電路結(jié)構(gòu)如圖6所示。它們是根據(jù)三個(gè)開(kāi)路阻抗或短路導(dǎo)納的部分分式展開(kāi)設(shè)計(jì)的，通過(guò)注意不同展開(kāi)的部分分式之間的某些關(guān)系以及這些部分分式與各網(wǎng)絡(luò)分支的對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)設(shè)計(jì)。由于Cauer已經(jīng)非常完整地描述了這些網(wǎng)絡(luò)，因此在這里沒(méi)有必要更詳細(xì)地描述它們。

圖6 Cauer的規(guī)范LC 四端口網(wǎng)絡(luò)

規(guī)范的串聯(lián)段電路結(jié)構(gòu)

Cauer的規(guī)范電路結(jié)構(gòu)僅在LC四端口特性的理論研究中特別有趣。當(dāng)涉及到實(shí)際應(yīng)用時(shí)，幾乎總是更喜歡使用由簡(jiǎn)單網(wǎng)絡(luò)或段以圖7所示的串聯(lián)方式連接而成的等效電路。在選擇性網(wǎng)絡(luò)或?yàn)V波器的情況下，使用串聯(lián)段通常是實(shí)際的需要。首先，使用串聯(lián)段允許通過(guò)不那么精確地調(diào)整元件到其理論值來(lái)獲得對(duì)理論傳輸特性的合理近似。

此外，最常見(jiàn)的濾波器可以以串聯(lián)形式構(gòu)建，而無(wú)需使用Cauer規(guī)范電路結(jié)構(gòu)的等效網(wǎng)絡(luò)所需的互感。

圖7 串聯(lián)四端口網(wǎng)絡(luò)電路

對(duì)于許多用途而言，梯形網(wǎng)絡(luò)是串聯(lián)組合的最有用形式。然而，即使在最一般的定義下，即任何由交替的串聯(lián)和并聯(lián)兩端阻抗組成的序列，梯形電路結(jié)構(gòu)也不能用于實(shí)現(xiàn)所有可用更一般的電抗四端網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)的開(kāi)路和短路阻抗。另一方面，可以表明，梯形電路結(jié)構(gòu)的稍微修改或推廣總是可以實(shí)現(xiàn)的，因此可以被稱(chēng)為規(guī)范電抗四端網(wǎng)絡(luò)。該電路結(jié)構(gòu)定義為四種類(lèi)型的任意串聯(lián)組合，如圖8所示，可能在網(wǎng)絡(luò)的一端和理想變壓器串聯(lián)。

在許多情況下，上述規(guī)范網(wǎng)絡(luò)中并不需要所有四種類(lèi)型的段，而且經(jīng)常出現(xiàn)沒(méi)有理想變壓器的情況。事實(shí)也證明，串聯(lián)電感通?？梢园诖?lián)分支中或類(lèi)型的網(wǎng)絡(luò)中，這樣可以使類(lèi)型和中的感性耦合不那么理想，甚至可以被這些部分中的并聯(lián)自感完全替代。例如，在大多數(shù)濾波器中，既沒(méi)有類(lèi)型的段也沒(méi)有理想變壓器，而類(lèi)型中的感性耦合幾乎總是可以消除的。

通用的LC二端網(wǎng)絡(luò)。類(lèi)型和可能是不對(duì)稱(chēng)的。
圖8 產(chǎn)生規(guī)范LC四端網(wǎng)絡(luò)的串聯(lián)段類(lèi)型

串聯(lián)段電路結(jié)構(gòu)的一般理論

一端以恒定電阻終端的LC四端口網(wǎng)絡(luò)的輸入阻抗可以很容易地從開(kāi)路和短路阻抗中確定。相反，可以證明，除了對(duì)應(yīng)于交換輸入或輸出端子的可能性的傳遞阻抗的符號(hào)有明顯的模糊性之外，開(kāi)路和短路阻抗通常可以從對(duì)應(yīng)于規(guī)定的終端電阻的阻抗函數(shù)中確定。該規(guī)則的唯一例外對(duì)應(yīng)于導(dǎo)致降低階數(shù)的阻抗的終端值，并且對(duì)于任何一個(gè)網(wǎng)絡(luò)，這樣的值只能是有限的。

根據(jù)上述原則，獲得規(guī)定的開(kāi)路和短路電抗阻抗的一種方法是，將一個(gè)以電阻終端的LC四端口設(shè)計(jì)為一個(gè)二端口，該二端口產(chǎn)生的輸入阻抗由開(kāi)路和短路阻抗計(jì)算得出。在四端口的終端添加適當(dāng)?shù)睦硐胱儔浩鳎瑢a(chǎn)生規(guī)定的開(kāi)路和短路阻抗，前提是設(shè)計(jì)使得輸入阻抗的階數(shù)對(duì)于規(guī)定的阻抗和最終電路結(jié)構(gòu)是正常的。為了從所需的開(kāi)路和短路阻抗計(jì)算輸入阻抗中獲得假定的終端電阻，添加的理想變壓器通常是必要的。

Brune（8）已經(jīng)展示了如何將任何給定的正實(shí)函數(shù)實(shí)現(xiàn)為A、B和C類(lèi)型段的串聯(lián)組合的輸入阻抗，前提是允許在各段之間包含串聯(lián)電阻。當(dāng)正實(shí)函數(shù)的電阻段的根僅以相同的對(duì)出現(xiàn)并且都是實(shí)數(shù)或虛數(shù)時(shí)，可以以一種方式來(lái)執(zhí)行Brune的設(shè)計(jì)方法，以消除除形成終端的電阻之外的所有電阻。如果Brune的方法被最近的修改所替代，允許使用D類(lèi)型的段，則對(duì)實(shí)數(shù)或虛數(shù)根的要求變得不必要。所獲得的電路結(jié)構(gòu)可以顯示為，具有與規(guī)定函數(shù)相同階數(shù)的阻抗函數(shù)將通過(guò)終端電阻的一般值獲得，即規(guī)定函數(shù)不代表降低階數(shù)的特殊情況。因此，可以容易地找到與任何可以產(chǎn)生輸入阻抗的LC四端口網(wǎng)絡(luò)相對(duì)應(yīng)的串聯(lián)段等效物，該輸入阻抗對(duì)于電路結(jié)構(gòu)是正常的階數(shù)，并且電阻部分的所有根都以相同的對(duì)出現(xiàn)。這被證明是所有物理LC四端口網(wǎng)絡(luò)的特性。

上述分析證明了通過(guò)在A、B、C、D類(lèi)型的串聯(lián)組合的一端添加一個(gè)理想變壓器而形成的LC四端口網(wǎng)絡(luò)的規(guī)范性質(zhì)。還可以證明，通過(guò)一對(duì)端子通過(guò)電阻終端閉合而形成的兩端阻抗構(gòu)成一個(gè)規(guī)范的一般二端口。如上所述，這種類(lèi)型的二端口可以對(duì)應(yīng)于任何正實(shí)函數(shù)，前提是電阻部分的根僅以相同的對(duì)出現(xiàn)。然而，當(dāng)允許使用導(dǎo)致降低階數(shù)的阻抗函數(shù)的終端電阻的特殊值時(shí)，對(duì)正實(shí)函數(shù)的限制變得不必要。由于LC四端口網(wǎng)絡(luò)的規(guī)范性質(zhì)，這可以通過(guò)僅僅展示如何找到一組導(dǎo)致由任何給定的正實(shí)函數(shù)表示的輸入阻抗的物理開(kāi)路和短路電抗阻抗來(lái)證明。如何完成這一點(diǎn)如下所示。

假設(shè)要設(shè)計(jì)一個(gè)LC網(wǎng)絡(luò)，以便在遠(yuǎn)端以規(guī)定的電阻終端時(shí)在一端產(chǎn)生規(guī)定的輸入阻抗。由于輸入功率和接收功率的相等性，可以通過(guò)規(guī)定的阻抗容易地計(jì)算出在第二個(gè)電阻終端輸入端時(shí)將獲得的插入損耗。然后可以使用第一部分的通用理論來(lái)確定相應(yīng)的物理上可實(shí)現(xiàn)的開(kāi)路和短路阻抗集。很容易證明，如果它是一個(gè)正實(shí)函數(shù)，那么其中一個(gè)將對(duì)應(yīng)于規(guī)定的阻抗。

設(shè)計(jì)流程

現(xiàn)在考慮設(shè)計(jì)串聯(lián)LC四端口網(wǎng)絡(luò)的實(shí)際操作，該LC網(wǎng)絡(luò)產(chǎn)生規(guī)定的開(kāi)路和短路阻抗。如上所述，第一步是計(jì)算網(wǎng)絡(luò)任意一端的輸入阻抗，該端對(duì)應(yīng)于任意的遠(yuǎn)端終端，但要求阻抗函數(shù)的階數(shù)必須對(duì)開(kāi)路和短路阻抗正常。然后設(shè)計(jì)一種類(lèi)型為或的段，使其在被較低次的新物理阻抗終端時(shí)產(chǎn)生所需的輸入阻抗。接著設(shè)計(jì)第二段，使其在被進(jìn)一步降低階數(shù)的新阻抗終端時(shí)產(chǎn)生所需的終端阻抗。這一過(guò)程一直持續(xù)到所需的終端阻抗降低為恒定電阻為止。最后，用理想變壓器與電阻的等效組合代替所需的終端電阻，該電阻與計(jì)算原始輸入阻抗時(shí)假定的終端電阻相同。

Brune展示了如何將具有實(shí)頻軸上極點(diǎn)或根的任何正實(shí)函數(shù)分別實(shí)現(xiàn)為類(lèi)型為或的段的輸入阻抗，并在降低階數(shù)的阻抗下被端接。Brune還展示了如何將沒(méi)有實(shí)頻軸上的根或極點(diǎn)，但電阻部分有一對(duì)相同的實(shí)根或虛根的正實(shí)函數(shù)實(shí)現(xiàn)為類(lèi)型的段在被降低階數(shù)的物理阻抗下的輸入阻抗。最后，如果輸入阻抗的電阻部分的所有根都以相同對(duì)出現(xiàn)，則每種情況下所需的終端阻抗都具有相同的特性。因此，為了完成設(shè)計(jì)方法的解釋?zhuān)恍枰故倦娮璨糠值南嗤瑥?fù)根的出現(xiàn)如何允許使用類(lèi)型為的段，就像當(dāng)根是實(shí)數(shù)或虛數(shù)時(shí)使用類(lèi)型為的段一樣。

D型段的設(shè)計(jì)

假設(shè)某一規(guī)定的D型段在阻抗端接時(shí)產(chǎn)生規(guī)定的輸入阻抗。如果用表示D型段的行列式，并將輸入和輸出網(wǎng)格分別編號(hào)為1和2，則與的關(guān)系為：

其中，表示D型段在終端的短路阻抗。假設(shè)是一個(gè)正實(shí)函數(shù)，其電阻部分具有一對(duì)相同的復(fù)根，可以證明以下條件始終確定一個(gè)物理上的D型段，該線段導(dǎo)致一個(gè)比更低階數(shù)的物理上的：函數(shù)和需要具有一對(duì)重復(fù)根，它們也與的電阻部分的一對(duì)復(fù)根重合。

可以輕易證明，上述的和的根的重合會(huì)導(dǎo)致阻抗中不是的根的所有根都被抵消，這就排除了在平面的右半部分存在根的可能性。如果還假設(shè)D型段是物理上可實(shí)現(xiàn)的，簡(jiǎn)單的附加分析表明必須實(shí)際上是一個(gè)正實(shí)函數(shù)。這證明了本身的正實(shí)性，但不排除在中，的重合極點(diǎn)的正留數(shù)掩蓋了具有負(fù)留數(shù)的實(shí)極點(diǎn)。最后，可以證明，通過(guò)向原始輸入阻抗添加，可以在不改變的相應(yīng)留數(shù)的情況下分離兩個(gè)阻抗的任何重合極點(diǎn)?？梢酝ㄟ^(guò)證明上述條件導(dǎo)致表達(dá)式的根和極點(diǎn)的八次重合來(lái)證明的階數(shù)降低。

為了證明和的根的條件實(shí)際上導(dǎo)致了一個(gè)物理上的D型段，首先從該條件推導(dǎo)出元件值的顯式公式，而不考慮物理可實(shí)現(xiàn)性的問(wèn)題。輸入阻抗在這些公式中僅通過(guò)及其電阻部分的雙重根處的導(dǎo)數(shù)值出現(xiàn)。這允許在公式中用產(chǎn)生輸入阻抗并在適當(dāng)?shù)暮愣娮柘露私拥奈锢鞮C四端口的開(kāi)路阻抗替換。然后可以證明，D型段的相應(yīng)電容和自感將是有限的正實(shí)數(shù)。

梯形網(wǎng)絡(luò)所需的條件

當(dāng)所有插損無(wú)限大的頻率都是實(shí)數(shù)或虛數(shù)時(shí)，D型段不必包含在規(guī)范串聯(lián)段電路中。這是因?yàn)橥暾W(wǎng)絡(luò)的無(wú)限損耗頻率是各個(gè)部分的相應(yīng)臨界頻率，而D型段僅需要實(shí)現(xiàn)無(wú)限損耗的復(fù)頻率。當(dāng)D型段不存在時(shí)，網(wǎng)絡(luò)可以被視為一般的電抗梯形網(wǎng)絡(luò)，這可以定義為由LC兩端口組成的交替串聯(lián)和并聯(lián)支路的任意組合。雖然C型段中的串聯(lián)電感之間的耦合使它們比交替串聯(lián)和并聯(lián)兩端口更復(fù)雜，但可以將耦合視為僅僅是實(shí)現(xiàn)等效網(wǎng)絡(luò)中出現(xiàn)的負(fù)電感的裝置。

中間串聯(lián)低通梯形電路結(jié)構(gòu)

在上述類(lèi)型的梯形網(wǎng)絡(luò)中可能存在的大量組合，只有少數(shù)是常用的。為了確定元件值而不涉及使用前面描述的串聯(lián)段的一般理論所需的工作，已經(jīng)為這些特定電路結(jié)構(gòu)開(kāi)發(fā)了廣泛的特殊設(shè)計(jì)理論。特殊設(shè)計(jì)理論最好首先針對(duì)圖9所示的特定類(lèi)型的梯形進(jìn)行開(kāi)發(fā)，盡管它不一定是鏡像參數(shù)理論中的中間串聯(lián)型低通濾波器，但也可以被稱(chēng)為中間串聯(lián)低通電路結(jié)構(gòu)。其他常見(jiàn)的電路結(jié)構(gòu)可以通過(guò)對(duì)這個(gè)特例的理論進(jìn)行簡(jiǎn)單的修改來(lái)設(shè)計(jì)。

最早計(jì)算圖9所示的中間串聯(lián)低通結(jié)構(gòu)的梯形元件值的特殊公式是由Norton（7）作為他的恒阻對(duì)濾波器理論的一部分而開(kāi)發(fā)的。盡管Norton的公式代表了中間串聯(lián)低通梯形理論發(fā)展的重要一步，但已經(jīng)發(fā)現(xiàn)在數(shù)值問(wèn)題中它們所要求的計(jì)算過(guò)于復(fù)雜，通常必須進(jìn)行非常高精度的數(shù)值計(jì)算。

圖9 中間串聯(lián)低通梯形電路結(jié)構(gòu)

因此，對(duì)設(shè)計(jì)問(wèn)題進(jìn)行了廣泛的進(jìn)一步分析，推導(dǎo)出了一組新的公式。這些新公式在數(shù)值計(jì)算方面相對(duì)令人滿意，并且在各種理論研究中也很有用，例如確定可以用中間串聯(lián)低通梯形實(shí)現(xiàn)的阻抗。此外，公式的推導(dǎo)涉及另一組公式的開(kāi)發(fā)，這組公式以非常緊湊的形式用行列式表示，并且在某些理論研究中很有用，盡管當(dāng)應(yīng)用于普通數(shù)值問(wèn)題時(shí)它們具有與Norton公式相同的缺點(diǎn)。

推導(dǎo)設(shè)計(jì)公式的假設(shè)和條件

如果暫時(shí)采用某些簡(jiǎn)單的假設(shè)，中間串聯(lián)低通電路結(jié)構(gòu)的梯形設(shè)計(jì)公式的發(fā)展會(huì)得到簡(jiǎn)化。當(dāng)這些假設(shè)不滿足時(shí)，應(yīng)遵循的方法最好在公式推導(dǎo)出來(lái)之后進(jìn)行研究。首先，最簡(jiǎn)單的方法是從假設(shè)一組開(kāi)路和短路阻抗開(kāi)始，這些阻抗預(yù)先知道適合該電路結(jié)構(gòu)，將具有這種特性的阻抗問(wèn)題留到以后解決。盡管可以找到需要排除某些解的特殊阻抗集，但進(jìn)一步假設(shè)阻抗是這樣的，通常遇到的元件解的多重性都是可能的。盡管在某些特殊情況下，某些開(kāi)路和短路阻抗的階數(shù)可能會(huì)降低，但暫時(shí)假設(shè)所有插損無(wú)限大的頻率都是不同的，并且所有開(kāi)路和短路阻抗對(duì)于該電路結(jié)構(gòu)都是正常階數(shù)，也可以避免某些困難。

以下關(guān)系適用于與上述假設(shè)一致的任何中間串聯(lián)低通電路結(jié)構(gòu)的梯形網(wǎng)絡(luò)，是所有已知元件值公式的基礎(chǔ)。首先，并聯(lián)支路的諧振與插損無(wú)限大的頻率相同，除了在無(wú)窮大處的一個(gè)無(wú)限損耗點(diǎn)。其次，在并聯(lián)支路諧振時(shí)，任何開(kāi)路和短路驅(qū)動(dòng)點(diǎn)阻抗的假設(shè)值獨(dú)立于與其終端被并聯(lián)支路隔開(kāi)的元件，該并聯(lián)支路在梯形中起短路作用。最后，在假設(shè)電路結(jié)構(gòu)的正常階數(shù)阻抗下，驅(qū)動(dòng)點(diǎn)阻抗函數(shù)相對(duì)于頻率的導(dǎo)數(shù)具有相同的特性。

事實(shí)證明，上述關(guān)系足以從一個(gè)開(kāi)路或短路驅(qū)動(dòng)點(diǎn)阻抗以及插損無(wú)限大的頻率來(lái)確定所有元件值，除了開(kāi)路阻抗情況下的遠(yuǎn)端電感。通常可獲得的解的多重性只是由于無(wú)限損耗的有限頻率可以任意分布在并聯(lián)支路作為其各自的諧振。為了獲得唯一的解，最好一開(kāi)始就假設(shè)已經(jīng)選擇了特定的分布。然后問(wèn)題就變成了將一個(gè)已知的LC二端阻抗實(shí)現(xiàn)為中間串聯(lián)低通電路結(jié)構(gòu)的梯形的開(kāi)路或短路阻抗，其并聯(lián)支路諧振已經(jīng)規(guī)定。

連分?jǐn)?shù)展開(kāi)基礎(chǔ)

元件值公式的開(kāi)發(fā)需要引入廣泛的特殊符號(hào)，以便將設(shè)計(jì)問(wèn)題簡(jiǎn)化為確定已知函數(shù)的特別簡(jiǎn)單的連分?jǐn)?shù)展開(kāi)。首先，考慮圖10所示的各網(wǎng)絡(luò)支路阻抗的指定中的常數(shù)，用而不是表示，這樣更簡(jiǎn)單。 常數(shù)代表以表示的并聯(lián)支路諧振或無(wú)限損耗有限點(diǎn)的倒數(shù)，因此假定它們是已知的。因此，所考慮的問(wèn)題相當(dāng)于確定所謂的梯形網(wǎng)絡(luò)系數(shù)，因?yàn)閺倪@些系數(shù)和一起確定元件值沒(méi)有任何困難。為了避免前面提到的設(shè)計(jì)公式的歧義，這些公式僅僅是各個(gè)的特定公式，方便地包含附加要求，即系數(shù)等的編號(hào)應(yīng)從它們要計(jì)算的特定開(kāi)路或短路驅(qū)動(dòng)點(diǎn)阻抗的端子開(kāi)始。

圖10 中間串聯(lián)低通梯形的阻抗支路設(shè)計(jì)

眾所周知，將2端阻抗實(shí)現(xiàn)為規(guī)定電路結(jié)構(gòu)的梯形網(wǎng)絡(luò)的輸入阻抗的問(wèn)題相當(dāng)于獲得阻抗的某種規(guī)定形式的連分?jǐn)?shù)展開(kāi)或一些相關(guān)函數(shù)的問(wèn)題。對(duì)于所考慮的特定網(wǎng)絡(luò)，如果要展開(kāi)的函數(shù)是通過(guò)將阻抗函數(shù)除以或其等效的而得到的，則所需的連分?jǐn)?shù)是最簡(jiǎn)單的。換句話說(shuō)，最好定義為

其中是計(jì)算系數(shù)等的開(kāi)路或短路阻抗。

由于是的奇有理函數(shù)，因此必須是的函數(shù)。這建議用新變量替換以降低的次數(shù)。然而，事實(shí)證明，如果使用此變量的倒數(shù)，則會(huì)獲得更簡(jiǎn)單的連分?jǐn)?shù)。因此，引入了以下附加符號(hào)：

其中表示新變量，而表示對(duì)應(yīng)于無(wú)限損耗頻率的的值。用這種符號(hào)表示，所需的連分?jǐn)?shù)展開(kāi)具有以下形式：

問(wèn)題是解決這個(gè)恒等式的，假設(shè)常數(shù)和變量的函數(shù)是已知的。

在推導(dǎo)通過(guò)上述問(wèn)題的解決而開(kāi)發(fā)的更有用的公式時(shí)，分析的第一部分致力于推導(dǎo)前面提到的以行列式形式緊湊表示的替代公式。最終的公式然后通過(guò)將行列式展開(kāi)為函數(shù)的部分分式表示來(lái)推導(dǎo)。由于推導(dǎo)的兩個(gè)部分都涉及漫長(zhǎng)而復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算，因此在這里只對(duì)其進(jìn)行簡(jiǎn)要概述。如果行列式中初步公式的陳述先于它們推導(dǎo)的概述，將更加明晰。

以行列式表示的的公式

在的初步解中出現(xiàn)的行列式由形成，定義為上述符號(hào)表示的：

其中,?等用于表示和在等處的取值。使用符號(hào)和是一致的，因?yàn)槭钱?dāng)接近時(shí)所接近的極限。

行列式本身有三種不同的類(lèi)型。行列式定義為，其中和取值從1到。即，

行列式是通過(guò)將的最后一列的元件更改為1而獲得的。即，

最后，行列式是通過(guò)將的最后一列的元件從更改為而獲得的。因此，

除了之外，所有這些行列式都給出了梯形網(wǎng)絡(luò)系數(shù)的公式。這些系數(shù)由以下設(shè)計(jì)方程給出：

系數(shù)對(duì)應(yīng)于形成最后一個(gè)串聯(lián)支路的電感。如果函數(shù)是從開(kāi)路阻抗獲得的，則必須從其他阻抗確定該系數(shù)。如果對(duì)應(yīng)于短路阻抗，則可以從在零頻率下的值或通過(guò)使用上述公式和任意附加常數(shù)來(lái)找到。

上述公式可以通過(guò)一種相當(dāng)直接但冗長(zhǎng)且繁瑣的歸納法推導(dǎo)出來(lái)。首先從Norton方程或直接從連分?jǐn)?shù)（25）在和附近的行為推導(dǎo)出前四個(gè)系數(shù)的公式。這給出了上述的關(guān)于和的特殊公式，并顯示了關(guān)于和的公式與關(guān)于和的一般公式一致。然后證明如果關(guān)于和的公式是正確的，那么關(guān)于和的公式也必須是正確的。這首先通過(guò)使用關(guān)于和的公式來(lái)表示從網(wǎng)絡(luò)中移除前兩個(gè)分支（對(duì)應(yīng)于和）所得到的“簡(jiǎn)化”阻抗中的和來(lái)完成。然后將這個(gè)“簡(jiǎn)化”阻抗替換為原始阻抗和關(guān)于和的公式的等效表達(dá)式。最終通過(guò)對(duì)結(jié)果方程中行列式的大量操作得出關(guān)于和的一般公式。

除非所有的常數(shù)都是不同的（符合最初的假設(shè)，即沒(méi)有兩個(gè)相同的無(wú)限損耗頻率），否則公式（30）是不確定的。然而，可以通過(guò)假設(shè)無(wú)限小的差異并使用Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)表示作為?的函數(shù)來(lái)處理重合的無(wú)限損耗頻率。當(dāng)所有的無(wú)限損耗頻率都是相同的，除了一個(gè)在無(wú)窮大處的頻率時(shí)，連分?jǐn)?shù)（25）變成一個(gè)由Fry（12）考慮的Stieltjes分?jǐn)?shù)類(lèi)型。無(wú)疑可以通過(guò)Taylor級(jí)數(shù)方法從（30）推導(dǎo)出Stieltjes分?jǐn)?shù)展開(kāi)中的已知常數(shù)公式。

在得出最終公式后，通過(guò)展示如何擴(kuò)展第一組行列式，最好考慮除了沒(méi)有兩個(gè)相同頻率的無(wú)限損耗之外的摒棄原始假設(shè)的效果。

通過(guò)展開(kāi)行列式推導(dǎo)最終設(shè)計(jì)公式

可以輕易證明，如果將函數(shù)展開(kāi)為部分分?jǐn)?shù)的和，只要從中推導(dǎo)出的開(kāi)路或短路驅(qū)動(dòng)點(diǎn)阻抗在物理上是可實(shí)現(xiàn)的，該展開(kāi)將始終采用以下形式：

在這個(gè)表達(dá)式中，除了有時(shí)可能為零之外，所有的和都是正的且都是有限的。

根據(jù)的部分分?jǐn)?shù)展開(kāi)，如(26)中定義的行列式元件變?yōu)椋?/p>

而只需在此公式中將等于即可得到。出現(xiàn)在的公式(30)中的由(27)至(29)定義的行列式可以根據(jù)這些的部分分?jǐn)?shù)表示進(jìn)行展開(kāi)。然而，這些展開(kāi)的推導(dǎo)過(guò)程太長(zhǎng)且復(fù)雜，只能在此簡(jiǎn)要概述。

在推導(dǎo)行列式的展開(kāi)時(shí)，首先檢查與展開(kāi)中的部分分?jǐn)?shù)數(shù)量相同的特定行列式。發(fā)現(xiàn)這個(gè)特定的行列式可以表示為兩個(gè)一般形式為的行列式的乘積，這在行列式理論的著名論文中進(jìn)行了評(píng)估。然后證明了較高階的行列式必須為零，而較低階的行列式則等同于可分解的相似行列式的和。這些和中的每一項(xiàng)實(shí)際上都是通過(guò)僅使用的部分分?jǐn)?shù)中的個(gè)來(lái)獲得的行列式，即，通過(guò)將(32)中除了個(gè)之外的所有設(shè)置為零。對(duì)于每個(gè)可能的個(gè)部分分?jǐn)?shù)的選擇，必須有一個(gè)這樣的項(xiàng)。確定了行列式的展開(kāi)之后，可以通過(guò)將它們視為行列式的某些極限情況來(lái)展開(kāi)和行列式。

當(dāng)將這些行列式的展開(kāi)插入到用于計(jì)算的方程(30)中時(shí)，可以消去無(wú)窮大損耗點(diǎn)等之間的差的各種因子。然后，這些公式變?yōu)椋?/p>

其中，代表原始行列式展開(kāi)的未取消部分。

這些最好用這些量來(lái)表示，這些量由遞歸公式定義：

用這些量來(lái)表示，在一般情況下需要非常復(fù)雜的求和和乘積符號(hào)。因此，最好通過(guò)列出足夠多的特定情況來(lái)避免一般情況的必要性，以確定這樣的聲明必須顯示什么。

簡(jiǎn)化后的的公式列在表I中，以及在實(shí)際計(jì)算梯形網(wǎng)絡(luò)系數(shù)時(shí)所需的額外先前關(guān)系。這些足以表示一般情況，并且對(duì)于普通的設(shè)計(jì)目的也足夠了，特別是當(dāng)網(wǎng)絡(luò)的兩端的阻抗已知時(shí)，可以從每端確定部分元件。然而，通過(guò)為特定段數(shù)開(kāi)發(fā)更專(zhuān)門(mén)形式的方程，可以獲得一些額外的簡(jiǎn)化。阻抗在零和無(wú)窮大的行為也可以有利地用于確定一個(gè)或兩個(gè)系數(shù)，對(duì)于這些系數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)公式最復(fù)雜或用于檢查目的。還推導(dǎo)出了對(duì)稱(chēng)格型網(wǎng)絡(luò)的梯形等價(jià)的特殊簡(jiǎn)化公式，這些公式通常在對(duì)稱(chēng)電路的設(shè)計(jì)中首先計(jì)算。然而，當(dāng)考慮格型網(wǎng)絡(luò)的理論時(shí)，最好在后面介紹這些公式。

在普通的數(shù)值問(wèn)題中，展開(kāi)的公式不需要極高的計(jì)算精度，而在使用Norton方程或行列式公式時(shí)通常需要這種精度。同樣，當(dāng)遇到無(wú)限損耗的重合頻率時(shí)，展開(kāi)的公式不會(huì)像其他公式那樣變得不確定。盡管從一個(gè)問(wèn)題到另一個(gè)問(wèn)題，這種情況的階數(shù)可能會(huì)有很大差異，但這些公式也會(huì)導(dǎo)致普通設(shè)計(jì)問(wèn)題中更直接的數(shù)值計(jì)算。雖然公式的復(fù)雜性隨著網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜性的增加而迅速增加，使它們不適合設(shè)計(jì)超過(guò)四段或可能五段的梯形網(wǎng)絡(luò)，但很少遇到這樣復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)。最后，一般段數(shù)的梯形公式假設(shè)一種形式，使它們?cè)谘芯康屯ㄌ菪尉W(wǎng)絡(luò)的阻抗要求或避免耦合線圈等的可能性等一般研究中很有用。

表I：一般中間串聯(lián)低通梯形網(wǎng)絡(luò)

以及其它乘積和的和。

插入損耗函數(shù)與可通過(guò)中間串聯(lián)低通梯形結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)的阻抗

中間串聯(lián)低通梯形結(jié)構(gòu)適合實(shí)現(xiàn)如下形式的插入功率比：

其中，表示梯形中的并聯(lián)分支數(shù)量，而和為任意常數(shù)。除了對(duì)應(yīng)于和的離散選擇的某些特殊情況外，總是可以通過(guò)直接的方法找到可與中間串聯(lián)低通梯形結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)并受電路結(jié)構(gòu)的正常階數(shù)和元件值的正常多重性先前假設(shè)限制的相應(yīng)開(kāi)路和短路阻抗。

確定阻抗的第一步是使用的分子和分母作為多項(xiàng)式和，為第一部分的一般阻抗理論中的多項(xiàng)式和找到解。很容易證明，部分中指示的多項(xiàng)式的解的多重性是這樣的：就一般可實(shí)現(xiàn)性而言，和的符號(hào)可以任意選擇，也可以選擇的符號(hào)。除了上面提到的非常特殊的情況外，如果和的符號(hào)按照以下條件選擇，則第一部分中方程（18）中展示的阻抗公式會(huì)產(chǎn)生與所需類(lèi)型的梯形相對(duì)應(yīng)的可實(shí)現(xiàn)阻抗：在零頻率下必須為正，在無(wú)限頻率下必須為負(fù)，而在零頻率下必須為正或?yàn)樨?fù)，這取決于終端是大于還是小于。

特殊情況下遇到的困難

在特殊情況下可能遇到的困難分為兩種類(lèi)型。第一種類(lèi)型，盡管阻抗函數(shù)具有該電路結(jié)構(gòu)的正常形式，但仍可能遇到。第二種類(lèi)型對(duì)應(yīng)于由于相應(yīng)通用公式的分子和分母的根重合而出現(xiàn)的各種開(kāi)路或短路阻抗，其階數(shù)較低。

可以證明，如果所有的阻抗都是正常階數(shù)，則無(wú)窮損耗的有限頻率不能與開(kāi)路或短路驅(qū)動(dòng)點(diǎn)阻抗的根或極點(diǎn)重合。因此，表I的設(shè)計(jì)公式中出現(xiàn)的量的對(duì)應(yīng)值都將是有限的。在這些量中，總是正的，但和可能是負(fù)的。因此，由表I中指示的方式由形成的量都將是有限的，但量和可能為零。的消失僅僅是用一個(gè)簡(jiǎn)單導(dǎo)體代替了一個(gè)串聯(lián)電感，但的消失導(dǎo)致了對(duì)三個(gè)網(wǎng)絡(luò)分支的要求，這些分支在所有頻率上都具有無(wú)窮阻抗，一個(gè)并聯(lián)分支和兩個(gè)相鄰的串聯(lián)分支。

如果不再假定所有的的解的多樣性都是物理的，則通常可以通過(guò)修改特定無(wú)窮損耗頻率的選擇來(lái)克服這種類(lèi)型的困難，這些特定頻率應(yīng)作為各個(gè)并聯(lián)分支的諧振，或者選擇對(duì)應(yīng)于相同插入損耗的不同阻抗集。然而，有可能遇到所有解決方案都導(dǎo)致相同困難的情況。然后必須修改梯形電路，至少使用一個(gè)反諧振電路作為串聯(lián)分支。這可以通過(guò)適當(dāng)?shù)匦薷恼５脑O(shè)計(jì)方法來(lái)實(shí)現(xiàn)。

當(dāng)存在與開(kāi)路或短路驅(qū)動(dòng)點(diǎn)阻抗的根或極點(diǎn)重合的無(wú)窮損耗的有限頻率時(shí)，一些阻抗函數(shù)的階數(shù)將降低。然后，通?？梢酝ㄟ^(guò)將終端串聯(lián)或并聯(lián)分支或兩者都添加到具有正常電路結(jié)構(gòu)阻抗的中間串聯(lián)損耗通梯形電路來(lái)實(shí)現(xiàn)阻抗。然而，通常也可能僅僅通過(guò)使用在計(jì)算元件值時(shí)仍具有正常階數(shù)的阻抗來(lái)獲得正常中間串聯(lián)低通形式的完整網(wǎng)絡(luò)。當(dāng)所有阻抗都降低階數(shù)時(shí)，可以使用正常設(shè)計(jì)方法的修改，或者使用適用于規(guī)范串聯(lián)段電路結(jié)構(gòu)的一般方法。

消除各種元件

允許任何或所有無(wú)窮損耗的頻率置于無(wú)窮大處沒(méi)有任何困難。這僅僅要求相應(yīng)的并聯(lián)分支是簡(jiǎn)單的電容而不是諧振電路。通過(guò)在（35）中將適當(dāng)?shù)脑O(shè)置為零，以及在表I的設(shè)計(jì)公式中將代表它們平方的相應(yīng)設(shè)置為零來(lái)進(jìn)行設(shè)計(jì)。

式（35）的一般形式中的某些功率比也導(dǎo)致一個(gè)或多個(gè)串聯(lián)電感的消失。這類(lèi)情況中有一個(gè)特殊情況特別重要，在這種情況下，一個(gè)終端串聯(lián)分支消失，而下一個(gè)并聯(lián)分支是一個(gè)簡(jiǎn)單的電容，留下圖11所示的網(wǎng)絡(luò)類(lèi)型。功率比的適當(dāng)形式是通過(guò)將分子中的項(xiàng)減少一個(gè)，并將的數(shù)量也減少一個(gè)從（35）中獲得的。換句話說(shuō)，

圖11 與插入損耗函數(shù)的特殊形式相對(duì)應(yīng)的中間串聯(lián)低通梯形電路結(jié)構(gòu)的特殊形式

其他常見(jiàn)類(lèi)型的梯形網(wǎng)絡(luò)

圖12所示的梯形網(wǎng)絡(luò)電路結(jié)構(gòu)可描述為中間并聯(lián)低通電路結(jié)構(gòu)，通過(guò)重新定義系數(shù)（與圖中所示的分支阻抗相對(duì)應(yīng)）可以非常容易地進(jìn)行設(shè)計(jì)。這些系數(shù)與短路和開(kāi)路導(dǎo)納的關(guān)系與中間串聯(lián)類(lèi)型梯形的系數(shù)與開(kāi)路和短路阻抗的關(guān)系完全相同。因此，當(dāng)中間串聯(lián)和中間并聯(lián)梯形網(wǎng)絡(luò)在和端接時(shí)，只要它們的系數(shù)滿足以下方程關(guān)系，就會(huì)產(chǎn)生相同的插入損耗：

其中，和分別是中間串聯(lián)和中間并聯(lián)梯形網(wǎng)絡(luò)的系數(shù)，必須在兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)中從相反的兩端進(jìn)行編號(hào)。

在中間串聯(lián)類(lèi)型梯形網(wǎng)絡(luò)中可實(shí)現(xiàn)的負(fù)電感在相應(yīng)的并聯(lián)類(lèi)型電路結(jié)構(gòu)中變?yōu)樨?fù)電容。然而，可以通過(guò)以適當(dāng)?shù)姆绞揭肜硐胱儔浩鱽?lái)實(shí)現(xiàn)這些電路結(jié)構(gòu)。要了解如何實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)，只需注意，由任何二端元件（如電容）并聯(lián)的理想變壓器等效于一對(duì)“完全耦合阻抗”，與完全耦合電感類(lèi)似。

其他類(lèi)型的梯形網(wǎng)絡(luò)可以通過(guò)使用眾所周知的頻率變換方法來(lái)設(shè)計(jì)。先前的設(shè)計(jì)公式適用于確定一個(gè)由電抗元件組成的低通梯形網(wǎng)絡(luò)，該網(wǎng)絡(luò)產(chǎn)生的插入損耗由的適當(dāng)函數(shù)表示。假設(shè)通過(guò)將替換為相關(guān)變量，將其他一些插入損耗函數(shù)變換為相同的函數(shù)。由于低通濾波器理論中的電抗元件僅僅是用于產(chǎn)生與或其倒數(shù)成比例的阻抗的裝置，因此現(xiàn)在可以使用相同的理論來(lái)設(shè)計(jì)一個(gè)由與或其倒數(shù)成比例的阻抗組成的相應(yīng)梯形網(wǎng)絡(luò)。如果原始低通梯形網(wǎng)絡(luò)的所有元件都是正數(shù)，則變換后的梯形網(wǎng)絡(luò)的阻抗分支可以用物理兩端元件實(shí)現(xiàn)，條件是代表物理阻抗函數(shù)。如果原始低通梯形網(wǎng)絡(luò)包括可通過(guò)耦合線圈實(shí)現(xiàn)的負(fù)電感，則變換后的梯形網(wǎng)絡(luò)中的負(fù)元件可以通過(guò)使用理想變壓器來(lái)實(shí)現(xiàn)，就像包括負(fù)電容的中間并聯(lián)低通梯形網(wǎng)絡(luò)一樣。

圖12 中間并聯(lián)低通梯形網(wǎng)絡(luò)電路結(jié)構(gòu)

通過(guò)在低通梯形網(wǎng)絡(luò)中用電容替換電感或反之，可以獲得中間串聯(lián)和中間并聯(lián)高通電路結(jié)構(gòu)。這些電路結(jié)構(gòu)可以通過(guò)定義為并使用由的函數(shù)表示的功率比來(lái)設(shè)計(jì)，這些函數(shù)與適用于低通電路結(jié)構(gòu)的函數(shù)相同。帶通電路結(jié)構(gòu)可以通過(guò)定義為來(lái)設(shè)計(jì)，前提是當(dāng)它們的插入損耗特性相對(duì)于繪制時(shí)，它們關(guān)于對(duì)稱(chēng)。然后，它們可以作為所有諧振在的串聯(lián)和并聯(lián)諧振電路的組合來(lái)實(shí)現(xiàn)。帶阻電路結(jié)構(gòu)的情況與此完全類(lèi)似，其為。

通常遇到的其他梯形電路結(jié)構(gòu)只有圖13所示的更一般的帶通類(lèi)型及其逆類(lèi)型。所示的串聯(lián)類(lèi)型通常可以設(shè)計(jì)為一個(gè)等效的更簡(jiǎn)單的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，如圖14所示。它可以通過(guò)圖15A所示的所謂的阻抗變換從等效網(wǎng)絡(luò)中確定。等效網(wǎng)絡(luò)本身的形式是這樣的，表I的公式可以直接應(yīng)用于其設(shè)計(jì)。例如，在遠(yuǎn)離變壓器的端子處測(cè)量的短路驅(qū)動(dòng)點(diǎn)阻抗是由一個(gè)與確定中間串聯(lián)低通梯形網(wǎng)絡(luò)的開(kāi)路阻抗完全相同的電路結(jié)構(gòu)確定的，該梯形的遠(yuǎn)端端子并聯(lián)分支由一個(gè)簡(jiǎn)單的電容組成。表I的公式?jīng)]有涵蓋的唯一操作是變壓器阻抗比的確定，它由開(kāi)路和短路驅(qū)動(dòng)點(diǎn)阻抗在零頻率時(shí)的行為來(lái)確定。

圖13 一般的中間串聯(lián)帶通梯形網(wǎng)絡(luò)電路結(jié)構(gòu)

圖14 圖13網(wǎng)絡(luò)的等效電路

圖15 表示阻抗變換原理的網(wǎng)絡(luò)等效電路

圖13的逆電路結(jié)構(gòu)由并聯(lián)諧振電路代替串聯(lián)諧振電路組成，其設(shè)計(jì)方法完全相同，借助圖15B所示的等效關(guān)系進(jìn)行設(shè)計(jì)。

正元件的充分條件

從實(shí)際構(gòu)造的角度來(lái)看，在實(shí)現(xiàn)物理梯形網(wǎng)絡(luò)中的負(fù)元件時(shí)有時(shí)需要完全耦合的電感和理想變壓器，這是非常不理想的。下面陳述的兩個(gè)條件足以確保中間串聯(lián)低通梯形網(wǎng)絡(luò)中的所有元件都是正的，使得在梯形網(wǎng)絡(luò)本身或與梯形網(wǎng)絡(luò)通過(guò)頻率變換或反演關(guān)系（如式（37））相關(guān)聯(lián)的其他網(wǎng)絡(luò)中，不需要使用耦合線圈或理想變壓器。雖然這些條件不是必需的，但它們?cè)谧C明濾波器設(shè)計(jì)中遇到的大多數(shù)梯形網(wǎng)絡(luò)都期望在不使用耦合的情況下實(shí)現(xiàn)時(shí)非常有用。

假設(shè)一個(gè)中間串聯(lián)低通電路結(jié)構(gòu)和適當(dāng)一般形式的阻抗，第一個(gè)條件要求所有無(wú)窮損耗的頻率都是實(shí)數(shù)（或無(wú)窮大），并且大于至少一個(gè)開(kāi)路驅(qū)動(dòng)點(diǎn)阻抗的所有有限極點(diǎn)。第二個(gè)條件要求與最接近終端的并聯(lián)分支的諧振相對(duì)應(yīng)的特定無(wú)窮損耗頻率也等于或大于相應(yīng)開(kāi)路阻抗的所有根。通過(guò)檢查表I的公式并回顧所有的和都是正的，很容易建立這些條件的充分性。

一個(gè)有趣的特殊情況是所有的無(wú)窮損耗頻率都出現(xiàn)在無(wú)窮遠(yuǎn)處。可以看出，上述條件在這個(gè)特殊情況下總是滿足的。因此，所有形如式（35）且所有的都為零的功率比都可以用與定-k低通鏡像參數(shù)濾波器相同電路結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)來(lái)實(shí)現(xiàn)，前提是滿足一般物理要求，即它在所有實(shí)頻率下必須不小于。對(duì)于所有的都為零的功率比（36），情況也是如此，相應(yīng)的定-k電路結(jié)構(gòu)僅包括奇數(shù)個(gè)“半段”。這兩個(gè)特殊的功率比包括中的所有偶次多項(xiàng)式，它們具有單位常數(shù)項(xiàng)，并且滿足實(shí)頻率下的物理極限。

對(duì)稱(chēng)和逆阻抗梯形網(wǎng)絡(luò)

用作濾波器的梯形網(wǎng)絡(luò)通常具有滿足兩個(gè)特殊條件之一的阻抗和終端。一種條件要求電對(duì)稱(chēng)網(wǎng)絡(luò)和相等的終端。另一個(gè)要求每個(gè)開(kāi)路阻抗相對(duì)于終端的平均值等于網(wǎng)絡(luò)另一端短路阻抗的倒數(shù)。

如果要滿足對(duì)稱(chēng)性或逆阻抗的要求，在第一部分中，與插入損耗相關(guān)的阻抗公式（18）中的多項(xiàng)式或必須恒等于零。對(duì)和與插入功率比的關(guān)系的檢查表明，它們的抵消需要以下形式的表達(dá)式：

在對(duì)稱(chēng)網(wǎng)絡(luò)和相等終端的情況下，以及

在逆阻抗網(wǎng)絡(luò)的情況下。

功率比的（38）和（39）形式的指標(biāo)簡(jiǎn)化了設(shè)計(jì)方法，因?yàn)樵诖_定和時(shí)不需要提取根，唯一的根提取涉及找到多項(xiàng)式和。很容易證明，這些功率比物理實(shí)現(xiàn)所需的條件允許和是的任何具有實(shí)系數(shù)的偶次多項(xiàng)式。換句話說(shuō)，對(duì)于一般形式的每個(gè)功率比

至少有一個(gè)對(duì)應(yīng)的對(duì)稱(chēng)或逆阻抗網(wǎng)絡(luò)，其中是的任何具有實(shí)系數(shù)的奇或偶有理函數(shù)，而代表，并且當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，它必須為1。

當(dāng)?shù)乃袠O點(diǎn)都是實(shí)數(shù)或虛數(shù)且有限時(shí)，導(dǎo)致對(duì)稱(chēng)網(wǎng)絡(luò)的功率比（38）可以用適用于圖9所示的正常電路結(jié)構(gòu)中的中間串聯(lián)低通梯形的形式（35）來(lái)表示。當(dāng)遵守相同的條件，除了一個(gè)在無(wú)窮遠(yuǎn)處的項(xiàng)的單極點(diǎn)，并且當(dāng)還選擇和使得在零頻率時(shí)為零時(shí)，導(dǎo)致逆阻抗網(wǎng)絡(luò)的功率比（39）可以用適用于圖11所示的在一端以并聯(lián)電容終端的中間串聯(lián)低通梯形的形式（36）來(lái)表示。對(duì)于非中間串聯(lián)低通電路結(jié)構(gòu)的梯形網(wǎng)絡(luò)，存在完全相似的關(guān)系。

圖16 平衡格型電路網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

格型網(wǎng)絡(luò)與對(duì)稱(chēng)梯形網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計(jì)

眾所周知，對(duì)于每一個(gè)電氣上對(duì)稱(chēng)的實(shí)際網(wǎng)絡(luò)，都存在一個(gè)如圖16所示的等效格型網(wǎng)絡(luò)。當(dāng)開(kāi)路和短路阻抗已知時(shí)，可以通過(guò)公知的公式非常容易地計(jì)算出阻抗臂。然而，當(dāng)需要設(shè)計(jì)一個(gè)LC格型網(wǎng)絡(luò)以產(chǎn)生形式為(38)規(guī)定的功率比時(shí)，通過(guò)下面描述的公式確定阻抗支路比先計(jì)算開(kāi)路和短路阻抗，然后再計(jì)算阻抗臂的方式更簡(jiǎn)單。

當(dāng)功率比以形式(38)給定時(shí)，值顯然可以表示為的兩個(gè)多項(xiàng)式的乘積：

表II 中間串聯(lián)梯形低通網(wǎng)絡(luò)與格型網(wǎng)絡(luò)等效

一級(jí)?

兩級(jí)?

三級(jí)?

其中都是偶次多項(xiàng)式，使得的所有根都是的具有負(fù)實(shí)部的根。結(jié)果表明，產(chǎn)生規(guī)定功率比的一個(gè)格型網(wǎng)絡(luò)的阻抗臂和與等的關(guān)系由以下公式給出：

其中表示相等的終端電阻。獲得與規(guī)定的功率比對(duì)應(yīng)的其他三個(gè)LC格型網(wǎng)絡(luò)，可以通過(guò)交換這些阻抗并用它們相對(duì)于的倒數(shù)來(lái)替換它們來(lái)實(shí)現(xiàn)。

在設(shè)計(jì)具有規(guī)定插入損耗的對(duì)稱(chēng)梯形電路時(shí)，通常從等效格型網(wǎng)絡(luò)確定元件值比從開(kāi)路和短路阻抗確定元件值更容易。例如，在設(shè)計(jì)一個(gè)、兩個(gè)或三個(gè)并聯(lián)支路的中間串聯(lián)低通梯形電路或相關(guān)網(wǎng)絡(luò)時(shí)，可以使用表II中列出的特殊設(shè)計(jì)公式。這些公式的推導(dǎo)方式與表I中的一般公式非常相似，通過(guò)使用開(kāi)路阻抗來(lái)制定（30）中行列式的部分分式展開(kāi)，并注意對(duì)稱(chēng)所需的常數(shù)之間的關(guān)系。常數(shù)之間的關(guān)系是由于開(kāi)路阻抗與兩個(gè)阻抗臂之和成正比，這要求相應(yīng)部分分式的和在插損無(wú)限大的頻率下相等。即使不使用其他特殊關(guān)系，將開(kāi)路阻抗作為兩個(gè)函數(shù)之和的初始確定也簡(jiǎn)化了使用表I所需的部分分式展開(kāi)的計(jì)算。

腳注

[30]. 部分并不一定意味著具有鏡像參數(shù)理論的屬性的濾波器部分，而僅僅是當(dāng)四端口網(wǎng)絡(luò)串聯(lián)連接時(shí)的組合的組成部分。
[31]. 互感的要求大大增加了構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)的難度。如果需要線圈之間的理想耦合，它只能是近似的。如果要求低于理想耦合，則很難同時(shí)調(diào)整自感和互感。
[32]. 通過(guò)根據(jù)逆網(wǎng)絡(luò)和頻率變換的原理對(duì)C型和D型部分進(jìn)行適當(dāng)修改，可以獲得由類(lèi)似串聯(lián)部分組成的其他規(guī)范網(wǎng)絡(luò)。然而，在這里考慮上述串聯(lián)組合的特殊類(lèi)型就足夠了。
[33]. 根據(jù)LC四端口的行列式及其各種余子式，輸入阻抗為。除非在特殊情況下，相同因子的抵消導(dǎo)致阻抗函數(shù)的次數(shù)降低，這需要和與和成正比，其中和是阻抗函數(shù)的最簡(jiǎn)單有理分?jǐn)?shù)表達(dá)式的分子和分母。行列式的必要偶性和奇性只允許對(duì)開(kāi)路和短路阻抗有兩個(gè)相應(yīng)的解。事實(shí)證明，從一個(gè)解過(guò)渡到另一個(gè)解會(huì)改變的符號(hào)，因此只有一個(gè)解是物理的。
[34]. 函數(shù)的電阻部分定義為偶數(shù)部分，僅表示實(shí)頻時(shí)的實(shí)部。
[35]. 更詳細(xì)的設(shè)計(jì)方法將在后面進(jìn)行說(shuō)明。
[36]. 根據(jù)LC網(wǎng)絡(luò)的行列式? 及其各種余子式，輸入阻抗的電阻部分表示為。顯然，分母的單根只有在具有特殊值時(shí)才能與分子的任何雙根重合。
[37]. 由于阻抗函數(shù)通常必須小于電路結(jié)構(gòu)的常規(guī)次數(shù)，因此通常存在等效的2極，代表更有效地使用元件。盡管存在這種實(shí)際缺點(diǎn)，但了解這種特殊2極的規(guī)范性質(zhì)對(duì)于一般網(wǎng)絡(luò)理論問(wèn)題是有用的。
[38]. 具體來(lái)說(shuō)，損耗可以借助第一部分的（16）進(jìn)行計(jì)算。
[39]. 在設(shè)計(jì)的每個(gè)階段減少終止阻抗次數(shù)的精確方式是導(dǎo)致原始輸入阻抗為正常次數(shù)的最終電路結(jié)構(gòu)的原因。
[40]. 從輸入阻抗計(jì)算終止阻抗可以消除阻抗部分的一對(duì)相同根，從而降低阻抗函數(shù)的次數(shù)，并且可以將一對(duì)或多對(duì)相同的實(shí)根轉(zhuǎn)換為阻抗函數(shù)的根或極，或者反之亦然。否則，阻力部分的根保持不變。
[41]. 如前所述，第一部分的理論可用于證明任何正實(shí)函數(shù)都可以實(shí)現(xiàn)為電阻終止LC四端口的輸入阻抗。
[42]. 網(wǎng)絡(luò)的無(wú)限損耗頻率是指通過(guò)一般有限電阻終端獲得的無(wú)限損耗頻率，不包括將插入電壓比的一般表達(dá)式的根和極重合的任何特定終端。每個(gè)無(wú)限損耗頻率都包含在以下一組或多組臨界頻率中：開(kāi)路傳輸阻抗的根，短路傳輸阻抗的極，網(wǎng)絡(luò)同一端的開(kāi)路和短路驅(qū)動(dòng)點(diǎn)阻抗的重合根或極，以及通過(guò)電阻終端獲得的輸入阻抗的電阻部分的零點(diǎn)。
[43]. 在許多情況下，可以消除負(fù)電感而無(wú)需引入耦合，但是這樣做的條件并不簡(jiǎn)單。
[44]. 這種類(lèi)型的梯形顯然等效于通常與由一個(gè)或多個(gè)由簡(jiǎn)單串聯(lián)電感組成的A型部分結(jié)合使用的C型部分。
[45]. 諾頓（Norton）引入了這些關(guān)系作為他的設(shè)計(jì)方程的基礎(chǔ)。
[46]. 在當(dāng)前的假設(shè)下，無(wú)限損耗的有限頻率是開(kāi)路傳輸阻抗的根，也是相應(yīng)短路阻抗的有限極。
[47]. 這似乎與眾所周知的事實(shí)相反，即需要三個(gè)阻抗才能確定一個(gè)四端口網(wǎng)絡(luò)。這里提供的其他數(shù)據(jù)是通過(guò)假設(shè)適用于受特殊限制的特定電路結(jié)構(gòu)的阻抗來(lái)提供的?；叵胍幌拢司W(wǎng)絡(luò)遠(yuǎn)端的兩端并聯(lián)支路外，還可以根據(jù)一個(gè)短路驅(qū)動(dòng)點(diǎn)阻抗和短路傳輸阻抗來(lái)設(shè)計(jì)考爾（Cauer）的并聯(lián)或?qū)Ъ{型規(guī)范LC四端口。對(duì)于正在考慮的特定電路，在等效并聯(lián)類(lèi)型規(guī)范網(wǎng)絡(luò)中不存在終端并聯(lián)支路，而可以從短路驅(qū)動(dòng)點(diǎn)阻抗和無(wú)限損耗頻率中找到短路傳輸阻抗。
[48]. 盡管變量在第一部分的一般理論中更方便，但事實(shí)證明在本文考慮的梯形網(wǎng)絡(luò)理論中更方便。
[49]. 當(dāng)稍后允許無(wú)限損耗點(diǎn)變?yōu)闊o(wú)限時(shí)，無(wú)限損耗點(diǎn)的值的倒數(shù)比其值本身更方便。
[50]. 例如，F(xiàn)ry（12）描述的各種梯形對(duì)應(yīng)于Stieltjes分?jǐn)?shù)。
[51].?的公式涉及。如（27）、（28）和（29）所定義，這些量看起來(lái)很奇怪，因?yàn)樗鼈冎皇且浑A行列式。然而，這些一階行列式僅代表。
[52]. 如果對(duì)應(yīng)于短路阻抗，可以假設(shè)在短路處連接了一個(gè)任意的并聯(lián)支路，因?yàn)樗粫?huì)影響。這允許被準(zhǔn)確地確定，就好像有一個(gè)完整的額外“部分”一樣。
[53]. 這個(gè)推導(dǎo)還沒(méi)有得到嚴(yán)格的證明，但已經(jīng)進(jìn)行得足夠遠(yuǎn)，可以指出公式轉(zhuǎn)換的方式。
[54]. 例如，參見(jiàn)Scott和Mathews（13）的論文中關(guān)于功能行列式的章節(jié)。
[55].?和類(lèi)型的高階行列式的類(lèi)似消失顯示了連分?jǐn)?shù)的有限性質(zhì)（25）。
[56]. 離散選擇常數(shù)意味著總是可以通過(guò)單個(gè)常數(shù)的微小變化來(lái)避免的選擇。當(dāng)然，假設(shè)滿足物理要求，即它必須是正的，并且在所有實(shí)際頻率下都不小于。
[57]. 如果允許修改中間串聯(lián)的低通梯形網(wǎng)絡(luò)，實(shí)際上所有解通常都是可實(shí)現(xiàn)的。例如，如果網(wǎng)絡(luò)的一端包含理想變壓器，則可以違反對(duì)或符號(hào)的要求。同樣，如果向梯形的一端添加并聯(lián)電容器，并且允許用完全耦合的線圈實(shí)現(xiàn)負(fù)串聯(lián)電感，則可以正常違反對(duì)符號(hào)的要求。
[58].?當(dāng)然也可能是負(fù)的，導(dǎo)致負(fù)元件，但這些都可以通過(guò)耦合線圈來(lái)實(shí)現(xiàn)。
[59]. 然而，與諧振并聯(lián)支路相鄰的終端串聯(lián)電感的消失通常不會(huì)以這種方式改變功率比表達(dá)式中分子的次數(shù)。
[60]. 當(dāng)然，在頻率變換中包含任意常數(shù)因子有時(shí)更方便。例如，在帶通濾波器的設(shè)計(jì)中，通常方便的是首先設(shè)計(jì)一個(gè)截止頻率為的低通濾波器。然后，通過(guò)用代替來(lái)獲得所需的帶通濾波器，代表

其中對(duì)應(yīng)于帶通濾波器的兩個(gè)截止頻率。
[61]. 除了一個(gè)或多個(gè)并聯(lián)支路是簡(jiǎn)單電感的限制情況外，這種類(lèi)型的等效總是存在的。通過(guò)用電容代替電感，反之亦然，總是可以得到類(lèi)似的等效電路結(jié)構(gòu)，除非一個(gè)或多個(gè)并聯(lián)支路是簡(jiǎn)單的電容器。當(dāng)遇到簡(jiǎn)單的電感和電容并聯(lián)支路時(shí)，必須使用特殊的設(shè)計(jì)方法。
[62]. Norton（14）發(fā)現(xiàn)了由圖15A和15B表示的阻抗變換原理。在確定圖13所示的網(wǎng)絡(luò)電路結(jié)構(gòu)與圖14所示的類(lèi)型之一時(shí)，串聯(lián)電容如何在不同的串聯(lián)支路之間分配存在相當(dāng)大的任意性。
[63]. 除非它們被修改以補(bǔ)償耗散效應(yīng)。
[64]. 如果在網(wǎng)絡(luò)描述中使用像阻抗和傳輸常數(shù)，則這些條件分別要求相等和反向的像阻抗。
[65]. 當(dāng)為奇數(shù)且不等于1時(shí)，開(kāi)路驅(qū)動(dòng)點(diǎn)阻抗的比值，與相應(yīng)短路阻抗的比值相同，將等于終端的比值。這允許使用對(duì)稱(chēng)網(wǎng)絡(luò)與理想變壓器的組合。在反向阻抗網(wǎng)絡(luò)的情況下允許不等終端是方便的，而在對(duì)稱(chēng)或比例阻抗的情況下則不方便，因?yàn)樵诜聪蜃杩沟那闆r下，如果要避免理想變壓器，通常需要不等終端。
[66]. Campbell（15）指出了這一點(diǎn)。
[67]. 就形式（38）的功率比而言，多項(xiàng)式和有些任意。然而，結(jié)果表明，盡管存在這種任意性，但只有四個(gè)相應(yīng)的格型網(wǎng)絡(luò)。

參考文獻(xiàn)

1). Pupin, M. I.: "Wave Propagation over Non-Uniform Cables and Long Distance Air-Lines," Trans. A. I. E. E., 17, 445-507 (1900).
2). Campbell, G. A.: "On Loaded Lines in Telephonic Transmission," Phil. Mag., 5, 313-330 (1903).
3). Zobel, O. J.: "Theory and Design of Uniform and Composite Electric Wave Filters," Bell System Tech. Journal, 2, 1-46 (1923), and "Transmission Characteristics of Electric Wave Filters," Bell System Tech. Journal, 3, 567-620 (1924). ?
4). Bode, H. W.: "A General Theory of Electric Wave Filters," Journal of Math. and Physics, 13, 275-362 (1934).
5). Cauer, W.: "Ein Reaktanztheorem," Preuss. Akad. d. Wissenschaften, Phys.Math. Kl., Sitzber., Nos. 30-32, 673-681 (1931).
6). Gewertz, C. M.: "Synthesis of a Finite Four-Terminal Network from its Prescribed Driving-Point Functions and Transfer Function," Journal of Math. and Physics, 12, 1-257 (1933).
7). Norton, E. L.: "Constant Resistance Networks with Applications to Filter Groups," Bell System Tech. Journal, 16, 178-193 (April, 1937).
8). Brune, O.: "Synthesis of a Finite Two-Terminal Network Whose DrivingPoint Impedance is a Prescribed Function of Frequency," Journal of Math. and Physics., 10, 191-235 (1931).
9). Dietzold, R. L.: "A Mechanical Root Finder," Bell Labs. Record, 16, Dec., 1937.
10). Mayer, H. F.: "Ueber die Daempfung von Siebketten in Durchlaissigkeitsbereich," E. N. T., 2, 335-338 (1925).
11). Bode, H. W. and Dietzold, R. L.: "Ideal Wave Filters," Bell System Tech. Journal, 14, 215-252 (1935).
12). Fry, T. C.: "The Use of Continued Fractions in the Design of Electrical Networks," Am. Math. Soc., Bull., 35, 463-498 (1929).
13). Scott, R. F. and Mathews, G. B.: "The Theory of Determinants," Second Edition, 1904.
14). Norton, E. L.: U. S. Patent No. 1681554.
15). Campbell, G. A.: "Physical Theory of the Electric Wave-Filter," Bell System Tech. Journal, 1, 1-32 (1922).
16). Cauer, W.: "Ein Interpolationsproblem mit Funktionen mit Positiven Realteil," Mathematische Zeitschrift, 38, 1-44 (1933).
17). Shea, T. E.: "Transmission Networks and Wave Filters," D. Van Nostrand Co., New York, 1929 -p. 253, Fig. 138.
18). Guillemin, E. A.: "Communication Networks," John Wiley and Sons, New York, N. Y., 1935-Vol. II.
19). Cayley, A.: "An Elementary Treatise on Elliptic Functions," second edition, G. Bell and Sons, London, 1895.
20). Jacobi, C. G. J.: "Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum," K?nigsberg, 1829.
21). Silberstein, L.: "Synopsis of Applicable Mathematics," G. Bell and Sons, London, 1923-Section on Elliptic Functions, pp. 152-170.
22). Bode, H. W.: U. S. Patents Nos. 1955788, 2002216, 2029014.

審核編輯：黃飛

?