傅里葉變換的理論分析和仿真驗(yàn)證

理論分析

傅里葉變換中提到：任意波形均可分解為無(wú)數(shù)不同幅值和頻率的正弦波的疊加。那么以最常見(jiàn)的方波(在工作中是以時(shí)鐘信號(hào)，PWM信號(hào)等等出現(xiàn))為分析對(duì)象，幅值為1，頻率為1/T的方波波形，如下圖所示：

通過(guò)傅里葉變換后，方波公式可以列為：

上式的意思是：

方波可以分解為頻率為 f 赫茲(f=1/T)幅值為

的正弦波，加上頻率為 3*f 幅值為

的正弦波，再加上頻率為5*f幅值為

的正弦波，以此類(lèi)推無(wú)數(shù)正弦波的疊加。

仿真驗(yàn)證

那么就開(kāi)始做一下仿真驗(yàn)證一下，首先用PSpice輸出一個(gè)頻率為1kHz，幅值為1V的方波。時(shí)域波形如下所示：

對(duì)波形進(jìn)行傅里葉變換后，轉(zhuǎn)化為頻域，波形如下圖所示：

從頻域圖中，可以發(fā)現(xiàn)，基波頻率和方波頻率相同，基波的幅值為方波幅值的

倍，這些也均和之前得到的公式中分析的一樣，X次諧波頻率為基波的X倍，幅值為基波的1/X;諧波的幅值會(huì)隨諧波頻率的增加而減小。

那么頻域的分解我們得到了，是不是可以反推回去呢?這個(gè)我就直接找了一個(gè)multisim的仿真圖(書(shū)內(nèi)帶的仿真，回復(fù)：模擬電子技術(shù)基礎(chǔ)，獲得書(shū)以及配套書(shū)的所有仿真，方便理解強(qiáng)烈推薦!!)，圖為通過(guò)反相加法器，將不同頻率的正弦波疊加到一起(不同頻率有不同權(quán)重，三次諧波放大倍數(shù)為

，五次諧波放大倍數(shù)為

，以此類(lèi)推)。正弦波1kHZ基波幅值設(shè)置

V，約等于1.2732V。那么只看基波的波形是這樣的：

基波+三次諧波：

基波+三次諧波+五次諧波，是不是已經(jīng)看到方波的樣子了：

基波+三次諧波+五次諧波+七次諧波，是不是更像方波了：

基波+三次諧波+五次諧波+七次諧波+九次諧波+十一次諧波：

由于篇幅的關(guān)系，只疊加到了十一次諧波，不過(guò)看幅值已經(jīng)很接近幅值為1V頻率為1kHz的方波了!!

不過(guò)這時(shí)，不知您是否心中會(huì)閃過(guò)一絲疑問(wèn)：為什么只有奇次諧波，沒(méi)有看到偶次諧波??那么在這里只提一個(gè)結(jié)論，推導(dǎo)過(guò)程就不列在本文了。

結(jié)論是：占空比為50%的方波沒(méi)有偶次諧波。只有占空比不是50%的方波才有偶次諧波。(所以大多數(shù)可以看到的諧波是奇次諧波)

那么就繼續(xù)用PSpice驗(yàn)證這一結(jié)論，在原來(lái)波形的基礎(chǔ)上將占空比從50%修改到70%，1kHz頻率和1V幅值保持不變。時(shí)域波形如下所示：

對(duì)其進(jìn)行傅里葉變換，轉(zhuǎn)化到頻域，波形如下，偶次諧波出現(xiàn)了!!

最后說(shuō)兩句

那么讀到這里，是不是您的心里是不是已經(jīng)明白示波器的帶寬為什么這么重要了呢?如果您的示波器帶寬太小，或者您在測(cè)量高速信號(hào)(比如10Mhz或者更高)的時(shí)候無(wú)意間打開(kāi)了帶寬限制，那么方波的高次諧波就被濾掉啦哈哈。

所以您觀察到的方波就變形了，就失真了，就像用multisim仿真的那個(gè)只疊加到十一次諧波的方波一樣，出現(xiàn)了失真!!

同理可推運(yùn)算放大器的帶寬(要放大方波信號(hào)的時(shí)候要考慮其高次諧波，不能僅僅只看基波的頻率)。