根據(jù)其諧波頻譜內(nèi)容重構(gòu)DAC傳遞函數(shù)

所有DAC都表現(xiàn)出一定程度的諧波失真，這是當(dāng)DAC的輸入由代表理想均勻采樣正弦波的數(shù)字序列驅(qū)動(dòng)時(shí)，DAC在其輸出端再現(xiàn)完美正弦波的程度的指標(biāo)。由于DAC的非理想瞬態(tài)和靜態(tài)行為，輸出頻譜將包含諧波成分。DAC的瞬態(tài)輸出特性包括壓擺率限制、不對(duì)稱上升和下降時(shí)間以及有限的建立時(shí)間。靜態(tài)特性與傳遞函數(shù)如何偏離直線有關(guān)。本文重點(diǎn)介紹靜態(tài)行為，并定義了一種從輸出頻譜中觀察到的諧波成分推導(dǎo)出DAC傳遞函數(shù)的方法。該分析假設(shè)傳遞函數(shù)而不是瞬態(tài)輸出特性是觀察到的諧波失真的主要來(lái)源。這個(gè)假設(shè)在低頻時(shí)是有效的。

DAC傳遞函數(shù)

圖1顯示了一個(gè)理想的DAC傳遞函數(shù)，即對(duì)角直線y=mx+b。數(shù)字輸入位于 x 軸上，模擬輸出位于 y 軸上。

圖1.理想的DAC傳遞函數(shù)。

x 軸上的感興趣范圍是從左側(cè)的最小代碼 （A） 到右側(cè)的最大代碼 （B）。y 軸上感興趣的范圍是從底部的最低輸出值 （C） 到頂部 （D） 附近的最大輸出值。定義理想傳遞函數(shù)的斜率 （m） 和 y 截距 （b） 的方程以邊界值 A、B、C 和 D 表示。信號(hào)g（t）表示一個(gè)未失真的正弦波，由A和B范圍內(nèi)的數(shù)字輸入組成，隨時(shí)間向下發(fā)展。信號(hào)u（t）代表模擬輸出，它跨越從C到D的值，時(shí)間向右發(fā)展。

輸出信號(hào)是通過(guò)傳遞函數(shù)對(duì)輸入信號(hào)的反射。請(qǐng)注意，輸出信號(hào)是將 g（t） 上的每個(gè)點(diǎn)鏈接到 u（t） 上的關(guān)聯(lián)點(diǎn)的結(jié)果。圖 1 顯示了特定時(shí)間時(shí)刻 t=t 的傳輸操作示例k，用于標(biāo)識(shí)點(diǎn) g（tk） 在輸入信號(hào)上。反過(guò)來(lái)，傳遞函數(shù)鏈接 g（tk） 到相應(yīng)的點(diǎn)，u（tk），在輸出信號(hào)上。對(duì)于理想的線性傳遞函數(shù)，u（t） 將是 g（t） 的縮放版本。請(qǐng)注意，g（tk） 對(duì)應(yīng)于點(diǎn) xk在 X 軸上，通過(guò)傳遞函數(shù)反射到點(diǎn) Yk在 y 軸上。耦合點(diǎn)集的先驗(yàn)知識(shí) （g（tn），u（tn）） 可以識(shí)別關(guān)聯(lián)的點(diǎn) （xn，yn） 上的傳遞函數(shù)。因此，輸入信號(hào)上的點(diǎn)g（t）和輸出信號(hào)上的點(diǎn)u（t）之間的關(guān)系完全定義了傳遞函數(shù)。

對(duì)于N位DAC，邊界值A(chǔ)和B具有特定值;即，A = 0 和 B = 2N–1.另一方面，邊界值 C 和 D 可以方便地指定為 C = A 和 D = B。此分配意味著實(shí)際DAC輸出信號(hào)的比例和偏移，因此其峰峰值跨度為0至2N–1.使用這些 A、B、C 和 D 值，理想的傳遞函數(shù)簡(jiǎn)化為 y = x，因?yàn)樾甭屎徒鼐嘧優(yōu)?m = 1 和 b = 0。

到目前為止，重點(diǎn)一直放在理想的DAC傳遞函數(shù)上，但我們現(xiàn)在有了處理失真的DAC傳遞函數(shù)f（x）的工具，如圖2所示。需要注意的主要特征是傳遞函數(shù)不再是直線 y = x，而是形狀函數(shù) f（x），在這里任意顯示為平滑弧。同樣重要的是f（x）對(duì)輸出函數(shù)u（t）的影響。理想輸入 g（t） 反射傳遞函數(shù) f（x），產(chǎn)生失真輸出 u（t）。與任何現(xiàn)成的DAC相比，所示的傳遞函數(shù)被高度夸大，顯示的戲劇性弧線僅用于說(shuō)明目的?，F(xiàn)代DAC的傳遞函數(shù)幾乎不會(huì)偏離理想的直線，但即使是最輕微的偏差也會(huì)導(dǎo)致輸出頻譜中出現(xiàn)諧波雜散。

圖2.失真的DAC傳遞函數(shù)。

DAC傳遞函數(shù)的成功重建依賴于確定每個(gè)點(diǎn)的能力，（xk，f（xk）），來(lái)自g（t）和u（t）的知識(shí)。這是一個(gè)兩步過(guò)程：首先使用代表完美采樣正弦波的數(shù)字序列驅(qū)動(dòng)DAC輸入，使用頻譜分析儀測(cè)量DAC輸出，并記錄基波信號(hào)的幅度和盡可能多的諧波;然后將測(cè)得的諧波幅度轉(zhuǎn)換為具有特定形狀的傳遞函數(shù)。如果操作得當(dāng)，通過(guò)將g（t）傳遞到f（x）來(lái)模擬u（t）將產(chǎn)生與測(cè)量值相同的諧波失真值。

第一步：測(cè)量DAC諧波

第一步需要一個(gè)輸入序列，該序列表示以均勻間隔的時(shí)間間隔采樣的完美正弦波的一個(gè)周期。目標(biāo)是重建DAC傳遞函數(shù)，因此輸入信號(hào)必須至少包含從0到2的每個(gè)DAC代碼的出現(xiàn)一次N–1.輸入序列需要 2 個(gè)以上N使用等間距的樣本來(lái)執(zhí)行每個(gè)DAC代碼，實(shí)際上至少需要2N+3示例，以保證命中每個(gè)代碼。以下公式產(chǎn)生 2 的完美正弦序列K帶有 K ≥ N+3 的 DAC 代碼。函數(shù) round{x} 將 x 舍入到最接近的整數(shù)。

該公式假設(shè)DAC以直接二進(jìn)制格式解碼數(shù)字輸入字，作為0到2的無(wú)符號(hào)整數(shù)N–1.對(duì)于失調(diào)二進(jìn)制或二進(jìn)制補(bǔ)碼DAC，gn必須進(jìn)行調(diào)整以指示負(fù)值。

數(shù)字序列 （gn） 以采樣速率 f 重復(fù)輸送到 DACs，因此DAC輸出頻譜包含頻率f的基波信號(hào)0=fs/2K.諧波出現(xiàn)在2f處0， 3F0， 4F0和 f 的其他整數(shù)倍0.由于DAC輸出頻譜的采樣性質(zhì)，這些諧波的幅度受sin（x）/x響應(yīng)的影響。因?yàn)?f0是 f 的一小部分s但是，sin（x）/x 響應(yīng)幾乎是平坦的，可以忽略。例如，對(duì)于 8 位 DAC，K ≥ 11 和 f0≤ fs/2048，因此 sin（x）/x 將不超過(guò) 0.39% （0.034 dB） 輸出到 100千諧波。

精確重建傳遞函數(shù)f（x）需要根據(jù)一組諧波數(shù)（h）記錄盡可能多的諧波幅度。這些整數(shù)以h = 1（基頻）開(kāi)始，以h=H結(jié)束，其中H是測(cè)量幅度的最高諧波數(shù)。例如，對(duì)于測(cè)量值 10千諧波，H = 10，諧波數(shù)的集合是 h={1， 2， 3， .. 10}。

接下來(lái)，將每個(gè)測(cè)量諧波的幅度（M）與其諧波數(shù)相關(guān)聯(lián)。例如，M1是 1 的量級(jí)圣諧波（基波），M2是 2 的量級(jí)德·諧波，依此類(lèi)推通過(guò) MH.諧波幅度通常以相對(duì)于基波幅度（dBc）的分貝為單位。通過(guò)以下方式將 dBc 轉(zhuǎn)換為線性單位：

其中 D 是以 dBc 為單位的測(cè)量諧波幅度。例如，如果 3 的大小RD諧波為 –40 dBc，則線性幅度為 M3= 10–40/20，或 0.01。M1始終等于 1，因?yàn)楦鶕?jù)定義，基波的大小為 0 dBc。

第二步：重建DAC傳遞函數(shù)

該過(guò)程的第二步涉及將測(cè)量的諧波與傳遞函數(shù)相關(guān)聯(lián)。f（x） 上的點(diǎn)取決于 g（t） 和 u（t） 上相應(yīng)點(diǎn)之間的關(guān)系，因此頻域中的諧波幅度必須首先轉(zhuǎn)換為時(shí)域表示。請(qǐng)注意，g（t） 由 DAC 代碼組成，這些代碼與與 g（t） 的正弦形式相關(guān)的時(shí)間點(diǎn)具有一對(duì)一的對(duì)應(yīng)關(guān)系。因此，包含g（t）的DAC碼與時(shí)域有關(guān)。此外，由于u（t）通過(guò)f（x）與g（t）相關(guān)，并且g（t）是一個(gè)時(shí)域函數(shù)，因此u（t）也必須表示為時(shí)域函數(shù)。這允許每個(gè)時(shí)間點(diǎn)，tk，在 g（t） 中鏈接到其在 u（t） 中的關(guān)聯(lián)時(shí)間點(diǎn)，這對(duì)于從 g（t） 和 u（t） 確定 f（x） 是必要的。

將諧波幅度轉(zhuǎn)換為時(shí)域表示具有挑戰(zhàn)性，因?yàn)閒（x）必須與每個(gè)可能的DAC碼（0到2N–1） 以 g（t） 為單位。由于g（t）是一個(gè)完美的正弦曲線，確保唯一性的唯一方法是將范圍限制在正弦波單調(diào)遞增的地方，如圖3突出顯示的部分所示。如果沒(méi)有這樣的限制，f（x） 上的單個(gè)點(diǎn)可以映射到 g（t） 上的兩個(gè)點(diǎn)并導(dǎo)致歧義。

為了證明這種模糊性，想象一下向下滑動(dòng)區(qū)域T。點(diǎn) （xk， f（xk）） 在 f（x） 上現(xiàn)在可以與 g（t） 上的兩個(gè)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)，這是不可接受的。通過(guò)將 T 的范圍限制為所示的范圍，歧義就不存在。由于g（t）是正弦曲線，因此所需的T范圍對(duì)應(yīng)于初始相位偏移為3π/2弧度的<>/<>周期。

圖3.f（x） 和 g（t） 之間的關(guān)系。

g（t） 以 T 為界的事實(shí)意味著在 u（t） 上也有類(lèi)似的界限。因此，將記錄的諧波幅度轉(zhuǎn)換為時(shí)域必須確保將u（t）限制在與g（t）相同的T范圍內(nèi)，如圖4所示。

圖4.g（t） 和 u（t） 的時(shí)域范圍。

請(qǐng)注意，實(shí)際時(shí)間跨度 T 無(wú)關(guān)緊要，因?yàn)?f（x） 僅用于在 g（t） 和 u（t） 的振幅之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換。為了簡(jiǎn)化分析，請(qǐng)歸一化基頻 （f0） 到 1。頻率 2德·因此諧波為2，頻率為3RD諧波為 3，依此類(lèi)推。因此，諧波頻率與諧波數(shù)（h）相同：fh=h.這種方便的關(guān)系簡(jiǎn)化了用于從諧波測(cè)量創(chuàng)建u（t）的數(shù)學(xué)，Mh.

正弦波的一般時(shí)域表示為：

其中β是峰值振幅;θ 為初始相位偏移

每個(gè)諧波的時(shí)域表示，uh（t），可以通過(guò)用h代替f和M來(lái)實(shí)現(xiàn)h為β。但是，回想一下，g（t） 偏移了 3π/2 弧度。此外，g（t） 和 u（t） 之間通過(guò) f（x） 的鏈接意味著 g（t） 和 u（t） 在相位上對(duì)齊。用 3π/2 代替 θ 可提供所需的對(duì)齊方式。在下面的等式中，請(qǐng)注意 0 ≤ t < 1，π 替換 2π 以將基波限制為半周期，如區(qū)間 T 所示：

了解每個(gè)諧波的時(shí)域表示后，uh（t），可以重建復(fù)合輸出u（t），作為基波和諧波信號(hào)的總和：

回想一下，目標(biāo)是通過(guò)關(guān)聯(lián)g（t）和u（t）來(lái)重建DAC傳遞函數(shù)f（x）。此外，g（t） 必須正好由 2N樣本，以便與 f（x） 上的點(diǎn)保持一對(duì)一的對(duì)應(yīng)關(guān)系。因此，將 g（t） 的樣本計(jì)算為：

由于 g（t） 由 2 組成N樣本，從由 2 個(gè)樣本集組成的 U（T） 樣本集中重建 f（x） 似乎是合理的N樣品。然而，事實(shí)證明，至少有 2N+3需要樣品才能為小值 M 提供合適的精度h.考慮到這一點(diǎn)，按如下方式計(jì)算 u（t） 的每個(gè)樣本：

（n=0，1，2，3 .. 2N+3–1)

請(qǐng)注意，這會(huì)導(dǎo)致 u（t） 包含比 g（t） 更多的樣本。這使得 u（t） 和 g（t） 到 f（x） 的映射變得復(fù)雜，因?yàn)?u（t） 的多個(gè)樣本可以對(duì)應(yīng)于 f（x） 和 g（t） 上的單個(gè)點(diǎn)。因此，必須對(duì)特定的樣本組進(jìn)行平均，以便提供對(duì)f（x）的合理映射。以下偽代碼演示了假設(shè) N 位 DAC 所需的映射，2Ng（t） 和 2 的點(diǎn)N+3你的點(diǎn)（t）。陣列 DacXfr 由 2 個(gè)N元素，最初為零。執(zhí)行代碼后，DacXfr 數(shù)組的元素包含規(guī)范化的 DAC 傳遞函數(shù)。

n = 0
FOR i = 0 TO 2N–1
AvgCnt = 0
WHILE i = g[n]
AvgCnt = AvgCnt + 1
DacXfr[i] = DacXfr[i] + u[n]
n = n + 1
IF n >= 2N+3
EXIT WHILE
END IF
END WHILE
IF AvgCnt = 0
EXIT (fail because array, g[ ], is missing a DAC code)
END IF
DacXfr[i] = (DacXfr[i]/AvgCnt)/2N
END FOR

驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文中描述的方法，使用頻譜分析儀測(cè)量由代表完美正弦波的輸入序列驅(qū)動(dòng)的14位DAC的輸出。記錄前2次諧波的幅度（數(shù)字15至1，單位為dBc），并使用這些值重建DAC傳遞函數(shù)f（x）。接下來(lái)，仿真通過(guò)重構(gòu)的DAC傳遞函數(shù)f（x）傳遞理想的正弦輸入序列g(shù)（t）來(lái)生成輸出序列u（t）。FFT 將 u（t） 轉(zhuǎn)換為其頻域等效項(xiàng) U（ω）。從U（ω）中提取諧波幅度，并與頻譜分析儀測(cè)量值進(jìn)行比較，如表7的表格結(jié)果所示。請(qǐng)注意，最大的誤差，與 <>千諧波，僅為0.065分貝。

表1

由于比例，重建傳遞函數(shù)的圖顯示為直線 （y = x）。事實(shí)上，傳遞函數(shù)實(shí)際上偏離y = x足以產(chǎn)生表1所示的諧波成分。它有助于僅繪制傳遞函數(shù)與理想直線的偏差，如圖 5 所示?？v軸以 LSB 為單位。

圖5.DAC傳遞函數(shù)的殘余誤差。

審核編輯：郭婷