捷聯(lián)慣導(dǎo)算法與組合導(dǎo)航原理的詳細介紹

　　近年來，慣性技術(shù)不論在軍事上、工業(yè)上，還是在民用上，特別是消費電子產(chǎn)品領(lǐng)域，都獲得了廣泛的應(yīng)用，大到潛艇、艦船、高鐵、客機、導(dǎo)彈和人造衛(wèi)星，小到醫(yī)療器械、電動獨輪車、小型四旋翼無人機、空中鼠標(biāo)和手機，都有慣性技術(shù)存在甚至大顯身手的身影。相應(yīng)地，慣性技術(shù)的研究和開發(fā)也獲得前所未有的蓬勃發(fā)展，越來越多的高校學(xué)生、愛好者和工程技術(shù)人員加入到慣性技術(shù)的研發(fā)隊伍中來。

　　慣性技術(shù)涉及面廣，涵蓋元器件技術(shù)、測試設(shè)備和測試方法、系統(tǒng)集成技術(shù)和應(yīng)用開發(fā)技術(shù)等方面，囿于篇幅和作者知識面限制，本書主要討論捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)算法方面的有關(guān)問題，包括姿態(tài)算法基本理論、捷聯(lián)慣導(dǎo)更新算法與誤差分析、組合導(dǎo)航卡爾曼濾波原理、捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)的初始對準(zhǔn)技術(shù)、組合導(dǎo)航系統(tǒng)建模以及算法仿真等內(nèi)容。希望讀者參閱之后能夠?qū)萋?lián)慣導(dǎo)算法有個系統(tǒng)而深入的理解，并能快速而有效地將基本算法應(yīng)用于解決實際問題。

　　在捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)（SINS）中慣性測量器件（陀螺和加速度計）直接與運載體固聯(lián)，通過導(dǎo)航計算機采集慣性器件的輸出信息并進行數(shù)值積分求解運載體的姿態(tài)、速度和位置等導(dǎo)航參數(shù)，這三組參數(shù)的求解過程即所謂的姿態(tài)更新算法、速度更新算法和位置更新算法。特別在惡劣的高動態(tài)環(huán)境下，高精度的SINS對慣性器件性能和導(dǎo)航算法精度的要求都非常苛刻，由于高精度慣性器件往往價格昂貴并且進一步提升精度異常困難，所以在影響SINS精度的所有誤差源中要求因?qū)Ш剿惴ㄒ鸬恼`差比重必須很小，一般認為應(yīng)小于5%。姿態(tài)更新算法是SINS算法的核心，對整個系統(tǒng)的解算精度影響最為突出，具有重要的研究和應(yīng)用價值。傳統(tǒng)的姿態(tài)更新算法有歐拉角法、方向余弦陣法和四元數(shù)法等方法，這些方法直接以陀螺采樣輸出作為輸入，使用泰勒級數(shù)展開或龍格—庫塔等方法求解姿態(tài)微分方程，未充分考慮轉(zhuǎn)動的不可交換性誤差問題。傳統(tǒng)姿態(tài)更新算法在理論上可以通過提高采樣和更新頻率來提高解算精度，但實際陀螺采樣頻率又受限于傳感器的帶寬和噪聲水平，因此傳統(tǒng)算法的精度提升空間相對有限，僅適用于對解算精度要求不太高的場合。

　　早在1775年，歐拉就提出了等效旋轉(zhuǎn)矢量的概念，指出剛體的定點轉(zhuǎn)動（即繞固定點的任何有限角位移）均可用繞經(jīng)過該固定點的某軸的一次轉(zhuǎn)動來實現(xiàn)，建立了剛體上單位矢量在轉(zhuǎn)動前后的變換公式。1840年，羅德里格使用后人稱之為羅德里格參數(shù)的表示方法，推導(dǎo)了相繼兩次轉(zhuǎn)動的合成公式，它與W. R. Hamilton在1843年發(fā)明的四元數(shù)乘法表示是一致的。研究表明，相繼多次的定點轉(zhuǎn)動問題可用一系列的姿態(tài)變化量（變化四元數(shù)或變化矩陣）相乘來描述，每個姿態(tài)變化量與對應(yīng)轉(zhuǎn)動的等效旋轉(zhuǎn)矢量之間存在轉(zhuǎn)換公式，使用等效旋轉(zhuǎn)矢量計算姿態(tài)變化量不存在任何原理上的誤差。因此，現(xiàn)代的SINS姿態(tài)更新算法研究的關(guān)鍵就在于如何使用陀螺輸出構(gòu)造等效旋轉(zhuǎn)矢量，以盡量減小和避免不可交換性誤差，后續(xù)再使用等效旋轉(zhuǎn)矢量計算姿態(tài)變化量和進行姿態(tài)更新將變得非常簡單，而不像傳統(tǒng)方法那樣，直接使用陀螺輸出進行姿態(tài)更新容易引起不可交換性誤差。

　　1949年，J. H. Laning在研究火控系統(tǒng)的過程中詳細地分析了空間轉(zhuǎn)動合成的性質(zhì)，推導(dǎo)了由等效旋轉(zhuǎn)矢量確定轉(zhuǎn)動角速度的公式，但是由于缺少更好的應(yīng)用背景驅(qū)動（比如后來SINS發(fā)展的迫切需求），未能獲得廣泛的研究重視。20世紀(jì)50年代是機械陀螺儀飛速發(fā)展的一個重要時期，也正是在那時發(fā)現(xiàn)了著名的圓錐運動現(xiàn)象，即當(dāng)陀螺儀在其旋轉(zhuǎn)軸和輸出軸出現(xiàn)同頻不同相的角振動時，盡管其輸入軸凈指向不變（在整體上沒有隨時間改變的趨勢項），但陀螺儀還是會敏感到并輸出常值角速率。1958年，為揭示圓錐運動現(xiàn)象產(chǎn)生的根源，L. E. Goodman建立了剛體轉(zhuǎn)動的等效旋轉(zhuǎn)矢量與角速度之間的關(guān)系式，后人稱之為Goodman-Robinson定理，該定理從幾何上將轉(zhuǎn)動不可交換性誤差的坐標(biāo)分量描述為單位球面上的一塊有向面積，其面積由對應(yīng)動坐標(biāo)軸在單位球面上掃過的曲線與連接該曲線端點的大圓圍成，Goodman借助二維Green積分理論獲得了不可

　　交換性誤差的近似公式。1969年，基于Goodman近似公式，J. W. Jordan在假設(shè)陀螺角增量輸出為二次多項式條件下提出了等效旋轉(zhuǎn)矢量的“pre-processor”算法，它與后來發(fā)展的等效旋轉(zhuǎn)矢量二子樣算法完全一致。1969年，J. E. Bortz在其博士論文中詳細推導(dǎo)了等效旋轉(zhuǎn)矢量微分方程（1971年正式發(fā)表，后人稱之為Bortz方程），它是利用陀螺輸出求解等效旋轉(zhuǎn)矢量的基本公式，奠定了等效旋轉(zhuǎn)矢量多子樣算法的理論基礎(chǔ)。在實際應(yīng)用時一般需對較復(fù)雜的Bortz方程做近似處理，事實上，其簡化結(jié)果與Goodman公式完全一致，它也可以根據(jù)Laning公式簡化獲得。

　　1983年，R. B. Miller采用在圓錐運動條件下使算法漂移誤差最小作為評價標(biāo)準(zhǔn)，推導(dǎo)了等效旋轉(zhuǎn)矢量三子樣優(yōu)化算法。1990年，J. E. Lee研究了四子樣優(yōu)化算法。1992年，Y. F. Jiang研究了利用本更新周期內(nèi)的三子樣及前更新周期內(nèi)的角增量計算旋轉(zhuǎn)矢量的優(yōu)化算法。1996年，M. B. Ignagni提出了由陀螺角增量構(gòu)造等效旋轉(zhuǎn)矢量的通式，并給出了多達10種類型的等效旋轉(zhuǎn)矢量算法。1999年，C. G. Park總結(jié)提出了各子樣下求解圓錐誤差補償系數(shù)和算法漂移誤差估計的通用公式。至此，從理論上看，在理想的圓錐運動條件下的不可交換性誤差補償問題得到了比較完美的解決。

　　捷聯(lián)慣導(dǎo)的基本概念在20世紀(jì)50年代就已經(jīng)提出了，但是由于當(dāng)時計算機的運算能力極其有限，在算法發(fā)展的早期階段姿態(tài)更新通常采用雙速回路算法方案：高速回路（e.g.，400Hz-10kHz）使用簡單的一階算法補償由角振動引起的姿態(tài)不可交換性誤差；中速回路（e.g.，50Hz-200Hz）以高速回路的處理結(jié)果作為輸入再使用相對復(fù)雜的高階算法進行姿態(tài)矩陣或四元數(shù)更新。雙速回路算法的結(jié)構(gòu)設(shè)計和實現(xiàn)過程都稍顯繁瑣，它只是在計算機運算能力低下時期所采取的權(quán)宜之策，隨著通用計算機技術(shù)的飛速發(fā)展，尤其是80年代中后期之后，導(dǎo)航計算機的運算能力就不再是導(dǎo)航算法研究中需要著重關(guān)注的問題。雙速回路算法的結(jié)構(gòu)研究已經(jīng)成為歷史，目前的計算機完全能夠滿足高速高精度姿態(tài)更新解算的要求。

　　Kalman濾波與組合導(dǎo)航原理簡介

　　如果信號受噪聲干擾，為了從量測中恢復(fù)出有用信號而又要盡量減少干擾的影響，常常采用濾波器進行信號處理。使用經(jīng)典濾波器時假定信號和干擾的頻率分布不同，通過設(shè)計特定的濾波器帶通和帶止頻段，實現(xiàn)有用信號和干擾的分離。但是，如果干擾的頻段很寬，比如白噪聲，在有用信號的頻段范圍內(nèi)也必然會存在干擾，這時經(jīng)典濾波器對濾除這部分干擾噪聲無能為力。若有用信號和干擾噪聲的頻帶相互重疊，信號處理時通常不再認為有用信號是確定性的，而是帶有一定隨機性的。對于隨機信號不可能進行準(zhǔn)確無誤差的恢復(fù)，只能根據(jù)信號和噪聲的統(tǒng)計特性，利用數(shù)理統(tǒng)計方法進行估計，并且一般采取某種統(tǒng)計準(zhǔn)則使估計誤差盡可能小。借用經(jīng)典濾波器的術(shù)語，這種針對隨機信號的統(tǒng)計估計方法也常常稱為濾波器，或稱為現(xiàn)代濾波器以區(qū)別于經(jīng)典濾波器，但須注意經(jīng)典濾波器和現(xiàn)代濾波器之間是有本質(zhì)區(qū)別的。