正負(fù)號(hào)二進(jìn)制數(shù)

有符號(hào)二進(jìn)制數(shù)使用MSB作為符號(hào)位來(lái)顯示正數(shù)或負(fù)數(shù)的范圍

在數(shù)學(xué)中，正數(shù)（包括零）表示為無(wú)符號(hào)數(shù)。也就是說(shuō)，我們不會(huì)在它們前面加上+ ve符號(hào)來(lái)表明它們是正數(shù)。

然而，在處理負(fù)數(shù)時(shí)我們會(huì)在數(shù)字前面使用-ve符號(hào)來(lái)顯示該值為負(fù)值且與正無(wú)符號(hào)值不同，帶符號(hào)二進(jìn)制數(shù)也是如此。

但是，在數(shù)字電路中沒(méi)有規(guī)定因?yàn)閿?shù)字系統(tǒng)使用以“0”和“1”表示的二進(jìn)制數(shù)來(lái)操作，所以在數(shù)字上加上一個(gè)加號(hào)或一個(gè)減號(hào)。當(dāng)在微電子學(xué)中一起使用時(shí)，這些“1”和“0”被稱(chēng)為位（是BInary digiT的收縮），分為幾個(gè)范圍大小的數(shù)字，這些數(shù)字由通用名稱(chēng)引用，例如 byte 或 word 。

我們之前也看到過(guò)一個(gè)8位二進(jìn)制數(shù)（一個(gè)字節(jié)）的值可以是0（00000000 2 ）到255（11111111 2 ），即2 8 = 256個(gè)不同的位組合，形成一個(gè)8位字節(jié)。因此，例如無(wú)符號(hào)二進(jìn)制數(shù)，例如：01001101 2 = 64 + 8 + 4 + 1 = 77 10 十進(jìn)制。但數(shù)字系統(tǒng)和計(jì)算機(jī)也必須能夠使用和操縱負(fù)數(shù)以及正數(shù)。

數(shù)學(xué)數(shù)字通常由符號(hào)和值（幅度）組成，其中符號(hào)表示是否數(shù)字為正數(shù)（ + ）或負(fù)數(shù)，（ - ），其值指示數(shù)字的大小，例如23，+ 156或-274。呈現(xiàn)數(shù)字是這種方式稱(chēng)為“符號(hào) - 幅度”表示，因?yàn)樽钭筮叺臄?shù)字可用于指示符號(hào)，其余數(shù)字表示數(shù)字的大小或值。

符號(hào)幅度表示法是最簡(jiǎn)單的一種最常用的方法，用于表示零的任一側(cè)的正負(fù)數(shù)（ 0 ）。因此，簡(jiǎn)單地通過(guò)改變相應(yīng)正數(shù)的符號(hào)來(lái)獲得負(fù)數(shù)，因?yàn)槊總€(gè)正數(shù)或無(wú)符號(hào)數(shù)將具有相反的符號(hào)，例如，+ 2和-2，+ 10和-10等。

但是，如果我們所擁有的只是一堆零和零，我們?nèi)绾伪硎居蟹?hào)的二進(jìn)制數(shù)。我們知道二進(jìn)制數(shù)字或位只有兩個(gè)值，“1”或“0”，對(duì)我們來(lái)說(shuō)很方便，一個(gè)符號(hào)也只有兩個(gè)值，即“+”或者“-”。

然后我們可以使用單個(gè)位來(lái)識(shí)別帶符號(hào)二進(jìn)制數(shù)的符號(hào)，使其值為正值或負(fù)值。因此，為了表示正二進(jìn)制數(shù)（ + n ）和負(fù)數(shù)（ -n ）二進(jìn)制數(shù)，我們可以在添加符號(hào)時(shí)使用它們。

對(duì)于帶符號(hào)的二進(jìn)制數(shù)，最高有效位（MSB）用作符號(hào)位。如果符號(hào)位為“0”，則表示該值為正值。如果符號(hào)位為“1”，則該值為負(fù)值。數(shù)字中的其余位用于表示通常的無(wú)符號(hào)二進(jìn)制數(shù)格式方式的二進(jìn)制數(shù)的大小。

然后我們可以看到Sign-and-Magnitude（SM）表示法存儲(chǔ)正數(shù)和通過(guò)將“n”個(gè)總比特分成兩部分的負(fù)值：符號(hào)為1比特，而純二進(jìn)制數(shù)值為n-1比特。例如，十進(jìn)制數(shù)53可以表示為8位帶符號(hào)二進(jìn)制數(shù)，如下所示。

正有符號(hào)二進(jìn)制數(shù)

負(fù)號(hào)有符號(hào)二進(jìn)制數(shù)

這里的缺點(diǎn)是在我們有一個(gè)全范圍 n位無(wú)符號(hào)二進(jìn)制數(shù)，我們現(xiàn)在有一個(gè) n-1位帶符號(hào)的二進(jìn)制數(shù)，它給出了一個(gè)減少的數(shù)字范圍：

-2 （n-1）到+ 2 （n-1）

所以例如：如果我們有4位代表一個(gè)帶符號(hào)二進(jìn)制數(shù)，（符號(hào)位為1位，幅度位為為3位），那么我們可以用符號(hào)幅度表示法表示的實(shí)際數(shù)字范圍將是：

-2 （4-1） -1to + 2 （4-1） -1

<跨度> -2 （3） -1to + 2 （3） -1

<跨度> -7to + 7

以前，無(wú)符號(hào)4位二進(jìn)制數(shù)的范圍是從 0 到 15 ，或 0 到 F （十六進(jìn)制），我們現(xiàn)在的范圍縮小到-7到+7。因此，無(wú)符號(hào)二進(jìn)制數(shù)沒(méi)有單個(gè)符號(hào)位，因此可以具有更大的二進(jìn)制范圍，因?yàn)樽罡哂行唬∕SB）只是一個(gè)額外的位或數(shù)字而不是使用的符號(hào)位。

符號(hào)量形式的另一個(gè)缺點(diǎn)是，我們可以得到零，+ 0或0000 2 的正結(jié)果，零，-0或1000 2 。兩者都有效但哪一個(gè)是正確的。

有符號(hào)二進(jìn)制數(shù)示例No1

使用符號(hào)幅度格式將以下十進(jìn)制值轉(zhuǎn)換為帶符號(hào)的二進(jìn)制數(shù)：

注意，對(duì)于4位，6位，8位，16位或32位有符號(hào)二進(jìn)制數(shù)，所有位必須有一個(gè)值，因此“0”用于填充之間的空格。最左邊的符號(hào)位和第一個(gè)或最高的值“1”。

二進(jìn)制數(shù)的符號(hào)幅度表示是一種使用和理解的簡(jiǎn)單方法，用于表示帶符號(hào)的二進(jìn)制數(shù)，因?yàn)槲覀兪褂眠@個(gè)系統(tǒng)所有的在數(shù)學(xué)中使用正常的十進(jìn)制（基數(shù)為10）的數(shù)字。如果二進(jìn)制數(shù)為負(fù)數(shù)，則在其前面加“1”，如果為正數(shù)，則在“0”加“0”。

然而，使用這種符號(hào)幅度方法可能導(dǎo)致兩種不同的位模式具有相同二進(jìn)制值的可能性。例如， + 0 和 -0 分別為 0000 和 1000 作為帶符號(hào)的4位二進(jìn)制數(shù)。所以我們可以看到使用這種方法可以有兩個(gè)零表示，一個(gè)正零（ 0 000 2 ），也可以是負(fù)零（ 1 000 2 ）這可能會(huì)給計(jì)算機(jī)和數(shù)字系統(tǒng)帶來(lái)很大的復(fù)雜性。

對(duì)符號(hào)二進(jìn)制文件的補(bǔ)充數(shù)字

一個(gè)補(bǔ)語(yǔ)或1的補(bǔ)語(yǔ)，因?yàn)樗脖环Q(chēng)為，是另一種方法，我們可以用來(lái)表示帶符號(hào)二進(jìn)制數(shù)的負(fù)二進(jìn)制數(shù)系統(tǒng)。在一個(gè)補(bǔ)碼中，正數(shù)（也稱(chēng)為非補(bǔ)數(shù)）與符號(hào)幅度數(shù)一樣保持不變。

然而，負(fù)數(shù)表示為取一個(gè)的補(bǔ)數(shù)（反轉(zhuǎn)，否定）無(wú)符號(hào)正數(shù)。由于正數(shù)始終以“0”開(kāi)頭，因此補(bǔ)碼始終以“1”開(kāi)頭以表示負(fù)數(shù)。

負(fù)二進(jìn)制數(shù)的一個(gè)補(bǔ)碼是其正對(duì)應(yīng)的補(bǔ)碼，所以要取二進(jìn)制數(shù)的一個(gè)補(bǔ)碼，我們需要做的就是依次改變每一位。因此，“1”的一個(gè)補(bǔ)碼是“0”，反之亦然，那么 10010100 2 的一個(gè)補(bǔ)碼就是 01101011 2 因?yàn)樗械?都變?yōu)?而0變?yōu)?。

在構(gòu)建數(shù)字算術(shù)或邏輯解碼器電路時(shí)，找到一個(gè)有符號(hào)二進(jìn)制數(shù)的補(bǔ)碼的最簡(jiǎn)單方法是使用逆變器。逆變器自然是補(bǔ)碼發(fā)生器，并且可以并聯(lián)使用以找到任何二進(jìn)制數(shù)的1的補(bǔ)碼，如圖所示。

1使用逆變器補(bǔ)充

然后我們可以看到很容易找到二進(jìn)制數(shù) N 的補(bǔ)碼，因?yàn)槲覀兯枰龅闹皇歉淖?到0和0到1給我們一個(gè) -N 等價(jià)物。也就像前面的符號(hào)幅度表示一樣，一個(gè)補(bǔ)碼也可以有n位表示法來(lái)表示以下范圍內(nèi)的數(shù)字： -2 （n-1） 和 +2 （n-1） - 1 。例如，一個(gè)補(bǔ)碼格式的4位表示可用于表示從-7到+7的十進(jìn)制數(shù)，其中兩個(gè)表示為零： 0000 （+0）和 1111 （ - 0）與以前相同。

使用一個(gè)補(bǔ)語(yǔ)的加法和減法

一個(gè)補(bǔ)語(yǔ)的一個(gè)主要優(yōu)點(diǎn)是加法和減法兩個(gè)二進(jìn)制數(shù)。在數(shù)學(xué)中，減法可以以各種不同的方式實(shí)現(xiàn)，如 A-B ，與 A +（ - B）或 -B + A相同等。因此，減去兩個(gè)二進(jìn)制數(shù)的復(fù)雜性可以通過(guò)簡(jiǎn)單地使用加法來(lái)執(zhí)行。

我們?cè)诙M(jìn)制加法器教程中看到，二進(jìn)制加法遵循與正常加法相同的規(guī)則，除了在二進(jìn)制中只有兩位（數(shù)字），最大的數(shù)字是“1”，（就像“9”是最大的十進(jìn)制數(shù)字），因此二進(jìn)制加法的可能組合如下：

當(dāng)要添加的兩個(gè)數(shù)字都是正數(shù)時(shí)，總和 A + B ，它們可以通過(guò)直接總和加在一起（包括數(shù)字和位符號(hào)），因?yàn)楫?dāng)單個(gè)位加在一起時(shí)，“0 + 0”，“0 + 1”或“1 + 0”導(dǎo)致總和為“0”或“1”。這是因?yàn)楫?dāng)我們想要加在一起的兩個(gè)比特是奇數(shù)（“0”+“1”或“1 + 0”），結(jié)果是“1”。同樣，當(dāng)要加在一起的兩個(gè)比特是偶數(shù)（“0 + 0”）或“1 + 1”）結(jié)果為“0”，直到你得到“1 + 1”，然后總和等于“0”加上進(jìn)位“1”。讓我們看一個(gè)簡(jiǎn)單的例子。

減去兩個(gè)二進(jìn)制數(shù)

需要一個(gè)8位數(shù)字系統(tǒng)使用一個(gè)補(bǔ)碼相互減去以下兩個(gè)數(shù)字115和27.所以在十進(jìn)制中這將是： 115- 27 = 88

首先，我們需要將兩個(gè)十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)，并通過(guò)添加前導(dǎo)零來(lái)確保每個(gè)數(shù)字具有相同的位數(shù)，以產(chǎn)生一個(gè)8位數(shù)（字節(jié)）。因此：

二進(jìn)制

115 10 ： 01110011 2

27二進(jìn)制的 10 是： 00011011 2

現(xiàn)在我們需要找到第二個(gè)二進(jìn)制的補(bǔ)碼編號(hào)，（ 00011011 ），同時(shí)保留第一個(gè)數(shù)字（ 01110011 ）。因此，通過(guò)將所有1改為0并將0改為1，因此 00011011 的補(bǔ)碼等于 11100100 。

添加第一個(gè)數(shù)字和第二個(gè)數(shù)字的補(bǔ)碼給出：

由于數(shù)字系統(tǒng)要使用8位，因此只有前8位用于提供求和的答案，我們只是忽略最后一位（第9位）。該位稱(chēng)為“溢出”位。當(dāng)最重要（最左側(cè)）列的總和產(chǎn)生結(jié)轉(zhuǎn)時(shí)發(fā)生溢出。該溢出或進(jìn)位可以完全忽略或傳遞到下一個(gè)數(shù)字部分以用于其計(jì)算。溢出表明答案是肯定的。如果沒(méi)有溢出，那么答案是否定的。

上面的8位結(jié)果是： 01010111 （溢出“1”取消）并將其從我們現(xiàn)在必須在一個(gè)補(bǔ)碼結(jié)果中添加“1”的實(shí)際答案的一個(gè)補(bǔ)碼答案：

所以從115中減去27（ 00011011 2 ）的結(jié)果（ 01110011 2 ）使用二進(jìn)制1的補(bǔ)碼給出答案： 01011000 2 或（64 + 16 + 8）= 88 10 。

然后我們可以看到使用One's Complement和添加過(guò)程可以相互減去有符號(hào)或無(wú)符號(hào)二進(jìn)制數(shù)。二進(jìn)制加法器（如TTL 74LS83或74LS283）可用于加或減兩個(gè)4位有符號(hào)二進(jìn)制數(shù)或級(jí)聯(lián)在一起以生成帶有進(jìn)位的8位加法器。

對(duì)符號(hào)的二進(jìn)制補(bǔ)碼二進(jìn)制數(shù)

兩個(gè)補(bǔ)語(yǔ)或2的補(bǔ)語(yǔ)因?yàn)樗脖环Q(chēng)為，是另一個(gè)方法，如前一個(gè)符號(hào)幅度和一個(gè)補(bǔ)碼形式，我們可用于表示帶符號(hào)二進(jìn)制數(shù)系統(tǒng)中的負(fù)二進(jìn)制數(shù)。在二進(jìn)制補(bǔ)碼中，正數(shù)與無(wú)符號(hào)二進(jìn)制數(shù)完全相同。然而，負(fù)數(shù)由二進(jìn)制數(shù)表示，當(dāng)加到其對(duì)應(yīng)的正等效時(shí)，結(jié)果為零。

在二進(jìn)制補(bǔ)碼形式中，負(fù)數(shù)是其正數(shù)的2的補(bǔ)碼。使用與以前基本相同的過(guò)程減去兩個(gè)數(shù)字 A-B = A +（B的2的補(bǔ)碼），兩個(gè)補(bǔ)碼是一個(gè)補(bǔ)碼+1。

主要與前一個(gè)補(bǔ)碼相比，二進(jìn)制補(bǔ)碼的優(yōu)點(diǎn)是沒(méi)有雙零問(wèn)題，而且生成有符號(hào)二進(jìn)制數(shù)的二進(jìn)制補(bǔ)碼要容易得多。因此，當(dāng)數(shù)字以二進(jìn)制補(bǔ)碼格式表示時(shí)，算術(shù)運(yùn)算相對(duì)容易執(zhí)行。

讓我們看看使用二進(jìn)制補(bǔ)碼從上面減去兩個(gè)8位數(shù)115和27，我們從上面記得二進(jìn)制等價(jià)物是：

二進(jìn)制

115 10 ： 01110011 2

27二進(jìn)制的 10 是： 00011011 2

我們的數(shù)字是8位長(zhǎng)，然后有2 8 數(shù)字可用于表示我們的值，在二進(jìn)制中這等于： 100000000 2 或 256 10 。那么27 10 的兩個(gè)補(bǔ)碼將是：

（2 8 ） 2 -00011011 = 100000000 -00011011 = 11100101 2

第二個(gè)負(fù)數(shù)的互補(bǔ)意味著減法變得更容易添加兩個(gè)數(shù)，因此總和是： 115+（27的2的補(bǔ)碼）：

01110011 + 11100101 =101011000 2

如前所述，第9個(gè)溢出位被忽略，因?yàn)槲覀冎粚?duì)前8位感興趣，因此結(jié)果是： 01011000 2 或（64 + 16 + 8）= 88 10 十進(jìn)制，與之前相同。

有符號(hào)二進(jìn)制數(shù)總結(jié)

我們已經(jīng)看到，可以使用最高有效位（MSB）作為符號(hào)位來(lái)表示負(fù)二進(jìn)制數(shù)。如果對(duì) n位二進(jìn)制數(shù)進(jìn)行了簽名，則最左邊的位用于表示留下 n-1位的符號(hào)來(lái)表示該數(shù)字。

例如，在4位二進(jìn)制數(shù)中，這只留下3位來(lái)保存實(shí)際數(shù)字。但是，如果二進(jìn)制數(shù)是無(wú)符號(hào)的，則所有位都可用于表示數(shù)字。

帶符號(hào)二進(jìn)制數(shù)的表示通常稱(chēng)為符號(hào)幅度表示法如果符號(hào)位為“0”，則數(shù)字為正。如果符號(hào)位為“1”，則該數(shù)字為負(fù)數(shù)。在處理二進(jìn)制算術(shù)運(yùn)算時(shí)，使用負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼會(huì)更方便。

補(bǔ)充是表示負(fù)二進(jìn)制數(shù)的另一種方法。這種替代編碼系統(tǒng)允許通過(guò)使用簡(jiǎn)單加法減去負(fù)數(shù)。

由于正符號(hào)幅度數(shù)始終以零（0）開(kāi)始，因此其補(bǔ)碼始終以一（1）開(kāi)始表示負(fù)數(shù)，如下表所示。

4位有符號(hào)二進(jìn)制數(shù)比較

二進(jìn)制數(shù)的有符號(hào)補(bǔ)碼形式可以使用1的補(bǔ)碼或2的補(bǔ)碼。 1的補(bǔ)碼和二進(jìn)制數(shù)的2的補(bǔ)碼很重要，因?yàn)樗鼈冊(cè)试S表示負(fù)數(shù)。

2的補(bǔ)碼算法通常用于計(jì)算機(jī)處理負(fù)數(shù)，唯一的缺點(diǎn)是如果我們想用簽名的二進(jìn)制數(shù)格式表示負(fù)二進(jìn)制數(shù)，我們必須放棄以前的正數(shù)范圍。