關(guān)于零點和極點

不知不覺，環(huán)路內(nèi)容已經(jīng)寫了7節(jié)了，以理論分析為主，下面來說說兄弟們都很關(guān)心的內(nèi)容——零點和極點。

前面幾節(jié)內(nèi)容，我們已經(jīng)將傳遞函數(shù)的來源，推導過程說明白了。有了傳遞函數(shù)，我們就能夠畫出波特圖，就能夠分析系統(tǒng)到底穩(wěn)不穩(wěn)定。

但是問題來了，假如我們得到的波特圖表明這個系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，那么該如何調(diào)整呢？該修改什么器件呢？或者說一個原本穩(wěn)定的系統(tǒng)，但是我們想修改其中某個元件，會不會造成系統(tǒng)不穩(wěn)定？總不至于每次修改一個器件，然后畫出傳遞函數(shù)看看長什么樣子，不行就接著改？這種鳥槍法總歸不好。

鳥槍法不行，自然有更好的法子，那就是找到一些特殊點進行分析。這些特殊點，就是零點和極點，零點和極點可以幫助我們調(diào)整電路。

關(guān)于零點和極點，結(jié)合我自己的經(jīng)驗，我覺得以下幾個問題是值得思考一下的。

1、傳遞函數(shù)中，讓分母為0的頻率點叫極點，既然分母為0，那算出來的值不是無窮大嗎？增益無窮大？這也能出現(xiàn)？

2、老是看到說增加一個電容，就增加了一個極點，增加一個電阻，就增加了一個零點，這到底是怎么回事？其中的道理又是為什么？

3、拿到具體的電路，那個零極點如何能直接看出來呢？

這一節(jié)就來看看上面這幾個問題吧。

零點和極點的定義

先來復習一下概念，什么是零點和極點，一般教材上面給出的定義大致是這樣的：

極點

上面這個很好理解，清晰明了，但是一個大坑也就隨之而來了。如果從數(shù)學公式的角度看，這定義沒啥好說的，該咋樣咋樣。

但是一放到電路里面去，就尷尬了，H(s)的物理意義不是輸出除以輸入嗎？

那極點的意思不就是使輸出為無窮大的點，既然輸出無窮大了，那么系統(tǒng)肯定是不穩(wěn)定的，那么我們常說的極點又到底是什么？

比如下面是從網(wǎng)上找的別人寫的零點和極點的物理意義，難道自己寫的時候不懵嗎？

那怎么理解我上面這個問題呢？

結(jié)合實際的情況，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)算出來的根多是負數(shù)，而現(xiàn)實世界中是沒有負頻率的，貌似都是直接把負號去掉之后稱為極點。

比如下面的低通濾波器的傳遞函數(shù)的極點：

假如R=1Khz，C=1uF，那么極點是s=-1000，但是我們通常說極點是1000，理由貌似是自然界中沒有負頻率，所以對s求了個模，頻率w=|s|=1000，我們把這個求模后的值也還是叫極點，并沒有重新取名字。

這個取了模之后的極點再代入原式子H(s)中，就不能夠使H(s)等于無窮大了，當然了，也不能是無窮大，因為無窮大意味著系統(tǒng)不穩(wěn)定。我們研究的電路系統(tǒng)一般是穩(wěn)定的，所以基本上極點都是負的，或者說在復平面的左半平面。

不過，我們所有的系統(tǒng)的極點都是負的嗎？都在左半平面嗎？

我想也不是的，這讓我想到了皮爾斯晶體振蕩器，它輸入為0，但是能夠輸出一個固定的頻率的信號，即晶振的輸出嘛，我猜它應該是有極點在右半平面的。因為晶振不就是要自己振蕩起來嗎？當然，我的猜測也可能是錯誤的，感興趣的兄弟可以研究研究。

總之吧，對于具體的電路，我們常說的極點，已經(jīng)不再是嚴格摳定義得到的極點了，而是取了絕對值之后的，其對應信號的頻率都是正的，代入系統(tǒng)就不再能使輸出無窮大。

極點就說這么多吧，來看看零點

零點

相對于極點一般都是負的，根據(jù)系統(tǒng)的不同，零點是有負的，也有正的，像boost，Buck-boost，F(xiàn)lyback都是有右半平面零點，也就是分子N(s)=0有正的根。

零點和極點定義的問題就先說這么多吧，總的來說，我們求解的零點和極點的時候，可以假設下頻率可正可負的就好。

下面來看看，對于一個具體的電路，零點和極點都怎么快速的直接用眼睛“瞪”出來。

如何快速找到系統(tǒng)的零極點

功率級傳遞函數(shù)目前我是找不到快速的方法的，不過放大和補償級的傳遞函數(shù)，我倒是能想出點道道。

下面是常見的三種補償方式

如何快速找到零極點呢？

其實思路很簡單，我們列出對應的傳遞函數(shù)就行了，上面三種結(jié)構(gòu)，傳遞函數(shù)其實不就是放大器的增益表達式嗎？

傳遞函數(shù)都是：H(s)=實線橢圓阻抗/虛線網(wǎng)絡阻，我們根據(jù)定義求出對應的點就行了。不過這個方法有點麻煩，還得計算。

簡單一點是這么想，零點就是讓輸出為0的點，極點就是讓輸出為無窮大的點（這時候考慮負頻率，就是求的時候假定負頻率是存在的），然后我們?nèi)フ覍狞c就行了。

I型補償

要想得到零點，那么我們就找使輸出等于0的頻率點，顯然，要想輸出等于0，必須C1的阻抗為0，電容的阻抗是1/sC，那么得頻率為無窮大才行，一般我們不考慮無窮大的頻率，所以說I型補償沒有零點。

要想得到極點，那么我們需要找使輸出為無窮大的點，顯然，輸出無窮大，只需要電容C1的阻抗是無窮大就行，顯然，頻率為0時，輸出阻抗1/sC為無窮大，也就是說0是I型補償?shù)臉O點。

所以，對于I型補償，沒有零點，有一個極點

II型補償

同樣的，要想得到零點，那么我們就找使輸出等于0的頻率點，顯然，要想輸出等于0，必須下面這一坨的阻抗為0。

這一坨的結(jié)構(gòu)是R2和C1串聯(lián)后，再和C2并聯(lián)。要想上面那一坨整體阻抗為0，要么C2的阻抗為0，要么R2和C1串聯(lián)后的阻抗為0。

因為不考慮無窮大頻率，所以C2的阻抗不可能為0。R2和C1串聯(lián)后的阻抗是可以為0的，即R2+1/sC1=0，解出來就是s=-1/(R2*C1)，我們?nèi)〗^對值換算成頻率，即有一個零點w=1/(2π*R2*C1)

同樣的道理，極點就是下面一坨整體的阻抗為無窮大時的點

因為上面結(jié)構(gòu)是并聯(lián)的關(guān)系，首先，可以很容易觀察到，當頻率為0的時候，兩個并聯(lián)的支路阻抗都是無窮大，那么并聯(lián)之后自然還是無窮大，即，0是這個補償器的一個極點。

除此之外，R2和C1串聯(lián)之后，再與C2并聯(lián)，也會在其它的頻率點等于無窮大，有一個簡單方法，只需要把R2和C1和C2的阻抗相加等于0，算出來的點就是極點，原理是什么呢？

所以，我們把R2和C1，C2阻抗加起來，如果阻抗等于0，那么整體并聯(lián)的阻抗就是無窮大的了，即R2+1/sC1+1/sC=0，那么最終極點就是：s=-(1/C1+1/C2)/R2。

取絕對值換算成頻率：w=(1/C1+1/C2)/(2π*R2)

所以，對于II型補償，有兩個極點，一個零點。

III型補償

由前面可知，II型補償?shù)牧銟O點都是從反饋網(wǎng)絡得來的，我們觀察III型補償，它的反饋網(wǎng)絡和II型補償一模一樣。因此，III型補償反饋網(wǎng)絡產(chǎn)生的零極點，同II型補償是一模一樣的，也有兩個極點和一個零點，就不再贅述了。

除了反饋網(wǎng)絡，III型補償在同相輸入的電阻上面并聯(lián)了電阻和電容，那么這個網(wǎng)絡是否產(chǎn)生零極點呢？

自然是會的，不然III型補償不就沒用了嗎？方法其實和前面差不多。

先看零點，零點是使輸出為0的點，要想輸出為0，那么虛線框的總阻抗要為無窮大。并聯(lián)之后阻抗要想等于無窮大，那么R1，R3，C3三者加起來的阻抗要等于0，原理還是下面這個

即：R1+R3+1/sC3=0，即s=-1/((R1+R3)*C3)，取絕對值然后換算成頻率：w=1/(2π*(R1+R3)*C3)

再看極點，極點是使輸出為無窮大的點，要想輸出為無窮大，那么虛線框的總阻抗為0。易知，當R3和C3串聯(lián)的阻抗為0，那么虛線框的總阻抗就為0。R3+1/sC3=0，算s=-1/(R3*C3)，取絕對值之后換算成頻率：w=1/(2π*R3*C3)，即該頻率點就是一個極點。

綜上所述，III型補償有3個極點，2個零點。

上面三種補償匯總?cè)缦拢?/p>

以上是我覺得，寫出零極點最快的方式了，基本不用動筆，寫得有點長，顯得有點復雜。不過要是知道里面的道理，應該還是挺方便的。

小結(jié)

本節(jié)內(nèi)容就寫到這里了，主要針對常見的幾種補償，看怎么能做到“看著圖把零極點看出來”。

以上純屬個人想法，不一定對，有問題可以留言交流。

審核編輯 ：李倩