數(shù)制與進(jìn)位記數(shù)法

數(shù)制與進(jìn)位記數(shù)法

　　在采用進(jìn)位記數(shù)的數(shù)字系統(tǒng)中, 如果只用r個(gè)基本符號 (例如0,1,2,…r-1) 、通過排列起來的符號串表示數(shù)值，則稱其為基r數(shù)制(Radix-r Number System)， r稱為該數(shù)制的基(Radix)。假定用m+k個(gè)自左向右排列的符號Ｄi（－k≤i≤m-1）表示數(shù)值N，即
　　　　N = Dm-1 Dm-2 … D1 D0 D-1 D-2 …D-k （2.1）
　　式中的Di（-k≤i≤m-1）為該數(shù)制采用的基本符號，可取值0、1、2、…、r-1，小數(shù)點(diǎn)位置隱含在 D0與D-1位之間, 則Dm-1 … D0 為N的整數(shù)部分，D-1 … D-n 為N的小數(shù)部分。

　　如果每個(gè) Di 的單位值都賦以固定的值Wi ，則稱Wi 為該位的權(quán) (Weight) , 此時(shí)的數(shù)制稱為有權(quán)的基r數(shù)制(Weighted Radix-r Number System)。此時(shí)N代表的實(shí)際值可表示為:
　　　　 　　m-1
　　　　N = ∑ Di * Wi （2.2）
　　　　　　i= -k

　　如果該數(shù)制編碼還符合 "逢r進(jìn)位"的規(guī)則, 則每位的權(quán)(簡稱位權(quán))可表示為:
　　　　Wi = ri

　　式中的r是數(shù)制的基，i為位序號。式 (2.2) 又可以寫為:
　　　　 　　m-1
　　　　N = ∑ Di * ri (2.3)
　　　　　　i = -k

　　式中的符號：
　　r 是這個(gè)數(shù)制的基（Radix）
　　i 表示這些符號的排列次序，即位序號
　　Di 是位序號為i的一位上的符號
　　ri 是第i位上的一個(gè)1所代表的值（位權(quán)）
　　Di * ri 是第i位上的符號所代表的實(shí)際值
　　∑ 表示對m+k位的各位的值執(zhí)行累加求和
　　N 代表一個(gè)數(shù)值

　　此時(shí)該數(shù)制被稱為r進(jìn)位數(shù)制 (Positional Radix-r Number System), 簡稱r進(jìn)制。下面是計(jì)算機(jī)中常用的幾種進(jìn)位數(shù)制：
　　二進(jìn)制 r=2, 基本符號 0,1
　　八進(jìn)制 r=8, 基本符號 0,1,2,3,4,5,6,7
　　十六進(jìn)制 r=16, 基本符號 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F
　　其中A-F分別表示十進(jìn)制數(shù)10,11,12,13,14,15
　　十進(jìn)制 r=10, 基本符號 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

　　如果每一數(shù)位都具有相同的基, 即采用同樣的基本符號集來表示, 則稱該數(shù)制為固定基數(shù)值 (Fixed Radix Number System)，這是計(jì)算機(jī)內(nèi)普遍采用的方案。在個(gè)別應(yīng)用中, 也允許對不同的數(shù)位或位段選用不同的基，即混合采用不同的基本符號集來表示, 則該數(shù)制稱為混合基數(shù)制 (Mixed Radix Number System)。