介紹一種前饋形式的振蕩控制器（上）

在控制指令下達(dá)之后，震蕩現(xiàn)象往往是個(gè)令人頭疼的問題，超調(diào)可能會(huì)帶來物理系統(tǒng)損害，從振動(dòng)形式達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)間需要很長(zhǎng)時(shí)間等問題。

在有些應(yīng)用之中，比如說在微機(jī)電里面，甚至?xí)_(dá)到100%（因?yàn)槠渥枘嶂饕獊碜钥諝庾枇?，而其體積又非常小，在真空中其品質(zhì)因數(shù)可輕松達(dá)到1000以上，對(duì)應(yīng)的阻尼系數(shù)ζ在0.001這個(gè)數(shù)量級(jí)）。如下圖所示的一個(gè)微機(jī)電執(zhí)行器的階躍響應(yīng)：

從控制的角度來講，這是我們不希望看到的。該怎么減小震蕩的問題？

系統(tǒng)零點(diǎn)與震蕩里面提到過反饋系統(tǒng)里面抵消震蕩的原理，我這次想聊一下前饋法，英文里面一般叫feedforward compensator，也有叫input shaper的，也有搞信號(hào)的就叫它是一個(gè)filter，anyway。前饋法的優(yōu)點(diǎn)是什么？便宜，不用買傳感器；不會(huì)帶來穩(wěn)定性問題。

如果對(duì)于一個(gè)線性度很好的穩(wěn)定的震蕩系統(tǒng)，前饋法抵消應(yīng)該是個(gè)很容易的事情：引入一對(duì)前饋的零點(diǎn)（notch filter），把震蕩的極點(diǎn)對(duì)給抵消了不就好了么。

問題是，這個(gè)零點(diǎn)對(duì)怎么實(shí)現(xiàn)？純微分都不好實(shí)現(xiàn)，那一對(duì)共軛的零點(diǎn)麻煩就會(huì)更大。其實(shí)有個(gè)經(jīng)典的前饋控制器叫做posicast controller：

它的控制框圖也很簡(jiǎn)單：

其中的 δ 和 Td 是非常直觀的，對(duì)于工程師們是非常容易理解和實(shí)現(xiàn)的，如下圖的例子，前者是超調(diào)量，后者是超調(diào)時(shí)間：

在根軌跡上來看一下發(fā)生了什么：

公式（1）其實(shí)是有個(gè)無窮零點(diǎn)的系統(tǒng)，而它的第一對(duì)零點(diǎn)就用來抵消掉那個(gè)不希望有的震蕩極點(diǎn)對(duì)。它比notch好的地方在于， 它的高頻增益是很低的，而不像notch那樣過了陷波之后就會(huì)一路走高 ，看它自己的不加log scale頻域圖的一個(gè)例子：

可見它的幅值增益是不會(huì)超過1的。即對(duì)于高頻的前饋噪聲不敏感。再看一個(gè)在頻域下抵消了震蕩極點(diǎn)之后的圖：

看紅線明顯可得知震蕩極點(diǎn)對(duì)被抵消了。

這個(gè)方法對(duì)于線性度好的穩(wěn)定系統(tǒng)相當(dāng)有效，但是如果這個(gè)極點(diǎn)對(duì)和零點(diǎn)對(duì)不匹配呢？答案是魯棒性比較差，即使有著比較小的不匹配，效果也會(huì)大打折扣：

前饋法是否就山窮水盡了？并不是。