一分鐘看懂黎曼猜想及其被證明的意義

一分鐘看懂黎曼猜想及其被證明的意義

“黎曼猜想”是數(shù)學(xué)界迄今最重要的猜想之一，被克雷數(shù)學(xué)研究所列為“有待解決的七大千禧問題”，并懸賞100萬美元給第一個提供證明或證偽的人。

黎曼猜想之所以重要，主要是因?yàn)樵诂F(xiàn)代數(shù)學(xué)中，有很多深入和重要的數(shù)學(xué)、物理結(jié)果都能在它成立的前提下得到證明。如今，大部分的數(shù)學(xué)家都傾向于相信黎曼猜想是正確的。

因此，如果黎曼猜想被證明，大家都松了一口氣，我們得到了一項(xiàng)很好的數(shù)學(xué)工具；但是，如果黎曼猜想被證偽，那很多數(shù)學(xué)、物理結(jié)果都得推翻重來。

伯恩哈德 · 黎曼（Bernhard Riemann，1826-1866）

黎曼猜想最初于 1859 年由德國數(shù)學(xué)家波恩哈德·黎曼提出。簡單說，就是根據(jù)一個重要的數(shù)學(xué)公式，能夠畫出無窮多個點(diǎn)。黎曼猜測說，這些點(diǎn)有一定的排列規(guī)律，一部分在一條橫線上，另一部分則在一條豎線上，所有這些點(diǎn)都在這兩條直線上排列，無一例外。

黎曼 Zeta 函數(shù)可視化

由于這些點(diǎn)有無窮多個，所以理論上是沒有辦法證明是不是所有的點(diǎn)都在這兩條線上，因?yàn)橛肋h(yuǎn)也驗(yàn)證不完。

但是，只要找到了一個點(diǎn)不在線上，那就推翻了黎曼猜想。

現(xiàn)在，數(shù)學(xué)家使用計(jì)算機(jī)，已經(jīng)驗(yàn)證了最初的15億個這樣的點(diǎn)，全都符合黎曼猜想的排列規(guī)律。不過，至今尚無人給出完整的理論證明。

因此，3天前，2018年的德國海德堡獲獎?wù)?a href="http://ttokpm.com/article/bbs/" target="_blank">論壇日程公布，Michael Atiyah 將會做一場關(guān)于 “證明黎曼猜想” 的報(bào)告的消息便迅速傳遍世界，無論是數(shù)學(xué)、物理還是計(jì)算機(jī)，甚至完全不相干的各路吃瓜群眾，全都開始關(guān)注這一焦點(diǎn)。

黎曼猜想為何這樣難證？與幻想的證明思路

德國海德堡獲獎?wù)哒搲℉eidelberg Laureate Forum）是一個由國際頂級獎項(xiàng)（圖靈獎、阿貝爾獎、林奈獎、菲爾茲獎）得主與青年學(xué)者交流的研討會，自 2013 年開始舉辦，頂尖學(xué)者每年齊聚一堂，相關(guān)討論在數(shù)學(xué)屆甚至整個科學(xué)界都受到廣泛關(guān)注。在這樣一個大場合，倒配得上公布黎曼猜想得證的消息。

在Atiyah大新聞前夕，把從前的這個草稿寫完吧。本文的標(biāo)題是許多學(xué)數(shù)學(xué)的同學(xué)會問過的問題。如果能真正回答這個問題，就離解決黎曼猜想（RH）不遠(yuǎn)，所以這個問題很難回答。這里是從前的一點(diǎn)想法，請專家指正（沒接觸過這些的朋友可以看最后面，有個小問題是容易懂的）。

今天網(wǎng)上流傳的Atiyah的5頁論文，黎曼猜想（目前大家還不確定是不是Atiyah寫的）：傳聞Atiyah同時公布了一篇可能更厲害的論文（目前大家還不確定是不是Atiyah寫的），算精密結(jié)構(gòu)常數(shù)（約等于1/137的那個）：

難點(diǎn)一：如果黎曼猜想（RH）被證否，并不會有特別嚴(yán)重的后果。

必然如此，如果有嚴(yán)重后果，那么就可以直接用反證法證明RH了。

可與費(fèi)馬大定理的情況比較。費(fèi)馬大定理如果是錯誤的，那么橢圓曲線就沒有了modularity，這個給人的感覺不好。所以最終費(fèi)馬大定理更容易被證明。

但是如果RH有反例，只能說明許多需要靠假設(shè)RH成立的定理需要重新找方法證，并不能說明這些定理是錯誤的。

歷史上有不少起初需要靠假設(shè)RH成立，后來就不需要的例子。如Gauss的類數(shù)問題，質(zhì)數(shù)分解的算法，等等。

所以，RH實(shí)際屬于，如果成立非常好，但如果不成立，好像天也不會塌下來，只能說明質(zhì)數(shù)具有某種意想不到的"conspiracy"。

正如 Iwaniec 說過的：

Analytic number theory is fortunate to have one of the most famous unsolved problems, the Riemann Hypothesis. Not so fortunately, this puts us in a defensive position, because outsiders who are unfamiliar with the depth of the problem, in their pursuit for the ultimate truth, tend to judge our abilities rather harshly. In concluding this talk I wish to emphasize my advocacy for analytic number theory by saying again that the theory flourishes with or without the Riemann Hypothesis. Actually, many brillian ideas have evolved while one was trying to avoid the Riemann Hypothesis, and results were found which cannot be derived from the Riemann Hypothesis. So, do not cry, there is a healthy life without the Riemann Hypothesis. I can imagine a clever person who proves the Riemann Hypothesis, only to be disappointed not to find new impotant applications. Well, an award of one million dollars should dry the tears; no applications are required!

難點(diǎn)二：關(guān)于zeta函數(shù)，目前的結(jié)論集中在functional equation即modularity即Langlands層面。但RH是更高一個層面的結(jié)論。

因?yàn)槿菀讓懗龊蚏iemann zeta長得很像而且也具有函數(shù)方程、解析延拓，但是不滿足相應(yīng)RH的Dirichlet級數(shù)，例如Davenport-Heilbronn的例子。

對于函數(shù)方程，我們在很多zeta函數(shù)上都已經(jīng)會證。但是對于RH，我們連最簡單的數(shù)論情況都不會證。

由于函數(shù)方程的層面是poisson summation / trace formula，個人的感覺是，可能trace formula并不足以對付RH。不過或許最廣義的Langlands還是有可能在這里起作用。

那么，如果說函數(shù)方程、解析延拓（以及某些增長速度之類）還不足以推出RH，到底還需要Dirichlet級數(shù)的什么性質(zhì)？從Selberg class看，還需要的是Euler積。

看上去很普通的Euler積，其實(shí)是很神秘的。怎么正確用上Euler積是個問題。

難點(diǎn)三：很難說出RH在模形式那邊的對應(yīng)物。

很難說"一個滿足RH的Dirichlet級數(shù)"在Mellin變換后會變成滿足什么性質(zhì)。所以這種道路似乎是困難的。

難點(diǎn)四：我們會證某些RH的類似物，但不知道怎么把結(jié)果轉(zhuǎn)化到數(shù)域上。

經(jīng)典的例子是Weil猜想的情況。由于2維的Weil猜想可以通過考慮C x C證，所以許多人希望用類似的辦法證RH，比如發(fā)展F_1然后看是不是可以把Z看成F_1 x_Z F_1。但目前還沒有人知道怎么做。Deligne對于高維Weil猜想的證明，實(shí)際在本質(zhì)上也是類似的思路。

而且這又涉及到一個經(jīng)典問題："frobenius in char. 0"是什么？無法回答。Connes的非對易幾何對此曾試圖有話要說。

總之，幾何的方法，目前可以對付local field，對付char. p，對付函數(shù)方程，但仍然很難對付global field的RH。

還有一些很玄的方法，比如隨機(jī)矩陣，比如SpecZ是三維的，比如物理Hamiltonian的思路，等等等等。

大家知道，面對很難的猜想，大家攻擊不進(jìn)去，都會在它旁邊轉(zhuǎn)來轉(zhuǎn)去，有時轉(zhuǎn)來轉(zhuǎn)去就自動開了，更多的時候還是總得要暴力攻擊進(jìn)去。我覺得這些轉(zhuǎn)來轉(zhuǎn)去可能是越轉(zhuǎn)越難。

令人困惑的問題仍然是：

怎么把Euler積這個條件正確地用上？

如果不用上這個條件，肯定不可能證出來RH。因?yàn)椴挥蒙暇陀蟹蠢?/p>

Naive地看，Euler積就是算術(shù)基本定理，就是class number 1，但然后又怎樣呢，不容易繼續(xù)。也許先找到怎么證special value的系列猜想（Beilinson / Tamagawa etc）會相對簡單些。

結(jié)語：幻想的證明思路

雖然不知道怎么證，不過可以幻想怎么證。

我猜，Weil猜想的證明方法可能會有一點(diǎn)啟示。Deligne對于Weil猜想的證明，最終是靠一個常見而強(qiáng)大的技巧，考慮：

可以證明：

即：

令 k -> ∞，再運(yùn)用函數(shù)方程，證畢。

簡單地說，先證明能往中間推一點(diǎn)（k=1），然后找到【只要能推一點(diǎn)，就可以不斷往中間推】的辦法（k -> ∞），最終就推到中間了。

遺憾的是，對于RH，第一步目前仍然是做不到的。第二步也做不到，因?yàn)閆目前沒有合適的代數(shù)幾何結(jié)構(gòu)。

或者RH需要通過反證法證。那么需要找到足夠壞的反面推論。證明有了一個壞零，就可以越推越荒唐（有某種“動力系統(tǒng)”）。這個過程肯定是需要函數(shù)方程和跡公式，更奇怪的還是怎么用Euler積。用通俗的話說，要證明這么難的問題，肯定需要將所有條件都用上。

這種反證法有點(diǎn)類似現(xiàn)在傳聞的Atiyah的5頁證明的一些方法。這個傳聞的5頁證明很神，好像都沒看到函數(shù)方程用在哪里...所以不知道真?zhèn)巍?/p>

我不相信RH可以用純解析的方法證。從前Branges的證明是純解析，現(xiàn)在傳聞的Atiyah好像也是純解析。zeta有很多解析性質(zhì)，但并不是zeta獨(dú)有的，例如像zeta universality之類的東西都不是獨(dú)有的，我認(rèn)為都是不足夠證明RH的。

說起來，很欣賞望月新一對于BSD的某句話，他說我們要走得更深，考慮像加法和乘法這種操作的本身的變形。也許只有這樣，才能給我們足夠的靈活性去證明那些最難的結(jié)論。

返璞歸真：Error term問題

其實(shí)，RH最返璞歸真地從代數(shù)的角度看，是對于error term的估計(jì)。但是error term的問題很難，我們連高斯圓問題都證不出來。這里以后也許會成為一種突破口，先把高斯圓問題給解決再談RH吧。高斯圓問題現(xiàn)在都是用純解析方法推，目標(biāo)是0.5+ε，目前推到131/208=0.6298...就推不動了。

下面介紹高斯圓問題，又叫圓內(nèi)整點(diǎn)問題。大家可以多關(guān)注這個問題。我們在格點(diǎn)紙上畫個半徑為r的圓，里面當(dāng)然大致就有 pi r^2 個格點(diǎn)。

那么這個估計(jì)的誤差 E(r) 是多少呢？

很明顯肯定是O(r)，因?yàn)檎`差首先約等于圓的邊長（這是很漂亮的幾何觀點(diǎn)，其實(shí) class number formula 就是這樣來的），例如高斯證明了：

但是圓很規(guī)則，實(shí)際上誤差更小，大家猜是：

用Voronoi可以證O(r^{2/3})，現(xiàn)在可以證明到O(r^{131/208})。這個問題屬于看上去很簡單，實(shí)際非常難。有興趣的可以想想。

下面繼續(xù)看RH。民間數(shù)學(xué)家最流行的是證明哥德巴赫猜想，然后是費(fèi)馬大定理，因?yàn)檫@兩個的表述足夠簡單。RH的解析表述讓民間數(shù)學(xué)家看不懂。不過如果把RH寫成error term的等價命題：

或者M(jìn)ertens函數(shù)的等價命題，民間數(shù)學(xué)家就也可以看懂了。

但是代數(shù)的方法目前很弱，連prime number theorem都做不動?，F(xiàn)在還沒有神奇的可以進(jìn)攻error term問題的代數(shù)方法。如果RH最終證明同時用很深的代數(shù)和解析，那么肯定是一個很漂亮的證明。

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