掌控頻域的分析變換和其計(jì)算

許多應(yīng)用都要求能夠在頻域內(nèi)開展工作。本文將介紹如何處理FPGA設(shè)計(jì)中的頻域問題。

對(duì)許多工程師而言，在頻域中開展工作不如在時(shí)域中開展工作那么自然，可能是因?yàn)轭l率與復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算有關(guān)。但是要充分發(fā)揮賽靈思FPGA解決方案的潛力，您需要在這兩個(gè)域中自由切換。

令人欣慰的是詳細(xì)地掌握頻域并不像您最初想象的那樣令人生畏。不管是您自己設(shè)計(jì)的定制模塊還是市場(chǎng)上現(xiàn)有的IP 模塊，都能幫助您輕松轉(zhuǎn)入轉(zhuǎn)出頻域。同時(shí)在頻域中實(shí)現(xiàn)高速處理的方法也不乏其數(shù)。

時(shí)域還是頻域？
工程師既能在時(shí)域中檢驗(yàn)和處理信號(hào)，根據(jù)時(shí)間分析信號(hào)，也能在頻域中檢驗(yàn)和處理信號(hào)，根據(jù)頻率分析信號(hào)。項(xiàng)目對(duì)工程師的主要要求之一，就是應(yīng)該知道什么時(shí)候應(yīng)該開展哪種分析。

一般在電子系統(tǒng)中，需要考查的信號(hào)是一個(gè)不斷變化的電壓、電流或頻率。它可以是傳感器的輸出，也可能是系統(tǒng)其他部分生成的輸出。在時(shí)域中，您可以測(cè)量信號(hào)的幅度、頻率和周期，以及信號(hào)上升或下降時(shí)間等更有意義的參數(shù)。實(shí)驗(yàn)室環(huán)境中觀察時(shí)域信號(hào)常用的是示波器或邏輯分析儀。

但是信號(hào)的一些參數(shù)體現(xiàn)在頻域內(nèi)。必須在頻率中分析這些參數(shù)，才能解讀其中包含的信息。在頻域中可以識(shí)別信號(hào)的頻率分量、各自的幅度和每種頻率的相位。由于在頻域中便于開展卷積運(yùn)算，因此在頻域中工作也能大大簡化信號(hào)處理。卷積是一種將兩種信號(hào)混合成第三種信號(hào)的數(shù)學(xué)方法。和時(shí)域分析一樣，如果想要在實(shí)驗(yàn)室環(huán)境中觀察頻域信號(hào)，可以使用頻譜分析儀。

對(duì)某些應(yīng)用而言在時(shí)域中工作比較合適，例如用于監(jiān)測(cè)更大型系統(tǒng)的電壓或溫度的系統(tǒng)。雖然噪聲可能是個(gè)問題，在許多情況下取一定數(shù)量樣本的平均值就可以滿足要求。但對(duì)其他應(yīng)用來說，最好是在頻域中開展工作。例如需要從另一信號(hào)中過濾某種信號(hào)的信號(hào)處理應(yīng)用，或是需要將信號(hào)與噪聲源分離的信號(hào)處理應(yīng)用，最好在頻率中開展分析。

由于采樣是在時(shí)域中完成的，在時(shí)域中工作基本不需要對(duì)量化數(shù)字信號(hào)進(jìn)行后處理。與此相反，在頻域中開展工作首先要求應(yīng)用將量化數(shù)據(jù)從時(shí)域變換到頻域。同樣，從頻域輸出后處理過的數(shù)據(jù)時(shí)，需要從頻率轉(zhuǎn)回到時(shí)域。

如何進(jìn)行變換？
根據(jù)信號(hào)的類型，如重復(fù)性還是非重復(fù)性、離散還是非離散，有多種方法可用于時(shí)域和頻域之間的變換，包括傅里葉級(jí)數(shù)、傅里葉變換和Z 變換。尤其是在電子信號(hào)處理和FPGA應(yīng)用中，最常用到的變換是離散傅里葉變換（DFT），傅里葉變換中的一種。工程師使用DFT 分析具有周期性和離散性的信號(hào)，即由一定數(shù)量均勻分布在采樣頻率中的n 位樣本組成的信號(hào)。在許多應(yīng)用中這種信號(hào)一般來自系統(tǒng)內(nèi)的ADC。

簡單地說，DFT 的工作原理就是把輸入信號(hào)分解成代表信號(hào)正弦分量和余弦分量的兩個(gè)輸出信號(hào)。因此對(duì)由N 個(gè)樣本組成的時(shí)域序列，DFT 會(huì)返回兩組N/2+1 個(gè)余弦波樣本和正弦波樣本，分別被稱為實(shí)分量和虛分量（圖1）。實(shí)樣本和虛樣本的寬度為n位輸入信號(hào)寬度的n/2。

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圖1 - 時(shí)域中的n位被變換為頻域中n/2實(shí)位和n/2虛位

計(jì)算DFT 的算法十分簡明，如下式所示：

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其中，x[i] 代表時(shí)域信號(hào)；i 的取值為0 到N-1 ；k 的取值為0 到N/2。這種方法被稱為關(guān)聯(lián)法，其功能是將輸入信號(hào)與對(duì)應(yīng)迭代的正弦波或余弦波相乘，以確定其幅度。

當(dāng)然，您可能想要在應(yīng)用中的某點(diǎn)從頻域變換回時(shí)域。為此可以使用綜合公式，它將實(shí)波形和虛波形結(jié)合起來，重建時(shí)域信號(hào)，即：

但ReX 和ImX 是正弦波和余弦波的縮放結(jié)果，因此需要進(jìn)行縮放。除Rex[0] 和Rex[N/2] 之外的所有情況，ReX 和ImX 的值均為ReX[k]或ImX[k] 除以N/2。對(duì)Rex[0] 和Rex[N/2]，則除以N。出于明顯的理由，這種運(yùn)算被稱為傅里葉反變換（IDFT）。

通過探討確定DFT 和IDFT 所使用的算法，可能有助于了解如何加以利用這些算法。

您可以使用Octave、MATLAB?乃至Excel 對(duì)所采集的數(shù)據(jù)進(jìn)行DFT計(jì)算。許多實(shí)驗(yàn)室工具，如示波器，也能根據(jù)需要執(zhí)行DFT 計(jì)算。

不過需要指出的是上述的DFT 和IDFT 被稱為實(shí)DFT 和實(shí)IDFT，因?yàn)檩斎氲氖菍?shí)數(shù)而非復(fù)數(shù)。很快就會(huì)清楚為何要了解這一點(diǎn)。