微積分（電子科技大學）

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第一章 函數(shù) 極限與連續(xù)初等數(shù)學研究的對象一般是不變的量，而高等數(shù)學研究的對象一般都是變量，貫穿高等數(shù)學的基本觀點是變化的觀點，用變化的觀點分析問題！函數(shù)是微積分研究的基本對象，反映變量之間的依賴關(guān)系！極限理論是微積分學的基礎(chǔ)，它是研究函數(shù)性質(zhì)的有力工具！本章主要討論函數(shù)的概念、函數(shù)的極限和連續(xù)函數(shù)及其性質(zhì)！ “#！# 映射與函數(shù)一、集合 區(qū)間與鄰域集合是近代數(shù)學最基本的概念之一，自從康托爾（$！%&’（）*）在#+世紀末創(chuàng)立了集合論以來，集合論的概念已經(jīng)滲透到數(shù)學的各個領(lǐng)域！我們知道，具有某種特定性質(zhì)的并且可以彼此區(qū)別的事物的總體，稱為集合（簡稱為集）！例如，一個教室里的學生構(gòu)成一個集合，滿足某種條件的全體實數(shù)構(gòu)成一個集合，某一批產(chǎn)品構(gòu)成一個集合等等！ 集合中的每一個事物稱為集合的元素！對于一個給定的集合，集合中的元素是確定的、互異的、不分順序的！ 若某個元素！屬于集合”，則記作！！“；若某個元素！ 不屬于集合”，則記作！?。　?或?。　?！ 全體自然數(shù)的集合記作！，全體整數(shù)的集合記作“，全體有理數(shù)的集合記作 #，全體實數(shù)的集合記作$！

集合有兩種表示法：（#）列舉法：在大括號內(nèi)列出全體元素，每個元素之間用逗號隔開！例如，由有限個元素##，#，，…，#$ 組成的集合“，記作 ” -｛##，#，，…，#$｝！ 只有一個元素！。 的集合稱為單元素集，記作｛！。｝！ （，）描述法：無法一一列舉或者不需要一一列舉的集合，可以在大括號內(nèi)的左邊寫出元素的記號，右邊寫出元素滿足的條件，中間用一豎線隔開！ 例如設(shè)“ 為方程！，/0！12-。的全體實根所組成的集合，用列舉法表示為”-｛，，3｝，用描述法表示為 ！ ！｛“” ?。?，“” #$“%&！’｝（ 又例如在”#$平面上，坐標適合方程“”%）$“！*的點（”，$）的全體所組成的集合 %，可記作 % ?。ā埃?）”，$為實數(shù)，“” %）$“ ！*｝（ 本書中常用的集合為數(shù)集，即元素是數(shù)的集合，除特別注明外，以后提到的數(shù)均指實數(shù)，常用的集合還有點集，即直線上或平面上或空間內(nèi)具有某種性質(zhì)的全體點所組成的集合，有時也要用到函數(shù)集，即具有某種性質(zhì)的全體函數(shù)所組成的集合（ 如果集合！ 的任一元素都是集合& 的元素，即若”?。?，必有“！&，則稱 ！ 是& 的子集，記作！”&（讀作！ 包含于&）或&#！（讀作& 包含?。ㄈ魏我粋€集合是它自身的子集，即！“！（