時間復雜度為 O(n^2) 的排序算法

作者：京東保險 王奕龍

對于小規(guī)模數(shù)據(jù)，我們可以選用時間復雜度為 O(n2) 的排序算法。因為時間復雜度并不代表實際代碼的執(zhí)行時間，它省去了低階、系數(shù)和常數(shù)，僅代表的增長趨勢，所以在小規(guī)模數(shù)據(jù)情況下， O(n2) 的排序算法可能會比 O(nlogn) 的排序算法執(zhí)行效率高。不過隨著數(shù)據(jù)規(guī)模增大， O(nlogn) 的排序算法是不二選擇。本篇我們主要對 O(n2) 的排序算法進行介紹，在介紹之前，我們先了解一下算法特性：

算法特性：

穩(wěn)定性：經排序后，若等值元素之間的相對位置不變則為穩(wěn)定排序算法，否則為不穩(wěn)定排序算法

原地排序：是否借助額外輔助空間

自適應性: 自適應性排序受輸入數(shù)據(jù)的影響，即最佳/平均/最差時間復雜度不等，而非自適應排序時間復雜度恒定

本篇我們將著重介紹插入排序，選擇排序和冒泡排序了解即可。

插入排序

插入排序的工作方式像 整理手中的撲克牌一樣，即不斷地將每一張牌插入到其他已經有序的牌中適當?shù)奈恢谩?/p>

插入排序的當前索引元素左側的所有元素都是有序的：若當前索引為 i，則 [0, i - 1] 區(qū)間內的元素始終有序，這種性質被稱為 循環(huán)不變式，即在第一次迭代、迭代過程中和迭代結束時，這種性質始終保持不變。

不過，這些有序元素的索引位置暫時不能確定，因為它們可能需要為更小的元素騰出空間而向右移動。插入排序的代碼實現(xiàn)如下：

    private void sort(int[] nums) {
        for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
            int base = nums[i];

            int j = i - 1;
            while (j >= 0 && nums[j] > base) {
                nums[j + 1] = nums[j--];
            }
            nums[j + 1] = base;
        }
    }

它的實現(xiàn)邏輯是取未排序區(qū)間中的某個元素為基準數(shù) base，將 base 與其左側已排序區(qū)間元素依次比較大小，并"插入"到正確位置。插入排序對 部分有序（數(shù)組中每個元素距離它的最終位置都不遠或數(shù)組中只有幾個元素的位置不正確等情況）的數(shù)組排序效率很高。事實上，當逆序很少或數(shù)據(jù)量不大（n2和nlogn比較接近）時，插入排序可能比其他任何排序算法都要快，這也是一些編程語言的內置排序算法在針對小數(shù)據(jù)量數(shù)據(jù)排序時選擇使用插入排序的原因。

算法特性：

空間復雜度：O(1)

原地排序

穩(wěn)定排序

自適應排序：當數(shù)組為升序時，時間復雜度為 O(n)；當數(shù)組為降序時，時間復雜度為 O(n2)

希爾排序

插入排序對于大規(guī)模亂序數(shù)組排序很慢，因為它只會交換相鄰的元素，所以元素只能一步步地從一端移動到另一端，如果最小的元素恰好在數(shù)組的最右端，要將它移動到正確的位置需要移動 N - 1 次。

希爾排序是基于插入排序改進的排序算法，它可以交換不相鄰的元素以對數(shù)組的局部進行排序，并最終用插入排序將局部有序的數(shù)組排序。它的思想是使數(shù)組中間隔為 h 的元素有序（h 有序數(shù)組），如下圖為間隔為 4 的有序數(shù)組：

排序之初 h 較大，這樣我們能將較小的元素盡可能移動到靠近左端的位置，為實現(xiàn)更小的 h 有序創(chuàng)造便利，最后一次循環(huán)時 h 為 1，便是我們熟悉的插入排序。這就是希爾排序的過程，代碼實現(xiàn)如下：

    private void sort(int[] nums) {
        int N = nums.length;
        int h = 1;
        while (h < N / 3) {
            h = 3 * h + 1;
        }

        while (h >= 1) {
            for (int i = h; i < N; i++) {
                int base = nums[i];

                int j = i - h;
                while (j >= 0 && nums[j] > base) {
                    nums[j + h] = nums[j];
                    j -= h;
                }
                nums[j + h] = base;
            }

            h /= 3;
        }
    }

希爾排序更高效的原因是它權衡了子數(shù)組的規(guī)模和有序性，它也可以用于大型數(shù)組。排序之初，各個子數(shù)組都很短，排序之后子數(shù)組都是部分有序的，這兩種情況都很適合插入排序。

選擇排序

選擇排序的實現(xiàn)非常簡單：每次選擇未排序數(shù)組中的最小值，將其放到已排序區(qū)間的末尾，代碼實現(xiàn)如下：

    private void sort(int[] nums) {
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            int min = i;
            for (int j = i + 1; j < nums.length; j++) {
                if (nums[j] < nums[min]) {
                    min = j;
                }
            }
            swap(nums, i, min);
        }
    }

    private void swap(int[] nums, int i, int j) {
        int temp = nums[i];
        nums[i] = nums[j];
        nums[j] = temp;
    }

算法特性：

空間復雜度：O(1)

原地排序

非穩(wěn)定排序：會改變等值元素之間的相對位置

非自適應排序：最好/平均/最壞時間復雜度均為 O(n2)

冒泡排序

冒泡排序通過 連續(xù)地比較與交換相鄰元素實現(xiàn)排序，每輪循環(huán)會將未被排序區(qū)間內的最大值移動到數(shù)組的最右端，這個過程就像是氣泡從底部升到頂部一樣，代碼實現(xiàn)如下：

    public void sort(int[] nums) {
        for (int i = nums.length - 1; i > 0; i--) {
            // 沒有發(fā)生元素交換的標志位
            boolean flag = true;
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                if (nums[j] > nums[j + 1]) {
                    swap(nums, j, j + 1);
                    flag = false;
                }
            }

            if (flag) {
                break;
            }
        }
    }

    private void swap(int[] nums, int i, int j) {
        int temp = nums[i];
        nums[i] = nums[j];
        nums[j] = temp;
    }

算法特性：

空間復雜度：O(1)

原地排序

穩(wěn)定排序

自適應排序：經過優(yōu)化后最佳時間復雜度為 O(n)

巨人的肩膀

《算法導論 第三版》第 2.1 章

《算法 第四版》第 2.1 章

《Hello 算法》第 11 章

排序算法-希爾排序

審核編輯 黃宇