零點(diǎn)和極點(diǎn)對(duì)頻率響應(yīng)的影響可以總結(jié)為:
*當(dāng)頻率遠(yuǎn)小于某零點(diǎn)/極點(diǎn)的模時(shí),該零點(diǎn)/極點(diǎn)對(duì)頻率響應(yīng)的影響可以忽略。
*當(dāng)頻率接近某極點(diǎn)的模時(shí),該極點(diǎn)的效果漸漸體現(xiàn)。當(dāng)頻率遠(yuǎn)大于該極點(diǎn)時(shí),該極點(diǎn)使得頻率響應(yīng)的幅度以20dB/dec的速度衰減,而相位相對(duì)DC產(chǎn)生-π/2的變化。
*共軛極點(diǎn)是一種特殊的極點(diǎn),它們總是成對(duì)出現(xiàn)且共軛極點(diǎn)對(duì)的模都相等,因此當(dāng)頻率遠(yuǎn)大于一對(duì)共軛極點(diǎn)的模的時(shí)候,該共軛極點(diǎn)對(duì)會(huì)使頻率響應(yīng)的幅度以40dB/dec的速度衰減,而相位相對(duì)DC產(chǎn)生-π的變化。而在頻率接近共軛極點(diǎn)對(duì)的模的時(shí)候,頻率響應(yīng)曲線的變化取決于共軛極點(diǎn)對(duì)的位置(詳見下文)。
*當(dāng)頻率接近某零點(diǎn)的模時(shí),該零點(diǎn)的效果漸漸體現(xiàn)。當(dāng)頻率遠(yuǎn)大于該零點(diǎn)時(shí),該零點(diǎn)使得頻率響應(yīng)的幅度以20dB/dec的速度增加。而相位相對(duì)DC產(chǎn)生π/2(當(dāng)零點(diǎn)在左半平面)或-π/2(當(dāng)零點(diǎn)在右半平面)的變化。
*頻率響應(yīng)的總體幅度/相位取決于所有零點(diǎn)和極點(diǎn)對(duì)幅度/相位的貢獻(xiàn)。
共軛極點(diǎn)對(duì)
共軛極點(diǎn)對(duì)是一類特殊的極點(diǎn)。一對(duì)共軛極點(diǎn)(s-p)(s-p*)可以寫作
其中ω0為共軛極點(diǎn)的諧振頻率,Q稱作共軛極點(diǎn)的品質(zhì)因數(shù)。
共軛極點(diǎn)對(duì)模型最初來源于LC諧振電路,如下圖中的RLC串聯(lián)電路。
其中共軛極點(diǎn)的諧振頻率ω0=1/√LC即LC tank的諧振頻率,品質(zhì)因數(shù)Q=(1/R)?√(L/C)即為LC tank的品質(zhì)因數(shù),表示在諧振頻率附近每周期LC tank存儲(chǔ)的能量與耗散能量的比值。共軛極點(diǎn)可以由LC tank形成,也可由反饋通路形成。
共軛極點(diǎn)對(duì)的Q值由共軛極點(diǎn)的位置決定。當(dāng)共軛極點(diǎn)的諧振頻率固定而改變品質(zhì)因數(shù)(即固定L和C而改變R)時(shí),共軛極點(diǎn)對(duì)的軌跡在以原點(diǎn)為圓心,半徑為ω0的圓上。當(dāng)共軛極點(diǎn)對(duì)靠近縱軸時(shí),品質(zhì)因數(shù)變大;而當(dāng)共軛極點(diǎn)對(duì)靠近橫軸時(shí),品質(zhì)因數(shù)變小。共軛極點(diǎn)對(duì)的品質(zhì)因數(shù)必須大于等于1/2,當(dāng)Q小于1/2時(shí)共軛極點(diǎn)對(duì)退化為兩個(gè)實(shí)極點(diǎn)。
對(duì)于傳輸函數(shù)具有共軛極點(diǎn)對(duì)的系統(tǒng),系統(tǒng)的自然響應(yīng)中含有包絡(luò)指數(shù)衰減的正弦波。有時(shí)候在放大器的瞬時(shí)響應(yīng)中會(huì)看到衰減震蕩的現(xiàn)象,這種現(xiàn)象就是由共軛極點(diǎn)造成的。
正弦波的頻率接近諧振頻率ω0,而包絡(luò)的衰減速度取決于Q。Q值約等于包絡(luò)衰減到初始值的1/e時(shí)所需要的諧振周期。Q值大時(shí)包絡(luò)衰減較慢,反之Q值小時(shí)包絡(luò)衰減較快。在放大器設(shè)計(jì)中我們往往希望看到settling time比較小的瞬時(shí)響應(yīng),因此應(yīng)該避免高Q值得共軛極點(diǎn)對(duì)。
共軛極點(diǎn)對(duì)另一個(gè)重要性質(zhì)是它會(huì)引起頻率響應(yīng)的尖峰(peaking)。這一點(diǎn)可以從零極點(diǎn)圖來理解。
在零極點(diǎn)圖上,有共軛極點(diǎn)p1和p1*,位置在σ±jω0。當(dāng)頻率從ω1(略小于ω0)移動(dòng)到ω2(等于ω0)時(shí),連接到極點(diǎn)p1*的極點(diǎn)向量長度基本不變,但連接到極點(diǎn)p1的極點(diǎn)長度顯著變短了。因此頻率響應(yīng)在諧振頻率(ω=ω0)處會(huì)產(chǎn)生一個(gè)尖峰,尖峰的高度隨Q值變大而變大。極端情況是Q值無窮大時(shí),此時(shí)p1和p1*都在ω軸上,因此當(dāng)ω=ω0時(shí),連接p1和ω的極點(diǎn)向量長度為0,這樣頻率響應(yīng)的幅度變?yōu)闊o窮大,所以就產(chǎn)生了高度無窮大的尖峰。在設(shè)計(jì)需要較小settling time的放大器時(shí)我們希望避免明顯的頻率響應(yīng)尖峰(頻率響應(yīng)尖峰明顯=》共軛極點(diǎn)對(duì)Q值大=》瞬時(shí)響應(yīng)中衰減震蕩持續(xù)時(shí)間較長=》settling time較長);但另一方面在設(shè)計(jì)寬帶放大器(例如在CML電路中)時(shí)我們往往會(huì)故意引入頻率響應(yīng)尖峰以增加帶寬。