簡(jiǎn)析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)

本期內(nèi)容

上一篇視頻，我們已經(jīng)對(duì)控制系統(tǒng)分析的關(guān)鍵 —— 傳遞函數(shù)進(jìn)行了深入淺出的介紹（點(diǎn)我穿越回上一期內(nèi)容）。

本期視頻則基于前述概念，簡(jiǎn)析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)。

01通常，對(duì)控制系統(tǒng)的分析主要有兩種思路：

時(shí)域分析法

即觀察一段時(shí)間內(nèi)，系統(tǒng)輸出跟隨輸入的響應(yīng)關(guān)系。通常會(huì)考慮根據(jù)系統(tǒng)的微分方程或傳遞函數(shù)、以拉氏變換為數(shù)學(xué)工具求解，依據(jù)響應(yīng)曲線來(lái)分析系統(tǒng)性能。這種方法相對(duì)直觀，但數(shù)學(xué)模型的建立較難。

頻域分析法

轉(zhuǎn)換思路到頻域進(jìn)行處理。

因?yàn)橄到y(tǒng)頻率特性可通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)定，并且頻率特性本身也能夠反映系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，因此在實(shí)際操作中頻域分析法對(duì)控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)有著相對(duì)更強(qiáng)的實(shí)踐意義。 其中圖解法是分析控制系統(tǒng)頻率響應(yīng)的經(jīng)典手段，而最為著名的兩種方法就是以奈奎斯特（Nyquist）命名的幅相特性曲線法和以伯德（Bode）命名的對(duì)數(shù)頻率特性曲線法，二者均通過(guò)實(shí)驗(yàn)可測(cè)的控制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳函頻率響應(yīng)特性來(lái)完成對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷。

02由于伯德圖在工程實(shí)踐中應(yīng)用更為廣泛，所以今天我們將重點(diǎn)關(guān)注如何利用伯德圖對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性判斷。

首先，我們?cè)诖艘肟刂葡到y(tǒng)頻率響應(yīng)的概念：

即，系統(tǒng)對(duì)某一頻率下正弦輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

圖 ：系統(tǒng)頻率響應(yīng)說(shuō)明

分析求解可知，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出與輸入之間具有同頻、變幅、移相的關(guān)系。

而能夠反映上述控制系統(tǒng)（或元件）對(duì)不同頻率正弦輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)頻率響應(yīng)特征的數(shù)學(xué)模型，即為系統(tǒng)的頻率特性。因?yàn)轭l率特性屬于傳遞函數(shù)的特例，其實(shí)質(zhì)為定義在復(fù)平面(s平面)虛軸上的傳遞函數(shù)，將它寫(xiě)為復(fù)數(shù)形式后，可以看到該復(fù)數(shù)的模表征了系統(tǒng)的幅頻特性、相角表征了系統(tǒng)的相頻特性：

據(jù)此可知，通過(guò)向待測(cè)系統(tǒng)輸入一個(gè)頻率可變的正弦信號(hào)，且不斷改變頻率ω的取值，并測(cè)量與每一個(gè)ω值對(duì)應(yīng)的穩(wěn)態(tài)輸出，記錄相應(yīng)頻率下穩(wěn)態(tài)輸出與輸入的幅值比和相角差，即可繪制幅值比與相角差隨頻率ω變化的曲線，從而求解幅頻特性與相頻特性表達(dá)式，這是一種非常直觀且實(shí)踐意義極強(qiáng)的系統(tǒng)特征分析方法。

而伯德提出的對(duì)數(shù)頻率特性圖解法，是將系統(tǒng)幅頻特性與相頻特性分別畫(huà)在兩個(gè)對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中進(jìn)行分析，由一幅對(duì)數(shù)幅頻曲線和一幅對(duì)數(shù)相頻曲線合為完整的對(duì)數(shù)頻率特性曲線：

圖 ：對(duì)數(shù)頻率特性曲線 (伯德圖)

對(duì)數(shù)頻率特性曲線的橫坐標(biāo)表示頻率ω，并按對(duì)數(shù)分度十倍頻程；

對(duì)數(shù)幅頻曲線L(ω)的縱坐標(biāo)表示對(duì)數(shù)幅頻特性的函數(shù)值，即20lgA(ω)，線性均勻分度，單位是分貝，即幅頻特性A(ω)每變化十倍，對(duì)數(shù)幅頻特性L(ω)變化20dB；

對(duì)數(shù)相頻曲線φ(ω)的縱坐標(biāo)表示相頻特性的函數(shù)值，線性均勻分度，單位是度或弧度。

選擇在對(duì)數(shù)坐標(biāo)系內(nèi)分析，最直觀的好處就是能夠?qū)⒈硎究刂葡到y(tǒng)內(nèi)環(huán)節(jié)串聯(lián)的幅頻特性乘除運(yùn)算轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)坐標(biāo)系內(nèi)的加減運(yùn)算，從而簡(jiǎn)化曲線繪制；即系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)通?？梢员硎緸槿舾蓚€(gè)典型環(huán)節(jié)相乘形式，實(shí)際分析時(shí)就可以根據(jù)各頻段下起主導(dǎo)作用的典型環(huán)節(jié)伯德圖來(lái)直接完成系統(tǒng)開(kāi)環(huán)伯德圖的繪制。

圖 ：控制系統(tǒng)典型環(huán)節(jié)伯德圖示意

03隨著計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)及儀器測(cè)量技術(shù)的發(fā)展，更多情況下，工程師朋友們面臨的往往是根據(jù)儀器已經(jīng)測(cè)得的伯德圖來(lái)分析系統(tǒng)性能。

其中，頻域性能指標(biāo)最關(guān)鍵的參數(shù)就是穩(wěn)定裕度：

穩(wěn)定裕度可以定量地表征系統(tǒng)當(dāng)前距離穩(wěn)定邊界(臨界穩(wěn)定)的遠(yuǎn)近，是評(píng)價(jià)系統(tǒng)穩(wěn)定性好壞的性能指標(biāo)，也是系統(tǒng)設(shè)計(jì)的重要依據(jù)之一。

良好的穩(wěn)定裕度可以有效彌補(bǔ)分析設(shè)計(jì)過(guò)程中的簡(jiǎn)化處理或?qū)嶋H參數(shù)擾動(dòng)等因素帶來(lái)的偏差影響。

那么如何通過(guò)伯德圖來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度呢？

讓我們回到最基本的控制系統(tǒng)判穩(wěn)條件：系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，系統(tǒng)所有閉環(huán)極點(diǎn)(特征方程的根) 均具有負(fù)實(shí)部。

這意味著當(dāng)系統(tǒng)不穩(wěn)定時(shí)，特征方程的根具有正實(shí)部，即此時(shí)不穩(wěn)定的閉環(huán)系統(tǒng)呈現(xiàn)不收斂的振蕩發(fā)散狀態(tài)，此時(shí)可認(rèn)為穩(wěn)態(tài)時(shí)閉環(huán)傳遞函數(shù)無(wú)窮大，從而可以推導(dǎo)得到系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)=-1。

由此可以繪制開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為-1的系統(tǒng)伯德圖，這就是系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定的邊界：

圖 ：系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時(shí)的伯德圖

穩(wěn)定裕度則代表實(shí)際控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線距離幅頻和相頻穩(wěn)定邊界的遠(yuǎn)近，穩(wěn)定裕度越高，意味著系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性與穩(wěn)定邊界相去甚遠(yuǎn)，則系統(tǒng)抗擾性越好，在真實(shí)世界的各種外界擾動(dòng)下更能實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定。

利用伯德圖解法進(jìn)行開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)分析時(shí)，需要關(guān)注兩個(gè)關(guān)鍵頻率點(diǎn)：

定義ω_c為開(kāi)環(huán)截止頻率，這一頻率點(diǎn)上系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的幅值增益為1

定義ω_g為相角穿越頻率，這一頻率點(diǎn)上系統(tǒng)相頻響應(yīng)的相角為-180°

圖 ：相位裕量與幅值裕量的定義

二者即為系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時(shí)開(kāi)環(huán)傳函G(s)H(s)=-1所定義的邊界。

定義相位裕量為γ=180°+φ(ω_C)，表征：

此時(shí)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)幅頻特性不變的情況下，若相頻特性再滯后γ度，系統(tǒng)將觸碰穩(wěn)定邊界。

定義幅值裕量為h=1/(A(ω_g))，在對(duì)數(shù)頻率特性坐標(biāo)系中表示為L(zhǎng)_h=20 lg?h=-20lgA(ω_g )=-L(ω_g)，表征：

此時(shí)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)相頻特性不變的情況下，幅頻特性再增大h倍，系統(tǒng)將觸碰穩(wěn)定邊界。

一般相位裕量γ>0°理論上即可判斷系統(tǒng)穩(wěn)定，相位裕量越大則系統(tǒng)穩(wěn)定程度越高，工程上一般要求設(shè)計(jì)時(shí)γ≥40°；

而幅值裕量h>1、對(duì)數(shù)幅值裕量L_h≥0dB時(shí)也可判斷系統(tǒng)穩(wěn)定，幅值裕量越大，系統(tǒng)穩(wěn)定程度越高，類似地，工程上一般會(huì)在設(shè)計(jì)時(shí)要求保證L_h≥6dB (6-10dB)。

因此，對(duì)于一個(gè)控制系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，假如它能夠?qū)崿F(xiàn)在開(kāi)環(huán)幅頻特性穿越0dB線時(shí)帶來(lái)的相位滯后少于-180°，或開(kāi)環(huán)相頻特性穿越-180°線時(shí)其開(kāi)環(huán)幅頻特性已經(jīng)遠(yuǎn)低于0dB線，這樣的對(duì)數(shù)幅頻特性“穿越”才是表征系統(tǒng)穩(wěn)定的可靠“穿越”。

04下面，我們來(lái)關(guān)注伯德圖判穩(wěn)在電源設(shè)計(jì)中的實(shí)際應(yīng)用。

BODE100 環(huán)路分析儀可以輔助測(cè)量電源系統(tǒng)的伯德圖，以MPQ4423C的評(píng)估板為例，進(jìn)行伯德圖的實(shí)測(cè)：

圖 ：MPQ4423C環(huán)路測(cè)試示意

24V輸入，5V輸出帶2A負(fù)載的情況下，MPQ4423C測(cè)得伯德圖如圖所示：

圖 ：EVQ4423C環(huán)路測(cè)試結(jié)果

通過(guò)觀察紅色的幅頻特性曲線與0dB線的交截點(diǎn)可以判斷得到MPQ4423C的截止頻率為60kHz； 而開(kāi)環(huán)截止頻率通常有個(gè)工程師更為熟悉的名字——帶寬，表征系統(tǒng)的響應(yīng)速度；帶寬越高，意味著面對(duì)動(dòng)態(tài)負(fù)載時(shí)系統(tǒng)輸出跟隨輸入的響應(yīng)能力越快。 由于BODE 100環(huán)路分析儀在做處理的時(shí)候，已將相頻特性曲線整體抬升180°，故通過(guò)觀察藍(lán)色的相頻特性曲線在截止頻率下距離0°線的距離，即可直接得出系統(tǒng)的相位裕度為67.455°，意味著MPQ4423C有著相當(dāng)優(yōu)越的穩(wěn)定性。 這一期的系統(tǒng)判穩(wěn)就講到這啦。

下一期我們會(huì)和大家探討“環(huán)路參數(shù)具體該如何調(diào)節(jié)”，請(qǐng)大家持續(xù)關(guān)注電源小課堂后續(xù)視頻！

審核編輯：湯梓紅