有限元網(wǎng)格剖分原理的詳細介紹

一、引言

有限元法是求解復雜工程問題的一種近似數(shù)值解法，現(xiàn)已廣泛應用到力學、熱學、電磁學等各個學科，主要分析工作環(huán)境下物體的線性和非線性靜動態(tài)特性等性能。

有限元法求解問題的基本過程主要包括：分析對象的離散化，有限元求解和計算結(jié)果的處理三部分。

曾經(jīng)有人做過統(tǒng)計：三個階段所用的時間分別占總時間的40%~50%、5%及50%~55%。也就是說，當利用有限元分析對象時，主要時間是用于對象的離散及結(jié)果的處理。如果采用人工方法離散對象和處理計算結(jié)果，勢必費力、費時且極易出錯，尤其當分析模型復雜時，采用人工方法甚至很難進行，這將嚴重影響高級有限元分析程序的推廣和使用。因此，開展自動離散對象及結(jié)果的計算機可視化顯示的研究是一項重要而緊迫的任務(wù)。

可喜的是，隨著計算機及計算技術(shù)的飛速發(fā)展，出現(xiàn)了開發(fā)對象的自動離散及有限元分析結(jié)果的計算機可視化顯示的熱潮，使有限元分析的“瓶頸”現(xiàn)象得以逐步解決，對象的離散從手工到半自動到全自動，從簡單對象的單維單一網(wǎng)格到復雜對象的多維多種網(wǎng)格單元，從單材料到多種材料，從單純的離散到自適應離散，從對象的性能校核到自動自適應動態(tài)設(shè)計、分析，這些重大發(fā)展使有限元分析擺脫了僅為性能校核工具的原始階段，計算結(jié)果的計算機可視化顯示從簡單的應力、位移和溫度等場的靜動態(tài)顯示、彩色調(diào)色顯示，一躍成為對受載對象可能出現(xiàn)缺陷（裂紋等）的位置、形狀、大小及其可能波及區(qū)域的顯示等，這種從抽象數(shù)據(jù)到計算機形象化顯示的飛躍是現(xiàn)在甚至將來計算機集成設(shè)計、分析的重要組成部分。

二、有限元分析對網(wǎng)格剖分的要求

有限元網(wǎng)格生成就是將工作環(huán)境下的物體離散成簡單單元的過程，常用的簡單單元包括：一維桿元及集中質(zhì)量元、二維三角形、四邊形元和三維四面體元、五面體元和六面體元。他們的邊界形狀主要有直線型、曲線型和曲面型。對于邊界為曲線（面）型的單元，有限元分析要求各邊或面上有若干點，這樣，既可保證單元的形狀，又可提高求解精度、準確性及加快收斂速度。不同維數(shù)的同一物體可以剖分為由多種單元混合而成的網(wǎng)格。網(wǎng)格剖分應滿足以下要求：

合法性。一個單元的結(jié)點不能落入其他單元內(nèi)部，在單元邊界上的結(jié)點均應作為單元的結(jié)點，不可丟棄。

相容性。單元必須落在待分區(qū)域內(nèi)部，不能落入外部，且單元并集等于待分區(qū)域。

逼近精確性。待分區(qū)域的頂點（包括特殊點）必須是單元的結(jié)點，待分區(qū)域的邊界（包括特殊邊及面）被單元邊界所逼近。

良好的單元形狀。單元最佳形狀是正多邊形或正多面體。

良好的剖分過渡性。單元之間過渡應相對平穩(wěn)，否則，將影響計算結(jié)果的準確性甚至使有限元計算無法計算下去。

三、現(xiàn)有有限元網(wǎng)格剖分方法

K. Ho-Le 對網(wǎng)格生成算法進行了系統(tǒng)分類，該分類方法可沿用至今，它們是拓撲分解法、結(jié)點連元法、網(wǎng)格模板法、映射法和幾何分解法五種。目前，主要是上述方法的混合使用及現(xiàn)代技術(shù)的綜合應用。

1. 映射法

映射法是一種半自動網(wǎng)格生成方法，根據(jù)映射函數(shù)的不同，主要可分為超限映射和等參映射。因前一種映射在幾何逼近精度上比后一種高，故被廣泛采用。

映射法的基本思想是：在簡單區(qū)域內(nèi)采用某種映射函數(shù)構(gòu)造簡單區(qū)域的邊界點和內(nèi)點，并按某種規(guī)則連接結(jié)點構(gòu)成網(wǎng)格單元。這種方法可以很方便地生成四邊形和六面體單元，若需要，也很容易轉(zhuǎn)換成三角形和四面體單元。

該法的主要缺點：首先必須將待分區(qū)域子劃分為所要求的簡單區(qū)域，這是一個十分復雜且很難實現(xiàn)自動化的過程。對復雜域采用手工方法劃分甚至不可能，通常各簡單區(qū)域邊界采用等份劃分。另外，該法在控制單元形狀及網(wǎng)格密度方面是困難的。鑒于簡單區(qū)域自動劃分的困難性，Blacker試圖采用知識系統(tǒng)和聯(lián)合體素方法解決，但在復雜多孔域上仍難以處理，主要是體素數(shù)量和形狀有限，將待分區(qū)域全自動劃分為有限的預定體素并集是很難完全實現(xiàn)的。

2. 拓撲分解法

在不考慮網(wǎng)格單元大小和形狀情況下，Wordenweber提出了使用三種算子連接多邊形各頂點形成粗三角形的二維拓撲分解法，然后細化粗單元至預定規(guī)定的網(wǎng)格密度為止。三種算子使用順序為：opj、opl、op0 。同時，Wordenweber也提出了在三維域使用opj（i=0，1，2，3） 和opp五種算子剖分實體。Woo、Thomasma和Saxena等擴充了該法，并將其有效地應用到多面體實體有限元自動網(wǎng)格生成中。Saxena稱該法為EE法，并已與RSD法混合使用構(gòu)成RSD/EE法。單一的拓撲分解法因只依賴于幾何體的拓撲結(jié)構(gòu)使網(wǎng)格剖分不理想，有時甚至很差。

3. 幾何分解法

凡在產(chǎn)生結(jié)點的同時也確定結(jié)點間連接關(guān)系的方法均稱為幾何分解法，常用的有兩種：遞歸法和迭代法。

遞歸法：Tracy、左建政和Chae等先離散二維物體邊界，然后沿離散邊界向物體內(nèi)挖掉一個、兩個或三個三角形，重復此操作直到區(qū)域挖空為止。Lindhom、Blacker和B.P. Johnston等使用的迭代法不同于前者，首先從物體中挖掉邊界層而不是單元，然后三角化邊界層。上述為二維迭代法，Chae在此基礎(chǔ)上發(fā)展了三維迭代幾何分解法，主要分兩步：采用二維迭代幾何分解法生成表面三角形，然后采用三種算子挖切凸體為四面體。在挖切時，突出的特點在于采用新方法生成關(guān)鍵點。關(guān)鍵點的生成分兩步考慮：一是考慮新點對周圍面和邊的影響，二是通過調(diào)整比例因子來確定新點位置。Chae也將所提出的算法成功地應用于自適應網(wǎng)格生成中，但由于被剖分物體形狀必須是單連通凸域，因此，不能實現(xiàn)全自動網(wǎng)格生成。

迭代法：Bykat采用該法。他首先將物體劃分為凸體（手工或自動），隨后根據(jù)網(wǎng)格密度分布，在每個凸體邊界上插入結(jié)點，然后將物體中間“最長軸”一分為二，在該軸上插入結(jié)點，繼續(xù)對兩部分做遞歸分割直到最后子域均為三角形為止。商業(yè)網(wǎng)格生成軟件Triquamesh仍采用該法，只是分割線的選取與Bykat不同。幾何分解法的最大優(yōu)點是在離散物體時考慮網(wǎng)格單元的形狀和大小，因此，所生成的網(wǎng)格單元形狀和分布均較好。最大缺點是自動化程度低，不利于復雜件網(wǎng)格生成。

4. 網(wǎng)格模板法（RSD法）

Shephard、Perucchio、Saxena、Sapidis和Yerry等，是這種方法成功運用的主要代表。網(wǎng)格模板法生成有限元網(wǎng)格主要分兩步（以介紹三維實體為主）：

第一，將待分實體用適當大小的立方體箱（樹根）完全包容，按“一化八”原則遞歸離散，然后對每個八分塊按如下方法進行分類：Procedure ModClassCell（Cell，S）=（‘IN’，‘OUT’，‘NIO’） If （八分塊中至少有一個頂點為‘OUT’且至少有一個頂點為‘IN’） then ‘NIO’ Else if （Cell （*S=（） then ‘OUT’ Else if （Cell （*S=Cell） the ‘IN’ Else ‘NIO’ End; {procedure} 對于IN的八分塊繼續(xù)遞歸離散直到預定水平級為止，OUT的八分塊不再劃分，NIO的八分塊進一步子劃分，且分類直到預定水平級為止。稱終了IN和NIO八分塊的并集為RSD模型。

第二，對已經(jīng)形成的RSD模型，目前已有多種生成網(wǎng)格的處理方法，主要有RSD/GDT法、RSD/EE法和RSD/DDT法。它們主要有以下特點：

RSD/EE法不能處理曲面實體、非流形體和不連通實體。與此相反，RSD/DDT法卻能處理有孔的任意曲面實體、非流形體和不連通實體，而且所形成四面體形狀質(zhì)量良好。

RSD/DDT法根據(jù)需要以滿足條件為準則插入新點，因此所插入的新點數(shù)量少，而RSD/GDT法則會插入許多冗余點。

RSD/GDT法使用點/實體分類，使時間復雜性至少大一個數(shù)量級，而RSD/DDT法不使用點/實體分類，因此，RSD/DDT法平均時間復雜性為O（N2），N為實體S的總表面數(shù)。RSD/EE法具有不確定的時間復雜性。

RSD/DDT法完全建立網(wǎng)格圖素拓撲一一對應，因此拓撲是健全的，與此相反，RSD/GDT法是拓撲不健全的。各種RSD法的優(yōu)點是網(wǎng)格生成完全自動，網(wǎng)格剖分速度快，非常適用于自適應網(wǎng)格生成。主要缺點是邊界單元形狀難于完全保證。另外，RSD法對物體的方向特別敏感。

5. 結(jié)點連元法

結(jié)點連元法是先生成結(jié)點，然后連接結(jié)點構(gòu)成單元。最常用的是DT法和AFM法。

DT法的基本原理：任意給定N個平面點Pi（i=1，2，…，N） 構(gòu)成的點集為S，稱滿足下列條件的點集Vi 為Voronoi多邊形。其中，Vi 滿足下列條件：Vi={ X：|X- Pi|（|X- Pj|，X（R2，i（j，j=1，2，…，N }Vi為凸多邊形，稱{Vi}mi=1為Dirichlet Tesselation 圖或?qū)ε嫉腣oronoi 圖。連接相鄰Voronoi 多邊形的內(nèi)核點可構(gòu)成三角形Tk，稱集合{Tk} 為Delaunay 三角剖分。DT法的最大優(yōu)點是遵循“最小角最大”和“空球”準則。因此，在各種二維三角剖分中，只有Delaunay三角剖分才同時滿足全局和局部最優(yōu)?！白钚〗亲畲蟆睖蕜t是在不出現(xiàn)奇異性的情況下，Delaunay三角剖分最小角之和均大于任何非Delaunay剖分所形成三角形最小角之和?！翱涨颉睖蕜t是Delaunay三角剖分中任意三角形的外接圓（四面體為外接球）內(nèi)不包括其他結(jié)點。實現(xiàn)Delaunay三角剖分有多鐘方法，Lee和Schachter操作很有效，但很難實現(xiàn)；而Watson、Cline和Renka、Sloan因操作容易、時間效率較好等優(yōu)點而被廣泛采用。為了進一步提高效率，Sloan研究其算法操作，提出了時間復雜性為O（N）（N為結(jié)點總數(shù)）的操作方法，從而為快速Delaunay 三角剖分提供了有效途徑。雖然DT法既適用于二維域也適用于三維域，但直接的Delaunay 三角剖分只適用于凸域，不適用于非凸域，因此發(fā)展了多種非凸域的Delaunay剖分。

AFM法的基本原理：設(shè)區(qū)域的有向離散外邊界集和邊界前沿點集已經(jīng)確定，按某種條件沿區(qū)域邊界向區(qū)域內(nèi)部扣除三角形（四面體）直到區(qū)域為空集。

AFM法的關(guān)鍵技術(shù)有兩個：一是區(qū)域的邊界離散和和內(nèi)點的合理生成，二是扣除三角形條件。目前，扣除三角形的條件有多種。

最短距離條件。選取到該區(qū)域邊界前沿垂直距離最短的點或到邊界前沿端點距離平方和最小的點構(gòu)成三角形（四面體）。

最大角條件。在平面區(qū)域選與有向邊界前沿BC邊構(gòu)成角BAC最大的A點）。實體區(qū)域選與有向邊界前沿三角形ABC構(gòu)成的四面體ABCD在D點實體角最大的點。這種選取點構(gòu)成三角形（四面體）方法可靠，但由于對應于同一邊界前沿可能存在多個最大角情況，我們稱這種現(xiàn)象為奇異現(xiàn)象。

最大形狀質(zhì)量條件。選取與邊界前沿所構(gòu)成的三角形（四面體）形狀質(zhì)量最大的點構(gòu)成有效剖分。

最小外接圓（球）條件，即空球條件。選取與邊界前沿構(gòu)成的三角形（四面體）中外接圓（球）半徑最小的點構(gòu)成有效剖分。即在所形成的三角形（四面體）中不包含任何其他邊界前沿點集。單一使用上述四種四面體扣除條件均會出現(xiàn)奇異情況。使用后兩者扣除單元都將可能引起剖分不可靠，如不可剖分及單元相交等。

AFM法最大優(yōu)點是，不僅在區(qū)域內(nèi)部而且在區(qū)域邊界所生成的網(wǎng)格單元形狀均優(yōu)良，網(wǎng)格生成全自動，可剖分任意實體。如果將板/殼、實體和梁采用統(tǒng)一的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，則可采用該原理實現(xiàn)不同維數(shù)和多種材料等混合工況結(jié)構(gòu)件的網(wǎng)格自動剖分。若配合誤差估計，則這種方法在自適應網(wǎng)格再生技術(shù)中使用效果甚佳。目前的發(fā)展趨勢是采用AFM/DT混合法。在平面域已得到了成功地實現(xiàn)，但三維實體區(qū)域仍存在多種問題，例如：可能出現(xiàn)剖分不可靠和奇異等現(xiàn)象。

四、自動自適應網(wǎng)格剖分

有限元的自適應性就是在現(xiàn)有網(wǎng)格基礎(chǔ)上，根據(jù)有限元計算結(jié)果估計計算誤差、重新剖分網(wǎng)格和再計算的一個閉路循環(huán)過程。當誤差達到預規(guī)定值時，自適應過程結(jié)束。因此，有效的誤差估計和良好的自適應網(wǎng)格生成是自適應有限元分析兩大關(guān)鍵技術(shù)。就目前國外研究來看，自動自適應網(wǎng)格生成從大的方面可分為：網(wǎng)格增加技術(shù)和網(wǎng)格再生技術(shù)。

1. 網(wǎng)格增加技術(shù)

該法主要依靠增加自由度總數(shù)來提高有限元分析的精度。目前主要采用三種類型方法提高有限元分析精度：h-型、p-型和h-p-型。

h-型，采用有選擇地進一步子劃分網(wǎng)格單元來細化網(wǎng)格以提高自由度。該法使用特別廣泛，RSD模型的網(wǎng)格改進正是利用該法。

p-型，在保持網(wǎng)格劃分不變的情況下，通過提高插值函數(shù)的階數(shù)獲得高的求解精度。

h-p-型，是將h-型和p-型兩種結(jié)合的一種方法。該法雖然實現(xiàn)不容易，但它卻可使收斂速率明顯加快。

實踐表明，在獲得同一精度時，上述三種類型收斂速率是按h-型、p-型、h-p-型順序增加的。

2. 網(wǎng)格再生技術(shù)

根據(jù)現(xiàn)有網(wǎng)格并配合誤差估計確定新的結(jié)點密度分布，然后重新劃分網(wǎng)格，再計算并重復上述過程直到求解精度達到預定目標為止。目前，網(wǎng)格再生技術(shù)在平面區(qū)域已得到了較好地實現(xiàn)，現(xiàn)概括如下：

確定結(jié)點密度的最大和最小值。

按等比數(shù)列計算等值線分段總數(shù)N和每一條等值線結(jié)點密度值。

用N+1個結(jié)點密度將區(qū)域劃分為相應的等值線。

光順每條等值線。消除等值線與區(qū)域邊界及等值線之間的尖角，并沿等值線生成結(jié)點。

形成封閉環(huán)。從內(nèi)部等值線和區(qū)域邊界中獲得邊界鏈，并按正確順序連接邊界鏈和內(nèi)部等值線鏈構(gòu)成封閉環(huán)。

形成子區(qū)域。子區(qū)域的結(jié)點密度等于區(qū)域邊界結(jié)點密度的平均值。

網(wǎng)格生成。采用二維平面網(wǎng)格生成方法構(gòu)成三角形。

從理論上講，該原理可擴充到三維實體域，但由于三維實體域難以完全自動用等結(jié)點密度曲面來分割任意實體，因此在三維域的擴充至今仍未實現(xiàn)。實踐表明，網(wǎng)格再生技術(shù)比網(wǎng)格增加技術(shù)具有更大的優(yōu)點，主要表現(xiàn)在前者收斂速度快、網(wǎng)格單元形狀穩(wěn)定。

另外，還有兩種自適應網(wǎng)格生成類型，它們是r-型和h-r-型。

r-型，是保持網(wǎng)格劃分和插值函數(shù)階數(shù)不變情況下，通過調(diào)整結(jié)點位置以改善求解精度。該法收斂速度低，因此，目前很少直接使用這種類型。

h-r-型是上述r-型和h-型兩種方法的綜合。

事實上，在h-型網(wǎng)格改進中所使用的光順技術(shù)就是一種r-型，所以可以把h-r-型看成是h-型。

編輯：fqj