戴維·M. 布雷蘇：對(duì)微積分的思考

積分講授為累積

非常不幸的是, 對(duì)許多學(xué)生來說, 積分僅僅限于求面積、體積以及記憶求原函數(shù)的種種法則. 許多理由表明, 若不將積分理解為累積, 那么積分教學(xué)就是失敗的. 我們指出其中三個(gè)理由。

首先, 歷史告訴我們, 累積是一個(gè)直觀的過程. 我們粗看一下歷史. 古埃及人在發(fā)現(xiàn)四棱臺(tái)的體積公式時(shí)幾乎肯定應(yīng)用了某種形式的累加增量. 中國人在公元 5 世紀(jì)以前就掌握了求體積的卡瓦列里方法.這是微積分很明顯地跨越了文化的一個(gè)方面。

其次, 學(xué)生必定能掌握可以計(jì)算定積分或求出不定積分的軟件. 雖然許多積分技巧對(duì)它們所提供的結(jié)構(gòu)方面的洞察力來說是重要的, 但只有極少數(shù)人需要在課堂以外求原函數(shù). 更有用的是將一個(gè)累積問題轉(zhuǎn)化為定積分的能力。

最后, 學(xué)生若不能將積分理解為累積, 可能就不會(huì)認(rèn)識(shí)到積分在求面積與體積以外的豐富應(yīng)用. 積分是用來研究具有隨時(shí)變換的累積量的事物的工具: 走過的距離、完成的工作、賺取的利潤、生成的物資、環(huán)境惡化或改良的追蹤, 等等。

我們甚至可以通過累積來介紹積分從而開始微積分教學(xué). 這是美國亞利桑那州的湯普森 (Thompson) 所采用的方法.他的課程基于對(duì)下述本質(zhì)的洞察: 微積分是研究變化的量之間的函數(shù)關(guān)系. 一個(gè)累積必定是一個(gè)函數(shù), 描述在每個(gè)自變量值處累積了多少. 定積分首次出現(xiàn)時(shí), 必定作為一個(gè)代表上限的變量的函數(shù)。

俄克拉荷馬州的厄爾特曼開發(fā)了讓學(xué)生通過累積進(jìn)入積分的一系列練習(xí), 讓學(xué)生有機(jī)會(huì)構(gòu)造對(duì)所涉及的原理的理解。

他給學(xué)生展示了美國航空航天局的一個(gè)月球車, 配上一枚電池可以工作 3 小時(shí), 而且它在

時(shí)刻的速率為

英里/時(shí) (圖 6.1). 學(xué)生在探究它最多離開機(jī)艙多遠(yuǎn)并仍可在那個(gè)時(shí)刻掉頭時(shí), 就學(xué)到了估計(jì)在小時(shí)間段上的距離. 正如從圖像上容易看出的, 速率在前

小時(shí)還多一點(diǎn)兒都是遞增的. 更確切地說, 它在

時(shí)取得最大值, 此時(shí)

小時(shí). 學(xué)生們會(huì)迅速領(lǐng)會(huì)到, 當(dāng)速率遞增時(shí), 通過取初始時(shí)刻的速率與結(jié)束時(shí)刻的速率, 即可得到所走路程的一個(gè)上下界估計(jì). 用一個(gè)簡單的電子表格程序就足以得到合理的近似. 學(xué)生會(huì)認(rèn)識(shí)到, 可以選取更短的時(shí)間區(qū)間以得到更精細(xì)的上下界, 從而得到更好的近似. 在此過程中, 可以向他們介紹求和記號(hào), 這對(duì)他們所做的事情來說是很方便的. 此時(shí)可以向?qū)W生展示, 以行走時(shí)間為上限變量的積分是一種計(jì)量了實(shí)際累積的函數(shù). 由于他們?cè)诘谝淮斡龅蕉ǚe分時(shí), 定積分就以累積函數(shù)的形式出現(xiàn), 因此這樣一個(gè)函數(shù)對(duì)他們來說印象深刻。

圖 6.1

的圖像

厄爾特曼堅(jiān)持讓學(xué)生每一次在選擇時(shí)間區(qū)間的同時(shí)記錄上界和下界, 也為最終引入極限播下了種子. 正如我們?cè)诘谒恼驴吹降? 現(xiàn)代意義下的極限是通過不等式來定義的。為了給

指定一個(gè)值, 就是斷言任給兩個(gè)數(shù), 一個(gè)數(shù)比指定的數(shù)大, 另一個(gè)數(shù)比指定的數(shù)小, 我們可以選取充分小的區(qū)間段, 使得和式的值介于這兩個(gè)數(shù)之間. 這恰好就是我們所指的定積分作為黎曼和的極限的含義。

在整本書中, 我都堅(jiān)持將大多數(shù)學(xué)生記得 (如果他們記得) 的這個(gè)聯(lián)系積分和微分的定理稱為積分學(xué)基本定理, 而不是簡單的微積分基本定理 (fundamental theorem of calculus). 正如我在 2.7 節(jié)腳注中所強(qiáng)調(diào)的, 這有歷史淵源. 更重要的是, 其背后有更深層次的教學(xué)原因. 很多學(xué)生很快就忘記了積分的極限定義. 考慮到大多數(shù)課程將重點(diǎn)放在了積分的技巧, 而忽略了極限定義的應(yīng)用, 大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為積分與求原函數(shù)就是一回事, 這一點(diǎn)毫不奇怪. 造成的結(jié)果是, 原本應(yīng)該處于微積分中心地位的定理被簡化為一句同義反復(fù)。

柯西第一個(gè)證明了這個(gè)定理, 他證明這個(gè)定理就是為了將積分的兩種定義聯(lián)系起來, 一個(gè)作為求和的極限, 另一個(gè)作為求原函數(shù). 稱之為積分學(xué)基本定理不僅更準(zhǔn)確, 而且提醒我們這個(gè)定理的本質(zhì)在于將對(duì)積分的兩種不同理解聯(lián)系起來. 它可以提醒學(xué)生, 積分不僅僅是簡單的求原函數(shù)。

導(dǎo)數(shù)講授為變化率

我們可以質(zhì)疑, 公元 1000 年左右的古印度天文學(xué)家是否從現(xiàn)代意義上理解了正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 不過, 他們研究變化率, 致力于理解輸入的微小改變?nèi)绾斡绊懥溯敵龅母淖? 他們已經(jīng)發(fā)現(xiàn), 在正弦函數(shù)的情況下, 這個(gè)變化率是一個(gè)很容易計(jì)算的量, 并且可以用來估計(jì)輸出的變化量. 比起切線的斜率來, 這是對(duì)導(dǎo)數(shù)的更直觀的介紹. 此外, 它為將導(dǎo)數(shù)最終應(yīng)用到下述情形準(zhǔn)備好了基礎(chǔ), 在那些情形中, 我們只知道近似的輸入值, 還需要控制住可能的輸出值。

我們知道, 即便是微積分課堂上的學(xué)生, 理解變化率也很難, 但是他們一旦理解了變化率, 就為將導(dǎo)數(shù)理解為切線的斜率打好了扎實(shí)的基礎(chǔ). 當(dāng)我在美國瑪卡萊斯特學(xué)院教授大一新生第一學(xué)期的微積分課程時(shí), 我的大多數(shù)學(xué)生已經(jīng)多少見過微積分. 20 多年以來, 我的這門課一直以簡單評(píng)估他們對(duì)微積分的了解為開頭. 前兩個(gè)問題就是問:

在

時(shí)的瞬時(shí)變化率是多少？

在區(qū)間

上的平均變化率是多少？每個(gè)稍微了解一點(diǎn)兒微積分的人都能回答前一個(gè)問題. 而這些學(xué)生幾乎沒有一個(gè)答得上來后一個(gè)問題. 許多人是對(duì)在

與

時(shí)的瞬時(shí)變化率做平均. 考慮到歷史上理解瞬時(shí)速度的困難, 奇怪但真實(shí)的是, 比起平均速度來, 學(xué)生更適應(yīng)瞬時(shí)速度。

我認(rèn)為對(duì)此有一些解釋. 第一個(gè)解釋是, 平均變化率在微積分的先修課程中沒有得到基本的強(qiáng)調(diào). 雖然它出現(xiàn)在每一門微積分課程的入門素材中, 但很快就被忘記了, 因?yàn)閷W(xué)生的注意力轉(zhuǎn)向了微分的種種技巧以及確定瞬時(shí)變化率的簡單方法. 另一個(gè)解釋是, 這個(gè)術(shù)語被稱為“平均”. 但它看起來都不像學(xué)生在小學(xué)和中學(xué)學(xué)到的任何平均. 最后, 平均變化率是一個(gè)比值。

學(xué)生很難理解導(dǎo)數(shù)的極限定義的重要性. 如果我們?cè)囍驅(qū)W生解釋

是從

出發(fā)的一條割線的斜率, 而且當(dāng)

趨于 0 時(shí), 就成為該點(diǎn)處切線的斜率, 我們所說的含義就在這些接踵而至的陌生概念中丟失了。

事實(shí)上, 我們可以從一個(gè)描述時(shí)刻

的累積量的函數(shù)出發(fā), 并問它在

時(shí)刻的累積率是多少. 厄爾特曼讓學(xué)生估計(jì)一支箭射出 2 秒以后的速度, 假定它在

時(shí)刻的高度為 (圖 6.2)

米/秒 .

圖 6.2

的圖像

學(xué)生們被要求估計(jì)這個(gè)速度的上界與下界, 并且誤差不超過 0.1 米/秒, 這使他們能夠求出近似速度, 并給出近似值的誤差范圍。

導(dǎo)數(shù)的定義對(duì)于理解如何求近似變化率是很重要的. 對(duì)于在頭一年的微積分課程里關(guān)于微分定理的證明, 導(dǎo)數(shù)的定義在某種程度上都是本質(zhì)的. 但學(xué)生同時(shí)要對(duì)導(dǎo)數(shù)作為瞬時(shí)變化率有直觀的理解, 即一個(gè)物體在給定時(shí)刻運(yùn)動(dòng)得有多快. 這就對(duì)第二章所強(qiáng)調(diào)的微分的另一個(gè)重要方面 —— 微分方程 —— 提供了自然的引導(dǎo)。

納入納皮爾在對(duì)數(shù)方面的工作的一個(gè)原因, 就是要強(qiáng)調(diào)他在關(guān)聯(lián)變化率方面的工作. 事實(shí)上, 他得到了這樣的結(jié)果, 若

是

的對(duì)數(shù), 則

其中常數(shù)

依賴于對(duì)數(shù)的底. 不幸的是, 很少有微積分課講述了微分方程的威力與重要性. 我喜歡麥克斯韋方程組的故事, 因?yàn)樗忈屃宋覀內(nèi)绱岁P(guān)心微積分的一個(gè)原因, 在用數(shù)學(xué)模型來揭示這個(gè)世界的奧秘方面, 微積分具有難以預(yù)料的洞察威力. 許多革新的微積分課程, 包括最早的一些微積分改革課程, 以及我們目前在瑪卡萊斯特學(xué)院開設(shè)的課程, 都是從微分方程開始的, 并且整個(gè)課程都在強(qiáng)調(diào)微積分可以建立動(dòng)態(tài)模型. 再一次, 軟件技術(shù)使得學(xué)生可以很容易地探究種種模型: 人口增長、流行病的傳播、捕食者與被捕食者模型. 這為圍繞微積分的學(xué)習(xí)提供了激動(dòng)人心的課題. 對(duì)如何完成數(shù)值近似的分析架起了一座橋梁, 讓導(dǎo)數(shù)回到變化率的極限。

導(dǎo)數(shù)是一個(gè)豐富的概念, 帶來了眾多新的理解. 但對(duì)許多學(xué)生來說, 他們唯一的收獲就是將x^3變成3x^2, 這是何其不幸!

無窮級(jí)數(shù)講授為部分和序列

大多數(shù)情況下, 微分約化為求導(dǎo), 積分約化為求原函數(shù), 無窮級(jí)數(shù)約化為判定斂散性. 其實(shí)無窮級(jí)數(shù)是關(guān)于部分和的一種比較差勁的觀點(diǎn), 因?yàn)楹苌儆袑W(xué)生能記住他們?cè)痴b的收斂判別準(zhǔn)則, 我非常贊同許多院校的做法, 先等到學(xué)生掌握了作為部分和的泰勒多項(xiàng)式, 然后再分析冪級(jí)數(shù)的收斂性.盡管很有挑戰(zhàn)性, 我卻樂于納入拉格朗日余項(xiàng)定理作為控制誤差的工具. 這也傳遞出了中值定理的實(shí)際重要性。

我還介紹了歐拉對(duì)指數(shù)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開, 展示了無窮和帶來的妙趣, 我希望我的學(xué)生們能夠欣賞這個(gè)例子. 可以考慮讓學(xué)生從復(fù)利公式

開始探究, 要求他們利用二項(xiàng)式定理展開, 然后探究當(dāng)n增大時(shí)這個(gè)展開的性態(tài)如何, 讓他們發(fā)現(xiàn)這個(gè)公式與指數(shù)函數(shù)之間的關(guān)聯(lián)。

在學(xué)生的這個(gè)階段, 雖然一般的冪級(jí)數(shù)不及泰勒多項(xiàng)式重要, 但常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與幾何級(jí)數(shù)非常重要. 在數(shù)學(xué)中, 幾何級(jí)數(shù)幾乎是無處不在的, 而且當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)種種收斂準(zhǔn)則時(shí), 幾何級(jí)數(shù)是許多收斂準(zhǔn)則的基石。

常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)很重要, 這是因?yàn)? 我們對(duì)極限的現(xiàn)代理解源于 18 世紀(jì)為理解它們收斂之含義所付出的努力. 科學(xué)家意識(shí)到, 關(guān)鍵的問題在于, 他們能否控制住部分和與所斷言的值之間的差距. 與歷史發(fā)展的路線一致, 許多教材選取無窮求和的例子來開始極限的學(xué)習(xí)。

此外, 學(xué)生需要意識(shí)到, 當(dāng)萊布尼茨斷言

時(shí)是何其大膽. 對(duì)學(xué)生來說, 這里有個(gè)機(jī)會(huì)讓他們弄明白, 這樣一個(gè)等式的含義是什么. 討論

的含義自然融入該框架內(nèi)。

極限講授為不等式的代數(shù)

雖然在微積分課堂上給大一的學(xué)生講授極限的

定義并要求他們掌握是不負(fù)責(zé)任的, 但這個(gè)形式化背后的思想對(duì)他們來說是可以接受的. 不論是積分、導(dǎo)數(shù)還是級(jí)數(shù), 它們都是通過逼近來定義的. 極限是一個(gè)預(yù)先指定的值, 對(duì)任意的兩個(gè)界, 一個(gè)比這個(gè)給定的值大, 另一個(gè)比這個(gè)給定的值小, 一旦我們限制區(qū)間的長度 (對(duì)積分和導(dǎo)數(shù)而言) 或部分和的最小項(xiàng)數(shù) (對(duì)無窮級(jí)數(shù)而言), 總可以使得近似在這兩個(gè)界之間。

在微積分中應(yīng)用的極限的思想也許看起來很簡單, 但事實(shí)上它可以相當(dāng)復(fù)雜. 對(duì)學(xué)生理解方式的探究揭示出, 學(xué)生在理解極限思想時(shí)最常用的一個(gè)比喻是被研究者稱為“坍塌”的比喻. 不論是以明確還是隱含的方式, 學(xué)生將

理解為, 當(dāng)x越來越趨近于a時(shí),

就越來越接近于L, 直到當(dāng)x到達(dá)a時(shí),

坍塌到L

對(duì)極限的大多數(shù)應(yīng)用來說, 這個(gè)解釋并不太壞, 而且常常被證明富有價(jià)值, 不過它也造成了一些危險(xiǎn)的誤導(dǎo). 正如斯溫亞德 (Swinyard)曾證明的, 這是對(duì)極限的一種“以x為先導(dǎo)”的視角, 考察自變量的變化如何影響因變量的變化. 問題在于, 極限的真正定義是“以y為先導(dǎo)”的, 先圍繞y值選擇一個(gè)可容許的誤差, 然后確立存在x值的一個(gè)范圍可以保證這一點(diǎn). 斯溫亞德和拉森 (Larsen)曾表明, 學(xué)生理解極限的正確定義有極大的困難, 直到他們轉(zhuǎn)換到“以y為先導(dǎo)”的理解。

在英國數(shù)學(xué)家戴維·托爾 (David Tall)給 22 名數(shù)學(xué)專業(yè)的大四學(xué)生提出的下述問題中, 坍塌比喻也帶來了困難。

若

且 , 是否必然有 ？

即便在反復(fù)要求再次考慮答案以后, 22 名學(xué)生中仍然有 21 名堅(jiān)持認(rèn)為

必定等于c。

正是關(guān)注“越來越接近”讓他們誤入歧途. 對(duì)

越來越接近b的理解自然引出這樣的誤解: 越來越接近b的變量y可以替換為

. 但如果

是一個(gè)常數(shù)函數(shù), 而g在b處有極限但不連續(xù), 即

, 會(huì)發(fā)生什么呢？在這種情況下,

學(xué)生在理解

時(shí)經(jīng)常忽視的一個(gè)細(xì)節(jié)是,x不能等于a, 而

可以等于極限值. 注意, 這處于托爾的例子的核心. 當(dāng)寫

時(shí), 我們?cè)诳紤]變量y, 它是明確不等于b的. 但當(dāng)我們寫

時(shí), 并沒有排除在a附近的x滿足

的可能性。

我們很自然會(huì)問, 為什么在定義a處的極限時(shí), 要排除自變量等于a的情形？這是因?yàn)閷?duì)于在a 處沒有定義的函數(shù), 我們也需要考慮其極限, 特別是在導(dǎo)數(shù)的定義中. 當(dāng)

時(shí), 平均變化率

沒有定義. 我們需要極限的一個(gè)定義, 它只要考慮

的情況。

厄爾特曼引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)微分和積分原理的探究例子源于他對(duì)學(xué)生用來解釋極限的“坍塌比喻”之分析.他發(fā)現(xiàn), 對(duì)許多學(xué)生來說, 近似的語言是自然而高效的. 明確了這一點(diǎn)后, 他研發(fā)了許多任務(wù), 要求學(xué)生將他們的近似思想系統(tǒng)化, 利用不等式的代數(shù)來預(yù)先指定近似導(dǎo)數(shù)或積分要達(dá)到的精度. 這讓學(xué)生對(duì)這些概念有了切實(shí)的理解, 并為最終過渡到形式定義奠定了基礎(chǔ)。

正如厄爾特曼在 2008 年報(bào)告的,不論是微分、積分還是級(jí)數(shù), 在每一種背景下, 學(xué)生都必須回答五個(gè)關(guān)鍵問題:

(1) 你在對(duì)什么東西做近似？

(2) 近似是什么？

(3) 誤差是什么？

(4) 誤差的界是多少？

(5) 誤差是否可以控制在任意預(yù)先指定的精度內(nèi)？

如厄爾特曼所解釋的, 最后兩個(gè)問題其實(shí)是一對(duì)互逆的問題: 給定近似中所用參數(shù)的描述, 誤差的界是多少？給定誤差的界, 如何選取近似中的參數(shù)？

并非只有厄爾特曼采取了這個(gè)方法. 彼得·拉克斯 (Peter Lax) 和瑪利亞·特雷爾 (Maria Terrell) 在其《微積分及其應(yīng)用》(Calculus with Application) 的開篇以不等式的論述為開端, 對(duì)極限進(jìn)行了仔細(xì)的介紹。

最后, 我要稍微講一講無窮小. 近一千年來以來, 它是富有成果的洞見的源泉. 無窮小仍然具有巨大的直觀吸引力, 經(jīng)常幫助科學(xué)家將累積問題轉(zhuǎn)化為定積分, 幫助他們導(dǎo)出微分方程. 雖然基于無窮小的微積分可以嚴(yán)格化, 但那是一個(gè)需要成熟的集合論的 20 世紀(jì)的成果. 不過完全依賴于無窮小的主要問題在于, 過渡到對(duì)極限的現(xiàn)代理解將變得困難得多. 考慮到學(xué)生如此容易掌握近似和不等式, 這看起來是一個(gè)更自然且富有成果的途徑。

審核編輯 ：李倩