PyTorch教程18.1之高斯過程簡介

在許多情況下，機(jī)器學(xué)習(xí)相當(dāng)于從數(shù)據(jù)中估計(jì)參數(shù)。這些參數(shù)通常很多且相對難以解釋——例如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重。相比之下，高斯過程提供了一種機(jī)制，可以直接推理適合我們數(shù)據(jù)的函數(shù)的高級屬性。例如，我們可能了解這些函數(shù)是否快速變化、周期性、涉及條件獨(dú)立性或平移不變性。高斯過程使我們能夠通過直接指定適合我們數(shù)據(jù)的函數(shù)值的高斯分布，輕松地將這些屬性合并到我們的模型中。

讓我們從一些例子開始，感受一下高斯過程是如何運(yùn)作的。

假設(shè)我們觀察以下回歸目標(biāo)（輸出）的數(shù)據(jù)集，y，由輸入索引，x. 例如，目標(biāo)可以是二氧化碳濃度的變化，輸入可以是記錄這些目標(biāo)的時間。數(shù)據(jù)有哪些特點(diǎn)？它看起來變化多快？我們是否定期收集數(shù)據(jù)點(diǎn)，或者是否缺少輸入？您如何想象填補(bǔ)缺失的區(qū)域，或預(yù)測直到x=25？

圖 18.1.1觀測數(shù)據(jù)。

為了用高斯過程擬合數(shù)據(jù)，我們首先指定我們認(rèn)為合理的函數(shù)類型的先驗(yàn)分布。在這里，我們展示了幾個來自高斯過程的示例函數(shù)。這個先驗(yàn)看起來合理嗎？請注意，這里我們不是在尋找適合我們數(shù)據(jù)集的函數(shù)，而是在尋找解決方案的合理高級屬性，例如它們隨輸入變化的速度。請注意，我們將在下一個關(guān)于先驗(yàn)和推理的筆記本中看到用于重現(xiàn)此筆記本中所有圖的代碼。

圖 18.1.2我們可能希望用我們的模型表示的示例先驗(yàn)函數(shù)。

一旦我們以數(shù)據(jù)為條件，我們就可以使用它來推斷適合數(shù)據(jù)的函數(shù)的后驗(yàn)分布。在這里，我們展示了示例后驗(yàn)函數(shù)。

圖 18.1.3樣本后驗(yàn)函數(shù)，一旦我們觀察到數(shù)據(jù)。

我們看到這些函數(shù)中的每一個都與我們的數(shù)據(jù)完全一致，完美地貫穿了每一次觀察。為了使用這些后驗(yàn)樣本進(jìn)行預(yù)測，我們可以對后驗(yàn)中每個可能的樣本函數(shù)的值進(jìn)行平均，以創(chuàng)建下面的粗藍(lán)色曲線。請注意，我們實(shí)際上不必采用無限數(shù)量的樣本來計(jì)算此期望；正如我們稍后將看到的，我們可以計(jì)算封閉形式的期望。

圖 18.1.4后驗(yàn)樣本，以及后驗(yàn)均值，可用于點(diǎn)預(yù)測，藍(lán)色。

我們可能還需要不確定性的表示，因此我們知道我們應(yīng)該對我們的預(yù)測有多大的信心。直覺上，我們應(yīng)該有更多的不確定性，因?yàn)闃颖竞篁?yàn)函數(shù)的可變性更大，因?yàn)檫@告訴我們真實(shí)函數(shù)可以采用更多可能的值。這種不確定性稱為認(rèn)知不確定性，即可約化的不確定性。與缺乏信息有關(guān)。隨著我們獲取更多數(shù)據(jù)，這種不確定性就會消失，因?yàn)榕c我們觀察到的一致的解決方案將越來越少。與后驗(yàn)均值一樣，我們可以計(jì)算封閉形式的后驗(yàn)方差（這些函數(shù)在后驗(yàn)中的可變性）。使用陰影，我們在均值兩側(cè)顯示兩倍的后驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差，創(chuàng)建一個可信區(qū)間 ，該區(qū)間有 95% 的概率包含任何輸入的函數(shù)真實(shí)值x.

圖 18.1.5后驗(yàn)樣本，包括 95% 的可信集。

如果我們刪除后驗(yàn)樣本，只需可視化數(shù)據(jù)、后驗(yàn)均值和 95% 可信集，該圖看起來會更清晰一些。注意不確定性如何從數(shù)據(jù)中增長，這是認(rèn)知不確定性的一個特性。

圖 18.1.6點(diǎn)預(yù)測和可信集。

我們用來擬合數(shù)據(jù)的高斯過程的屬性受到所謂的協(xié)方差函數(shù)（也稱為內(nèi)核）的強(qiáng)烈控制。我們使用的協(xié)方差函數(shù)稱為RBF（徑向基函數(shù)）核，其形式為

這個內(nèi)核的超參數(shù)是可解釋的。振幅 參數(shù)_a控制函數(shù)變化的垂直尺度，以及長度尺度參數(shù)?控制函數(shù)的變化率（擺動度）。更大a 意味著更大的函數(shù)值，并且更大?意味著更緩慢地改變函數(shù)。讓我們看看我們的樣本先驗(yàn)函數(shù)和后驗(yàn)函數(shù)隨著我們的變化會發(fā)生什么a和?.

長度尺度對 GP 的預(yù)測和不確定性有特別顯著的影響。在||x?x′||=?，一對函數(shù)值之間的協(xié)方差是a2exp?(?0.5). 在比更遠(yuǎn)的距離?，函數(shù)值變得幾乎不相關(guān)。這意味著如果我們想在某個點(diǎn)做出預(yù)測x?，然后是帶有輸入的函數(shù)值 x這樣||x?x′||>?不會對我們的預(yù)測產(chǎn)生強(qiáng)烈影響。

讓我們看看更改長度尺度如何影響樣本先驗(yàn)和后驗(yàn)函數(shù)以及可信集。以上擬合使用長度尺度2. 現(xiàn)在讓我們考慮 ?=0.1,0.5,2,5,10. 的長度尺度0.1相對于我們正在考慮的輸入域的范圍來說非常小， 25. 例如，函數(shù)的值在x=5和 x=10在這樣的長度范圍內(nèi)基本上沒有相關(guān)性。另一方面，對于長度尺度10，這些輸入的函數(shù)值將高度相關(guān)。請注意，下圖中的垂直比例發(fā)生了變化。

請注意，隨著長度尺度的增加，函數(shù)的“擺動性”會降低，我們的不確定性也會降低。如果長度尺度很小，隨著我們遠(yuǎn)離數(shù)據(jù)，不確定性會迅速增加，因?yàn)閿?shù)據(jù)點(diǎn)對函數(shù)值的信息變得越來越少。

現(xiàn)在，讓我們改變振幅參數(shù)，將長度尺度固定在2. 請注意，垂直比例對于先驗(yàn)樣本保持固定，而對于后驗(yàn)樣本則不同，因此您可以清楚地看到函數(shù)的增加比例以及對數(shù)據(jù)的擬合。

我們看到振幅參數(shù)影響函數(shù)的尺度，但不影響變化率。在這一點(diǎn)上，我們也感覺到我們程序的泛化性能將取決于這些超參數(shù)的合理值。價值觀?=2 和a=1似乎提供了合理的擬合，而其他一些值卻沒有。幸運(yùn)的是，有一種強(qiáng)大且自動的方法可以使用所謂的邊際似然來指定這些超參數(shù)，我們將在筆記本中進(jìn)行推理。

那么究竟什么是全科醫(yī)生呢？在我們開始時，GP 簡單地說任何函數(shù)值的集合<