信號的時域、空域特性與功率譜

一、時域與空域特性

以遠場模型（平面波）為例，假設(shè)均勻線陣接收的為窄帶信號，假設(shè)相鄰振元間隔為d，入射角θ為：

從空域坐標來看，相鄰振元的間隔為：dsinθ

等價到時間軸來看，采樣點的間距為：dsinθ，對應(yīng)時間間隔為：

二、時、空域與采樣定理

A、空域角度理解

相鄰振元的相位差為：

以干涉儀為例，如果存在相位模糊，有

k為非零整數(shù)，如果希望不出現(xiàn)相位模糊

對應(yīng)掃描邊界，則有

容易證明，同干涉儀一樣，均勻線陣譜估計中的導向矢量，如果不滿足上面的約束條件，同樣會有多峰的問題。

B、時域角度理解

前文提到，采樣點對應(yīng)的時間間隔為，即采樣周期。空域均勻線陣對應(yīng)時域均勻采樣，采樣頻率：

入射信號的頻率為：

如果采樣無混疊，需要滿足Nyquist采樣定理：

該約束條件等價于：

可以看出均勻線陣的相位無模糊對應(yīng)時域均勻采樣的奈奎斯特定理。多說一句，如果是非均勻線陣、圓陣等形式，可以理解成對應(yīng)維度的非均勻采樣；從空域角度理解，非均勻陣列可以解決模糊問題，從時域角度理解，稀疏采樣/非均勻采樣可以突破奈奎斯特采樣定理。

三、時、空域及功率譜

波束形成主要對感興趣的方向進行增強/抑制，而譜估計更多是參數(shù)估計問題，前者操作多為主動，后者操作多為被動，MVDR算法對二者均適用。這里暫且拋開應(yīng)用場景，僅從時、空角度理解功率譜的”譜”特性。

接著上文的時域、空域思路，這里先從時域的角度來表述，為了簡化均不考慮加窗情形。

A、時域角度理解

對于N點均勻采樣的信號uN(n)，對其進行傅里葉變換：

uN(n)的相關(guān)函數(shù)為：

容易證明有如下對應(yīng)關(guān)系：

而相關(guān)函數(shù)對應(yīng)的傅里葉變換為功率譜密度，可以求解功率譜密度：

B、空域角度理解

N個均勻線陣接收單元，對應(yīng)的波束形成為：

即空域的波束形成可以理解為時域的傅里葉變換，

從而空域的功率譜密度可以等價為：

考慮到時域、空域具有等價性，空域的功率譜這么理解是合理的。

現(xiàn)在以常用的MVDR算法來理解這種等價性：

接收信號：

MVDR就是含有等式約束的最優(yōu)化問題：

可以求解：

這個時候，如果將最優(yōu)的w帶入y，空域角度理解：y對應(yīng)就是波束形成的結(jié)果。時域角度理解：y對應(yīng)為傅里葉變換的結(jié)果。

通常MVDR的結(jié)果為E[y*y]的輸出，根據(jù)上文分析可知，該結(jié)果從時域理解就是功率譜（差一個常數(shù)），所以從空域角度稱作“譜”其實也是可以被接受的，對應(yīng)功率（譜）：

因為這是在空域，為了與時域功率譜的名字加以區(qū)別，可以稱其為空間譜。

具體空間譜名稱怎么由來，本文并沒有考證。本文只是提供了一種理解“空間譜”名稱的角度，至少MUSIC等算法的“譜”便與此不同，或許MUSIC等算法只是繼承了“空間譜”這個名詞也未可知。