復頻率與時間函數(shù)兩者之間的關系解析

復頻率現(xiàn)在已是一個廣泛熟悉而通用的名詞，所以這里仍舊用它。復頻率可以方便地表示在一個復平面上，如下圖所示。

水平軸為實軸(σ軸)，垂直軸為虛軸(jω),則不同的s值應于復平面上不同位置的點。

因為s的虛部ω反應指數(shù)函數(shù)的頻率，而實部σ則反映指數(shù)函數(shù)的幅度變化率。因此在復平面實軸上的點如A1、A2、B1、B2等。由于ω=0，所代表的是隨時間按指數(shù)規(guī)律單調(diào)增長或衰減的指數(shù)信號。

在σ正方向上σ>0，代表的是隨時間增長的指數(shù)信號。在σ軸負方向上σ<0，代表的是隨時間衰減的指數(shù)信號。且如點的位置距離虛軸愈遠，則σ的絕對值愈大，即意味著信號的增長或衰減速率愈大。

(1)試比較點A1與A2及B1與B2。A1、A2在正實軸上，代表的是隨時間增長的指數(shù)信號，而B1、B2在負實軸上，代表的是隨時間衰減的信號。

A1、B1比A2、B2距虛軸較近，所以A1、B1代表的指數(shù)信號隨時間的變化較A2、B2所代表的信號隨時間的變化較慢。

(2)在坐標原點O所代表的信號則是不隨時間變化的直流信號。

(3)在虛軸上的點則因為б=0，所以代表的是等幅的正弦振蕩信號，且頻率隨點距實軸的距離增加而增加。

(4)對于既不是實軸又不是虛軸上點，因為s為復數(shù)，所代表的是幅度按指數(shù)規(guī)律變化的“正弦振蕩”信號。在做半平面是幅度按指數(shù)規(guī)律衰減的正弦信號，在右半平面是幅度按指數(shù)規(guī)律增長的正弦信號。

當然，如果點距離虛軸愈遠，則幅度的變化速率愈快，如距實軸愈遠，則信號的頻率愈高。

通過上面的分析可以看出復平面上的每一點都對應于指數(shù)函數(shù)的一個確定的模式。需要指出的是在這里也會出現(xiàn)負頻率的信號，如C1*、D1*等。

其原因和傅里葉變換一樣，是由于用指數(shù)分量來表示信號的結果。

正如傅里葉變換中所指數(shù)的一個正頻率(s=jω)的指數(shù)函數(shù)與一個負頻率(s=-jω)的指數(shù)函數(shù)可以合并成一個等幅正弦信號：

同樣兩個復頻率為共軛對(s=σ+jω,及s=σ-jω)的指數(shù)函數(shù)也可以合并成一個幅度按指數(shù)規(guī)律變化的正弦信號：

因此任一函數(shù)被分解為指數(shù)函數(shù)之和的時候，其復頻率一定是共軛成對出現(xiàn)的，不存在只有一個單獨的負頻率的情況。

通過上面對復頻率的說明，可以更清楚的看到，雙邊或單邊拉普拉斯變換都是把函數(shù)分解為無窮多個具有復頻率s的指數(shù)函數(shù)之和。

而傅里葉變換只是雙邊拉普拉斯變換中s=jω的一種特殊情況，即分解沿著復平面的虛軸進行的。

文章出處：【微信公眾號：模擬札記】

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