零極點(diǎn)的理解是模擬電路最關(guān)鍵的基礎(chǔ)之一，信號(hào)與系統(tǒng)都會(huì)講自然響應(yīng)，自然響應(yīng)就是偏微分方程的通解部分，而受迫響應(yīng)則是偏微分方程的特解。本文將詳解零極點(diǎn)與頻率響應(yīng)之間的關(guān)系。
我們從頻率域來(lái)分析零極點(diǎn)的影響。從頻率域上，零點(diǎn)和極點(diǎn)會(huì)決定系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。我們令系統(tǒng)傳輸函數(shù)H（s）中s（=σ+jω） 的實(shí)部σ=0而虛部ω仍然是變量，就得到了頻率響應(yīng)函數(shù)H（jω）。頻率響應(yīng)函數(shù)代表系統(tǒng)在恒包絡(luò)正弦小信號(hào)輸入時(shí)，輸出正弦信號(hào)相對(duì)輸入正弦信號(hào)的幅度和相位變化。頻率響應(yīng)函數(shù)可以表示為：
頻率響應(yīng)H（jω）是復(fù)數(shù)。其幅度|H（jω）|代表當(dāng)正弦信號(hào)頻率為ω時(shí)，輸出正弦信號(hào)幅度相對(duì)輸入正弦信號(hào)幅度的比值（即系統(tǒng)的增益），而其相位∠H（jω）則代表輸出正弦信號(hào)相對(duì)輸入正弦信號(hào)的相位變化。根據(jù)高中數(shù)學(xué)，頻率響應(yīng)的幅度和相位可以表示為各個(gè)零點(diǎn)/極點(diǎn)的貢獻(xiàn)：
它有一個(gè)極點(diǎn)（實(shí)部σ=-1，虛部ω=0，其模為1）和一個(gè)零點(diǎn)（實(shí)部σ=100，虛部ω=0，其模為100）。由于極點(diǎn)的實(shí)部小于0，該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。當(dāng)ω=0的時(shí)候［即DC（直流）響應(yīng)］，分母的模為1，相位為0，分子的模為100，相位為π，因此頻率響應(yīng)的幅度為100，相位為π。我們接下來(lái)增加一點(diǎn)點(diǎn)ω，讓它等于0.001。這個(gè)時(shí)候ω遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于極點(diǎn)的模，因此頻率響應(yīng)分母的值和DC時(shí)沒(méi)有顯著區(qū)別（1+j0.001≈1）。ω也遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于零點(diǎn)的模，因此頻率響應(yīng)分子的值也和DC時(shí)基本相同。所以當(dāng)ω的值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于某個(gè)極點(diǎn)/零點(diǎn)的模的時(shí)候，該極點(diǎn)/零點(diǎn)的效應(yīng)可以忽略不計(jì)。這也是在實(shí)際電路設(shè)計(jì)中很多頻率遠(yuǎn)高于電路工作頻率的極點(diǎn)/零點(diǎn)在分析的時(shí)候可以忽略的原因。當(dāng)ω增加至1時(shí)，分母變?yōu)椋╦1+1），此時(shí)分母的幅度由DC時(shí)的1變?yōu)椤?，相位則由0變?yōu)棣?4。由于ω仍然遠(yuǎn)小于零點(diǎn)（1《《100），分子較DC相比仍然沒(méi)有變化。頻率ω=1時(shí)對(duì)極點(diǎn)是一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)：隨著ω繼續(xù)增長(zhǎng)，該極點(diǎn)的效應(yīng)漸漸變得顯著。當(dāng)ω=10的時(shí)候，ω已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于極點(diǎn)的模，因此頻率響應(yīng)的分母可以近似為jω，相位為π/2。此后隨著ω繼續(xù)增長(zhǎng)，分母的模隨之變大，因此在零點(diǎn)發(fā)揮作用前，頻率響應(yīng)的幅度會(huì)隨著頻率增大以20dB/dec的速度減小。另一方面，當(dāng)ω增大到遠(yuǎn)大于零點(diǎn)的模（》》100）時(shí)，頻率響應(yīng)的分子可以近似為jω，因此分子的相位為π/2，且分子的模隨著頻率增長(zhǎng)以20dB/dec的速度增長(zhǎng)。此時(shí)分子和分母的模都以20dB/dec增長(zhǎng)，因此互相抵消，頻率響應(yīng)的幅度不再變化，而相位則由DC時(shí)的π變?yōu)?。
H（jω）的幅度和相位
零點(diǎn)和極點(diǎn)對(duì)頻率響應(yīng)的效果也可以由s平面零極點(diǎn)圖解釋。上面例子的零極點(diǎn)圖如下：
開(kāi)始ω1=0 （即DC響應(yīng)），極點(diǎn)向量的相位為0。之后隨著ω增加，極點(diǎn)向量的長(zhǎng)度逐漸增長(zhǎng)，相位貢獻(xiàn)θ也逐漸變大。當(dāng)ω等于極點(diǎn)的模的時(shí)候（ω2），根據(jù)初中數(shù)學(xué)極點(diǎn)向量的長(zhǎng)度變?yōu)镈C時(shí)的√2倍，而相位角θ為π/4。之后隨著ω繼續(xù)增長(zhǎng)到遠(yuǎn)大于極點(diǎn)的模的時(shí)候，極點(diǎn)向量漸漸變得和ω軸平行，此時(shí)極點(diǎn)向量的長(zhǎng)度近似等于ω，而相位角θ也漸漸逼近π/2。對(duì)于零點(diǎn)也可以做類(lèi)似的分析。這樣圖解分析與之前分析的結(jié)果相同，但是更直觀。