160年未解之謎數(shù)學(xué)難題“黎曼猜想”被證明

著名數(shù)學(xué)家、現(xiàn)年90歲的Michael Atiyah在海德堡獲獎(jiǎng)?wù)?a href="http://ttokpm.com/article/bbs/" target="_blank">論壇上發(fā)表演講的論文預(yù)覽版，宣布世紀(jì)數(shù)學(xué)難題“黎曼猜想”被證明。

黎曼猜想被證明了！

至少根據(jù)世紀(jì)最著名的數(shù)學(xué)家之一、菲爾茲獎(jiǎng)獲得者和前英國(guó)皇家學(xué)會(huì)主席 Michael Atiyah 爵士剛剛在海德堡獲獎(jiǎng)?wù)哒搲习l(fā)表的演講。

當(dāng)?shù)貢r(shí)間 2018 年 9 月 24 日上午 9 點(diǎn) 45 分，北京時(shí)間 9 月 24 日下午 15 點(diǎn) 45 分，現(xiàn)年90歲的 Michael Atiyah 爵士將登上了海德堡論壇，開(kāi)始了他的演講——黎曼猜想。

直播地址：https://www.youtube.com/user/LaureateForum/videos

數(shù)學(xué)大地震！160年未解之謎被宣布證實(shí)

根據(jù)他事先提供的演講摘要：“黎曼猜想是1859年提出的著名問(wèn)題，至今懸而未決。我會(huì)基于馮·諾依曼（1936）、希策布魯克（1954）和狄拉克（1928）的相關(guān)工作，給出一個(gè)使用全新方法的簡(jiǎn)潔證明?！?/p>

今天上午，相關(guān)論文預(yù)印版已經(jīng)公開(kāi)（雖然署名 Atiyah，但目前還不能證實(shí)是否出自本人之手），單從長(zhǎng)度看，確實(shí)擔(dān)得上“簡(jiǎn)潔”，一共只有5頁(yè)。

論文摘要中寫(xiě)道，作者希望理解量子力學(xué)中的無(wú)量綱常數(shù)——精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)，并將此過(guò)程中發(fā)展出來(lái)的數(shù)學(xué)方法用于理解黎曼猜想。

一分鐘看懂黎曼猜想及其被證明的意義

“黎曼猜想”是數(shù)學(xué)界迄今最重要的猜想之一，被克雷數(shù)學(xué)研究所列為“有待解決的七大千禧問(wèn)題”，并懸賞100萬(wàn)美元給第一個(gè)提供證明或證偽的人。

黎曼猜想之所以重要，主要是因?yàn)樵诂F(xiàn)代數(shù)學(xué)中，有很多深入和重要的數(shù)學(xué)、物理結(jié)果都能在它成立的前提下得到證明。如今，大部分的數(shù)學(xué)家都傾向于相信黎曼猜想是正確的。

因此，如果黎曼猜想被證明，大家都松了一口氣，我們得到了一項(xiàng)很好的數(shù)學(xué)工具；但是，如果黎曼猜想被證偽，那很多數(shù)學(xué)、物理結(jié)果都得推翻重來(lái)。

伯恩哈德 · 黎曼（Bernhard Riemann，1826-1866）

黎曼猜想最初于 1859 年由德國(guó)數(shù)學(xué)家波恩哈德·黎曼提出。簡(jiǎn)單說(shuō)，就是根據(jù)一個(gè)重要的數(shù)學(xué)公式，能夠畫(huà)出無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)。黎曼猜測(cè)說(shuō)，這些點(diǎn)有一定的排列規(guī)律，一部分在一條橫線上，另一部分則在一條豎線上，所有這些點(diǎn)都在這兩條直線上排列，無(wú)一例外。

黎曼 Zeta 函數(shù)可視化

由于這些點(diǎn)有無(wú)窮多個(gè)，所以理論上是沒(méi)有辦法證明是不是所有的點(diǎn)都在這兩條線上，因?yàn)橛肋h(yuǎn)也驗(yàn)證不完。

但是，只要找到了一個(gè)點(diǎn)不在線上，那就推翻了黎曼猜想。

現(xiàn)在，數(shù)學(xué)家使用計(jì)算機(jī)，已經(jīng)驗(yàn)證了最初的15億個(gè)這樣的點(diǎn)，全都符合黎曼猜想的排列規(guī)律。不過(guò)，至今尚無(wú)人給出完整的理論證明。

因此，3天前，2018年的德國(guó)海德堡獲獎(jiǎng)?wù)哒搲粘坦?，Michael Atiyah 將會(huì)做一場(chǎng)關(guān)于 “證明黎曼猜想” 的報(bào)告的消息便迅速傳遍世界，無(wú)論是數(shù)學(xué)、物理還是計(jì)算機(jī)，甚至完全不相干的各路吃瓜群眾，全都開(kāi)始關(guān)注這一焦點(diǎn)。

Michael Atiyah 爵士：本世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，90歲發(fā)出豪言壯語(yǔ)

Michael Atiyah（1924-）是當(dāng)代著名數(shù)學(xué)家，主要研究領(lǐng)是幾何，他于 1966 年獲得 4 年頒發(fā)一次的數(shù)學(xué)界最高獎(jiǎng)菲爾茲獎(jiǎng)，而且在 1990-1995 年擔(dān)任英國(guó)皇家學(xué)會(huì)主席。

Michael Atiyah（1924-）

Atiyah 最重要的工作都是在上世紀(jì)六七十年代完成的。但作為一位年屆九旬的科學(xué)家，他仍然活躍在學(xué)術(shù)前沿，并時(shí)常有驚人之舉，2016 年他因?yàn)榻o出一個(gè) “6 維球面上不存在復(fù)結(jié)構(gòu)” 的證明被質(zhì)疑而頗具爭(zhēng)議。

黎曼猜想本身非常難，所以在 Michael Atiyah 證明黎曼猜想的消息公開(kāi)之后，社交媒體上多數(shù)人仍在觀望，畢竟太多人都曾聲稱(chēng)自己證明了黎曼猜想但之后卻被推翻，連大數(shù)學(xué)家哈代也犯過(guò)這種錯(cuò)誤。

Atiyah 本人也很清楚這種失敗的歷史?！皼](méi)有人相信任何關(guān)于黎曼假設(shè)的證據(jù)，更不用說(shuō)一個(gè)90歲的人來(lái)證明，”Atiyah 在接受外媒《新科學(xué)家》采訪時(shí)表示。但是，他希望他的演講能說(shuō)服批評(píng)者。

《新科學(xué)家》隨后聯(lián)系了一些數(shù)學(xué)家對(duì)Atiyah聲稱(chēng)的證據(jù)進(jìn)行評(píng)論，但他們都表示拒絕。近年來(lái)，Atiyah 已經(jīng)寫(xiě)了很多論文，但這些論文迄今為止未能說(shuō)服他的同行。

“人們常說(shuō) ‘?dāng)?shù)學(xué)家都是在他們40歲之前就把最好的工作做出來(lái)了’，”Atiyah 說(shuō)：“我想告訴他們，他們都錯(cuò)了。我90歲的時(shí)候也能做點(diǎn)什么。”

黎曼猜想為何這樣難證？與幻想的證明思路

德國(guó)海德堡獲獎(jiǎng)?wù)哒搲℉eidelberg Laureate Forum）是一個(gè)由國(guó)際頂級(jí)獎(jiǎng)項(xiàng)（圖靈獎(jiǎng)、阿貝爾獎(jiǎng)、林奈獎(jiǎng)、菲爾茲獎(jiǎng)）得主與青年學(xué)者交流的研討會(huì)，自 2013 年開(kāi)始舉辦，頂尖學(xué)者每年齊聚一堂，相關(guān)討論在數(shù)學(xué)屆甚至整個(gè)科學(xué)界都受到廣泛關(guān)注。在這樣一個(gè)大場(chǎng)合，倒配得上公布黎曼猜想得證的消息。

關(guān)于黎曼猜想及其證明究竟是什么，希望看到專(zhuān)業(yè)內(nèi)容表述的讀者，以下內(nèi)容來(lái)自知乎用戶(hù)稟臨科技聯(lián)合創(chuàng)始人PENG Bo的回答《黎曼猜想為何這樣難證？與幻想的證明思路》。新智元經(jīng)授權(quán)后將其轉(zhuǎn)載如下，原文鏈接：

https://zhuanlan.zhihu.com/p/29208150

在Atiyah大新聞前夕，把從前的這個(gè)草稿寫(xiě)完吧。本文的標(biāo)題是許多學(xué)數(shù)學(xué)的同學(xué)會(huì)問(wèn)過(guò)的問(wèn)題。如果能真正回答這個(gè)問(wèn)題，就離解決黎曼猜想（RH）不遠(yuǎn)，所以這個(gè)問(wèn)題很難回答。這里是從前的一點(diǎn)想法，請(qǐng)專(zhuān)家指正（沒(méi)接觸過(guò)這些的朋友可以看最后面，有個(gè)小問(wèn)題是容易懂的）。

今天網(wǎng)上流傳的Atiyah的5頁(yè)論文，黎曼猜想（目前大家還不確定是不是Atiyah寫(xiě)的）：傳聞Atiyah同時(shí)公布了一篇可能更厲害的論文（目前大家還不確定是不是Atiyah寫(xiě)的），算精密結(jié)構(gòu)常數(shù)（約等于1/137的那個(gè)）：

難點(diǎn)一：如果黎曼猜想（RH）被證否，并不會(huì)有特別嚴(yán)重的后果。

必然如此，如果有嚴(yán)重后果，那么就可以直接用反證法證明RH了。

可與費(fèi)馬大定理的情況比較。費(fèi)馬大定理如果是錯(cuò)誤的，那么橢圓曲線就沒(méi)有了modularity，這個(gè)給人的感覺(jué)不好。所以最終費(fèi)馬大定理更容易被證明。

但是如果RH有反例，只能說(shuō)明許多需要靠假設(shè)RH成立的定理需要重新找方法證，并不能說(shuō)明這些定理是錯(cuò)誤的。

歷史上有不少起初需要靠假設(shè)RH成立，后來(lái)就不需要的例子。如Gauss的類(lèi)數(shù)問(wèn)題，質(zhì)數(shù)分解的算法，等等。

所以，RH實(shí)際屬于，如果成立非常好，但如果不成立，好像天也不會(huì)塌下來(lái)，只能說(shuō)明質(zhì)數(shù)具有某種意想不到的"conspiracy"。

正如 Iwaniec 說(shuō)過(guò)的：

Analytic number theory is fortunate to have one of the most famous unsolved problems, the Riemann Hypothesis. Not so fortunately, this puts us in a defensive position, because outsiders who are unfamiliar with the depth of the problem, in their pursuit for the ultimate truth, tend to judge our abilities rather harshly. In concluding this talk I wish to emphasize my advocacy for analytic number theory by saying again that the theory flourishes with or without the Riemann Hypothesis. Actually, many brillian ideas have evolved while one was trying to avoid the Riemann Hypothesis, and results were found which cannot be derived from the Riemann Hypothesis. So, do not cry, there is a healthy life without the Riemann Hypothesis. I can imagine a clever person who proves the Riemann Hypothesis, only to be disappointed not to find new impotant applications. Well, an award of one million dollars should dry the tears; no applications are required!

難點(diǎn)二：關(guān)于zeta函數(shù)，目前的結(jié)論集中在functional equation即modularity即Langlands層面。但RH是更高一個(gè)層面的結(jié)論。

因?yàn)槿菀讓?xiě)出和Riemann zeta長(zhǎng)得很像而且也具有函數(shù)方程、解析延拓，但是不滿(mǎn)足相應(yīng)RH的Dirichlet級(jí)數(shù)，例如Davenport-Heilbronn的例子。

對(duì)于函數(shù)方程，我們?cè)诤芏鄗eta函數(shù)上都已經(jīng)會(huì)證。但是對(duì)于RH，我們連最簡(jiǎn)單的數(shù)論情況都不會(huì)證。

由于函數(shù)方程的層面是poisson summation / trace formula，個(gè)人的感覺(jué)是，可能trace formula并不足以對(duì)付RH。不過(guò)或許最廣義的Langlands還是有可能在這里起作用。

那么，如果說(shuō)函數(shù)方程、解析延拓（以及某些增長(zhǎng)速度之類(lèi)）還不足以推出RH，到底還需要Dirichlet級(jí)數(shù)的什么性質(zhì)？從Selberg class看，還需要的是Euler積。

看上去很普通的Euler積，其實(shí)是很神秘的。怎么正確用上Euler積是個(gè)問(wèn)題。

難點(diǎn)三：很難說(shuō)出RH在模形式那邊的對(duì)應(yīng)物。

很難說(shuō)"一個(gè)滿(mǎn)足RH的Dirichlet級(jí)數(shù)"在Mellin變換后會(huì)變成滿(mǎn)足什么性質(zhì)。所以這種道路似乎是困難的。

難點(diǎn)四：我們會(huì)證某些RH的類(lèi)似物，但不知道怎么把結(jié)果轉(zhuǎn)化到數(shù)域上。

經(jīng)典的例子是Weil猜想的情況。由于2維的Weil猜想可以通過(guò)考慮C x C證，所以許多人希望用類(lèi)似的辦法證RH，比如發(fā)展F_1然后看是不是可以把Z看成F_1 x_Z F_1。但目前還沒(méi)有人知道怎么做。Deligne對(duì)于高維Weil猜想的證明，實(shí)際在本質(zhì)上也是類(lèi)似的思路。

而且這又涉及到一個(gè)經(jīng)典問(wèn)題："frobenius in char. 0"是什么？無(wú)法回答。Connes的非對(duì)易幾何對(duì)此曾試圖有話(huà)要說(shuō)。

總之，幾何的方法，目前可以對(duì)付local field，對(duì)付char. p，對(duì)付函數(shù)方程，但仍然很難對(duì)付global field的RH。

還有一些很玄的方法，比如隨機(jī)矩陣，比如SpecZ是三維的，比如物理Hamiltonian的思路，等等等等。

大家知道，面對(duì)很難的猜想，大家攻擊不進(jìn)去，都會(huì)在它旁邊轉(zhuǎn)來(lái)轉(zhuǎn)去，有時(shí)轉(zhuǎn)來(lái)轉(zhuǎn)去就自動(dòng)開(kāi)了，更多的時(shí)候還是總得要暴力攻擊進(jìn)去。我覺(jué)得這些轉(zhuǎn)來(lái)轉(zhuǎn)去可能是越轉(zhuǎn)越難。

令人困惑的問(wèn)題仍然是：

怎么把Euler積這個(gè)條件正確地用上？

如果不用上這個(gè)條件，肯定不可能證出來(lái)RH。因?yàn)椴挥蒙暇陀蟹蠢?/p>

Naive地看，Euler積就是算術(shù)基本定理，就是class number 1，但然后又怎樣呢，不容易繼續(xù)。也許先找到怎么證special value的系列猜想（Beilinson / Tamagawa etc）會(huì)相對(duì)簡(jiǎn)單些。

結(jié)語(yǔ)：幻想的證明思路

雖然不知道怎么證，不過(guò)可以幻想怎么證。

我猜，Weil猜想的證明方法可能會(huì)有一點(diǎn)啟示。Deligne對(duì)于Weil猜想的證明，最終是靠一個(gè)常見(jiàn)而強(qiáng)大的技巧，考慮：

可以證明：

即：

令 k -> ∞，再運(yùn)用函數(shù)方程，證畢。

簡(jiǎn)單地說(shuō)，先證明能往中間推一點(diǎn)（k=1），然后找到【只要能推一點(diǎn)，就可以不斷往中間推】的辦法（k -> ∞），最終就推到中間了。

遺憾的是，對(duì)于RH，第一步目前仍然是做不到的。第二步也做不到，因?yàn)閆目前沒(méi)有合適的代數(shù)幾何結(jié)構(gòu)。

或者RH需要通過(guò)反證法證。那么需要找到足夠壞的反面推論。證明有了一個(gè)壞零，就可以越推越荒唐（有某種“動(dòng)力系統(tǒng)”）。這個(gè)過(guò)程肯定是需要函數(shù)方程和跡公式，更奇怪的還是怎么用Euler積。用通俗的話(huà)說(shuō)，要證明這么難的問(wèn)題，肯定需要將所有條件都用上。

這種反證法有點(diǎn)類(lèi)似現(xiàn)在傳聞的Atiyah的5頁(yè)證明的一些方法。這個(gè)傳聞的5頁(yè)證明很神，好像都沒(méi)看到函數(shù)方程用在哪里...所以不知道真?zhèn)巍?/p>

我不相信RH可以用純解析的方法證。從前Branges的證明是純解析，現(xiàn)在傳聞的Atiyah好像也是純解析。zeta有很多解析性質(zhì)，但并不是zeta獨(dú)有的，例如像zeta universality之類(lèi)的東西都不是獨(dú)有的，我認(rèn)為都是不足夠證明RH的。

說(shuō)起來(lái)，很欣賞望月新一對(duì)于BSD的某句話(huà)，他說(shuō)我們要走得更深，考慮像加法和乘法這種操作的本身的變形。也許只有這樣，才能給我們足夠的靈活性去證明那些最難的結(jié)論。

返璞歸真：Error term問(wèn)題

其實(shí)，RH最返璞歸真地從代數(shù)的角度看，是對(duì)于error term的估計(jì)。但是error term的問(wèn)題很難，我們連高斯圓問(wèn)題都證不出來(lái)。這里以后也許會(huì)成為一種突破口，先把高斯圓問(wèn)題給解決再談RH吧。高斯圓問(wèn)題現(xiàn)在都是用純解析方法推，目標(biāo)是0.5+ε，目前推到131/208=0.6298...就推不動(dòng)了。

下面介紹高斯圓問(wèn)題，又叫圓內(nèi)整點(diǎn)問(wèn)題。大家可以多關(guān)注這個(gè)問(wèn)題。我們?cè)诟顸c(diǎn)紙上畫(huà)個(gè)半徑為r的圓，里面當(dāng)然大致就有 pi r^2 個(gè)格點(diǎn)。

那么這個(gè)估計(jì)的誤差 E(r) 是多少呢？

很明顯肯定是O(r)，因?yàn)檎`差首先約等于圓的邊長(zhǎng)（這是很漂亮的幾何觀點(diǎn)，其實(shí) class number formula 就是這樣來(lái)的），例如高斯證明了：

但是圓很規(guī)則，實(shí)際上誤差更小，大家猜是：

用Voronoi可以證O(r^{2/3})，現(xiàn)在可以證明到O(r^{131/208})。這個(gè)問(wèn)題屬于看上去很簡(jiǎn)單，實(shí)際非常難。有興趣的可以想想。

下面繼續(xù)看RH。民間數(shù)學(xué)家最流行的是證明哥德巴赫猜想，然后是費(fèi)馬大定理，因?yàn)檫@兩個(gè)的表述足夠簡(jiǎn)單。RH的解析表述讓民間數(shù)學(xué)家看不懂。不過(guò)如果把RH寫(xiě)成error term的等價(jià)命題：

或者M(jìn)ertens函數(shù)的等價(jià)命題，民間數(shù)學(xué)家就也可以看懂了。

但是代數(shù)的方法目前很弱，連prime number theorem都做不動(dòng)。現(xiàn)在還沒(méi)有神奇的可以進(jìn)攻error term問(wèn)題的代數(shù)方法。如果RH最終證明同時(shí)用很深的代數(shù)和解析，那么肯定是一個(gè)很漂亮的證明。