從車載雷達(dá)認(rèn)識(shí)傅里葉變換

遙想當(dāng)年，與傅里葉變換（Fourier Transform）的第一次偶遇是學(xué)習(xí)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)候，覺得她的數(shù)學(xué)表達(dá)很美，想進(jìn)一步了解來著，但終究只可遠(yuǎn)觀而不能領(lǐng)會(huì)其奧義，對(duì)她的理解僅僅限于一種數(shù)學(xué)變換，考試的時(shí)候會(huì)算算矩形窗的傅里葉變換，按部就班的演算，僅此而已，駕馭不了她，從此形同陌路。

圖1 傅里葉變換，簡(jiǎn)潔優(yōu)雅，貌美如花

轉(zhuǎn)機(jī)出現(xiàn)在學(xué)習(xí)OFDM(正交頻分復(fù)用)的時(shí)候，調(diào)制與解調(diào)是通信的核心部分之一，OFDM的調(diào)制與解調(diào)卻能用傅里葉變換對(duì)如此簡(jiǎn)潔而深刻的表述，感嘆不已。傅里葉第一次在我心中有了如此清晰的，初步的物理概念。我一直覺得數(shù)學(xué)家很厲害，因?yàn)槿魏螔侀_實(shí)際物理概念的數(shù)學(xué)演繹都是極其抽象的，要想清楚并不容易，數(shù)學(xué)的抽象與嚴(yán)謹(jǐn)而沒有附加物理概念的直觀是我們懼怕數(shù)學(xué)的重要原因不是嗎。冰冷的數(shù)學(xué)公式被賦予清晰的物理概念而變得如此鮮活，就如廣義相對(duì)論之于黎曼幾何，楊 · 米爾斯規(guī)范場(chǎng)之于纖維叢理論。所以呢，了解傅里葉變換的鑰匙就是物理概念。

所謂條條大路通羅馬，不同領(lǐng)域，不同物理或工程角度都給解讀傅里葉變換提供更多可能性，而雷達(dá)特別是車載雷達(dá)角度的解讀是很有意思的，所以此文嘗試以毫米波雷達(dá)視角全面闡述傅里葉變換的物理概念及外延，希望對(duì)你有收獲。能夠加深你對(duì)她的深刻理解。

在車載雷達(dá)應(yīng)用中，我想很多小伙伴知道對(duì)ADC Raw Data做1D FFT，對(duì)一維數(shù)據(jù)做2D FFT，DoA則是3D FFT，如同我們會(huì)算rect(t/T)的FT是sinc(w)一樣，但我們可能對(duì)其背后的物理概念及外延并不清楚，比如如何理解三個(gè)維度都可以做FFT，為什么要做FFT，F(xiàn)FT達(dá)不到要求怎么辦，不做FFT行不行等等。如圖2所示公式是單目標(biāo)MIMO雷達(dá)回波表達(dá)式，也是當(dāng)前車載雷達(dá)使用最普遍的回波模型之一[1]：

圖2 automotive MIMO Radar 回波表達(dá)式（單目標(biāo)）

它有3個(gè)維度，l，n，p，分別代表角度bin，距離bin，速度bin，所以在各自維度的取值范圍內(nèi)，d(l,n,p)表示一個(gè)數(shù)據(jù)立方體，也叫做radar cube, 如圖3，我們對(duì)該cube分別沿range axis, Doppler axis, Space axis做FFT，以提取range, Doppler,以及 Azimuth信息。這是作為雷達(dá)算法工程師認(rèn)識(shí)FT的第一層次---知道操作流程，也就是怎么做的問題。

圖3 Radar Cube

接下來我們依次對(duì)三個(gè)維度中的兩個(gè)維度取定值，繼續(xù)將d(l,n,p)拆解為3個(gè)維度：

其中高斯白噪聲表達(dá)做了簡(jiǎn)化，上述3式可以進(jìn)一步歸納：

我們發(fā)現(xiàn)每個(gè)公式開頭其實(shí)都是常相位，所以還可以簡(jiǎn)化并整理：

可以看到上述3式的質(zhì)都是相同的，都具有如下形式：

這也是為什么3個(gè)維度都可以做FFT的原因。另一方面，我們關(guān)心的距離速度方位角信息都包含在一個(gè)相對(duì)應(yīng)的頻率之中，信息與頻率是一一對(duì)應(yīng)的，所以信息的獲取轉(zhuǎn)化為頻率的提取，而FFT就是提取頻率的重要工具。

那么問題又來了，為什么提取頻率的不是其他工具，而是偏偏FFT呢？

繼續(xù)分析，實(shí)際工程中，我們得到的是d,而d是包含噪聲的，也就是上式中的w。通常，我們假設(shè)該噪聲是高斯白噪聲，那么問題又轉(zhuǎn)化為，高斯白噪聲條件下的頻率估計(jì)問題，再來捋一捋，

1 我們有什么，有量測(cè)，也就是含噪數(shù)據(jù)

2 我們假設(shè)什么，包含噪聲是高斯白噪聲,也就是知道分布

3 我們要干什么，估計(jì)頻率

基于上述1，2，3，我們應(yīng)該想到似然函數(shù), 上述問題的似然函數(shù)為：

具體推導(dǎo)可以參考文獻(xiàn)[2]，這邊不再贅述，從推導(dǎo)結(jié)果來看，高斯白噪聲條件下頻率估計(jì)的最大似然結(jié)果就是FFT:

其中L是似然函數(shù)，A(w)是FFT，這是認(rèn)識(shí)FT的第二層次--追根溯源，知道為什么要用FFT。應(yīng)為她在似然準(zhǔn)則下估計(jì)頻率是最優(yōu)的。

如前所述，F(xiàn)FT歸根結(jié)底還是頻率估計(jì)的工具，能不能用其他方法代替呢？回答這個(gè)問題取決于你的應(yīng)用，雷達(dá)輸出三個(gè)量：距離，速度，角度，而評(píng)估這三個(gè)量的重要指標(biāo)是分辨率及精度，根據(jù)應(yīng)用的不同，我們對(duì)分辨率及精度的要求是不同的，當(dāng)然，如果條件允許，當(dāng)然希望分辨率及精度越高越好。傅里葉變換已經(jīng)很優(yōu)秀了，而且還有快速算法的加持，使她在車載雷達(dá)等嵌入式平臺(tái)獨(dú)領(lǐng)風(fēng)騷，叱咤風(fēng)云數(shù)十載。但我們始終要用發(fā)展的，變化的，審視的眼光看問題。是的，那么優(yōu)秀的FFT也是有瑕疵的：

• 存在瑞利限，分辨率（resolution）不高
• 旁瓣（sidelobe）容易引起虛警(High False Alarms)
• 頻率是時(shí)間統(tǒng)計(jì)的平均頻率，缺乏時(shí)間局部頻率信息
• 多目標(biāo)條件下，頻率估計(jì)精度較差

FFT的瑕疵使得雷達(dá)估計(jì)那三個(gè)量的分辨率及精度較差，也就可能滿足不了你的應(yīng)用需求。基于此，數(shù)十年來，在爭(zhēng)奪頻率估計(jì)權(quán)力的征途上，各路豪杰層出不窮，好精彩！

傅里葉是分析信號(hào)處理的鼻祖，而各個(gè)時(shí)代的大佬基于前人的工作及自己獨(dú)到的見解逐步發(fā)展出貝葉斯估計(jì)框架，狀態(tài)濾波，認(rèn)知信號(hào)處理，以及機(jī)器學(xué)習(xí)或者神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法，我們希望在硬件算力及內(nèi)存允許的條件下，逐步將這些方法用于那3三個(gè)量的更好的估計(jì)，特別是角度這一塊，這是認(rèn)識(shí)傅里葉的第三個(gè)層次--繼往開來，這不是對(duì)FFT的否定與拋棄，而是繼承與發(fā)展，這些方法也被統(tǒng)稱為現(xiàn)代數(shù)字信號(hào)處理方法，將會(huì)在今后的文章中介紹和分享！

FFT依舊是無窮無盡的寶藏，時(shí)?；仡^看看她，依舊如沐春風(fēng)，心生敬畏，如同漂泊異鄉(xiāng)的我們?cè)俪晒Γ棵刻ど瞎释?，是不是也?huì)感慨萬千：

圖4 讓我再看你一眼，別來無恙