擺弄一系列三角函數(shù) - 這樣講傅里葉變換，文科生都懂！

　　6. 傅里葉變換有什么用？

　　擺弄一系列三角函數(shù)，讓這個多點那個少點，有一個酷炫的名字，叫“頻域處理”，

　　你去了美國，不知道白宮怎么走，你問翻譯：白宮怎么走？

　　翻譯跑到街上問美國人：Where is the White House？ 這叫傅里葉變換。

　　美國路人說：“go straight and turn right”。這叫頻域處理。

　　翻譯聽完給你說：直走，右拐就到了。這叫逆傅里葉變換。

　　總結：傅里葉變換的作用，就是把一個函數(shù)或者信號在三角函數(shù)基下轉化為一堆系數(shù)，擺弄這些系數(shù)、實現(xiàn)一定功能有時比直接擺弄原信號方便，最后再做個逆傅里葉變換，信號就得到了某種處理。

　　7. 傅里葉變換與壓縮、簡化表示

　　從第5小節(jié)我們知道了基變換的一個用處：壓縮信號。原始信號需要用1000個點來表示，但是其實只需要40個三角函數(shù)系數(shù)就可以表示出大概。大家天天都會遇到的JPG圖片就是干這個事的，一張800*600的彩色照片，如果保存成非壓縮的BMP圖像格式，需要占據(jù)1.4M存儲空間，如果保存成JPG格式，大概50K就夠了。JPG能壓縮得這么厲害，訣竅就在于它用了一組特別的基（小波基），使用特別少的基函數(shù)就可以把原始圖像表示得八九不離十，在這里頻域處理就是把絕大多數(shù)基函數(shù)前面的系數(shù)直接置0。為什么能這么干呢？因為小波基有很強的表達能力，我們總能選取極少的幾個小波基函數(shù)就能拼出任意一個給定的圖像的大概，然后即使拋棄剩下那些大量邊角料，也不太會對視覺效果造成什么影響。

　　說到這里你肯定一頭霧水，咱們再來做個類比來說說基的壓縮能力。想象這樣一個故事：女主角出生在孤兒院，和男主角相遇但是被拋棄，生下一個女兒，她后來做了個變性手術，穿越回到過去和還是女兒身的自己啪啪啪，帶著女兒再次穿越到自己被收養(yǎng)時的孤兒院把嬰兒拋棄在那。

　　如果你缺乏語言能力，比如你是一條狗，你怎樣讓另一條狗理解孤兒院、男、女、啪啪啪、拋棄、愛情這些真實世界中極度復雜的概念？你能做的最好的重述就是雇一男一女和一個時光機，把故事演一遍，對方還不一定能懂。語言能夠在短短的一段話里就描述出這一個復雜的故事，因為它拋棄了大量細節(jié)，只保留最重要的信息：如果說真實世界每一個對象（物體、故事、情感）是一個函數(shù)，那么語言就是一組新的基，在這組基下，每一個基函數(shù)（詞匯）都具有高強的描述能力，復雜的對象可以用聊聊幾筆進行描述、壓縮、傳遞，讓人類能夠高效地交流，快速地學習。

　　一個海岸有多少粒沙子？多少滴海水？一幅800*600像素的圖像就能捕獲你在海邊嬉戲的靚影，只用了48萬個基函數(shù)，如果你用JPG格式存儲，調動的基函數(shù)還會更少。普通非壓縮位圖數(shù)字圖像的基函數(shù)長的都一樣：在一顆像素是白色（1），在其他所有像素都是黑色（0）——一個基就是一根孤零零的矩形棍子，其對應的系數(shù)就是對應像素的顏色值，真彩色的系數(shù)有約1600萬種。

　　傅里葉變換和這幅圖中的變換非常類似，只不過基函數(shù)不是一顆像素，而是震蕩的三角函數(shù)。所有三角函數(shù)Asin（ax+b）也可以由一個三角函數(shù) sin（x）通過改變頻率a，相位b和振幅A來獲得，這種情況很有意思：一組基中所有的基函數(shù)都是由一個基函數(shù)進過簡單地平移、拉伸或改變振幅獲得。它的實質是另一種意義上的壓縮：我們用一個基函數(shù)（數(shù)學語言：母函數(shù)）通過簡單形變來生成其他基函數(shù)，再用它們一起表示更復雜的元素。我們不需要拉來一頭牛一只羊來表示這里有一頭牛一只羊，我們只需要用許多個基本元素，每一個都差不多，就能近似表示復雜的場景。這一思想的一個有趣的應用是游戲 Minecraft，在這里基函數(shù)是一些等大立方體塊，把它們拼在一起則組成了復雜世界的近似。

　　這個圖和上面用40個三角函數(shù)近似一維信號、一堆像素近似二維物體是完全類似的，這里是用立方體近似三維世界。同樣是對真實世界的近似描述，我們可以用一堆抽象詞匯、用像素、用立方體塊，也可以用三角函數(shù)形狀的“塊”，使用彼此近似但略微不同的基函數(shù)，我們就可以對無比復雜的真實世界的對象進行壓縮、近似。三角函數(shù)基唯一的奇怪之處在于它是震蕩的，看著不萌。

　　壓縮的缺點是無法反向恢復，可以從一幅圖像變換到另一幅，但是不能從一幅圖像恢復真實世界。但是沒人想捧著真實世界，人們需要的恰恰是對真實世界的高度凝練地表示。