一文解析濾波器設(shè)計(jì)中的橢圓函數(shù)

引子

自打牛頓-萊布尼茨(Newton-Leibniz)發(fā)明微積分后, 整個(gè)數(shù)學(xué)和物理世界就不太平了, 早在1655年Wallis就開(kāi)始研究了橢圓(ellipse)的弧長(zhǎng), 并且牛頓和Wallis都發(fā)表了關(guān)于橢圓弧長(zhǎng)的級(jí)數(shù)表達(dá)式, 其次單擺周期的求解, 這些問(wèn)題困擾了一代又一代人。

1679年雅各布·伯努利(Jacob Bernoulli)對(duì)彈性桿的研究中也遇到了橢圓積分, 并且得到了一個(gè)簡(jiǎn)單的橢圓積分的例子：

早期這個(gè)積分也叫雙扭線積分(lemniscate integral), 并且伯努利也意識(shí)到了這個(gè)積分不簡(jiǎn)單, 并不能用初等函數(shù)表達(dá)。

1750年左右, 歐拉(Euler)發(fā)展了橢圓積分, 如橢圓積分的加法定理(Elliptic Integral Addition Theorems)和蘭登變換, 以加法定理為例說(shuō)明：

其中積分上限滿足：

并且歐拉給出了其幾何意義。

1785年拉格朗日(Lagrange)就發(fā)表了一篇關(guān)于橢圓積分的文章, 其中用到了AGM(Arithmetic-Geometric Mean,算術(shù)幾何平均數(shù)), 接著高斯獨(dú)立的發(fā)現(xiàn)了AGM, AGM讓橢圓積分的數(shù)值計(jì)算變得容易。

接著到了1826年勒讓德(Legendre)開(kāi)始全面論述了橢圓積分并著作《橢圓函數(shù)論》, 將橢圓積分歸為三大類, 現(xiàn)稱為橢圓積分的勒讓德形式(elliptic integral in Legendre's form)：

本章節(jié)主要討論和橢圓函數(shù)濾波器相關(guān)的第一類橢圓積分：

第一類不完全橢圓積分(incomplete elliptic integral of the first kind)：三角形式:

到了(1829年)雅可比(Carl.Gustav.Jacob.Jacobi)和阿貝爾(N.H. Abel)時(shí)代, 橢圓函數(shù)理論發(fā)生了質(zhì)的變化, 這里最主要的貢獻(xiàn)是橢圓積分反演, 也就是說(shuō)我們不去直接研究橢圓積分, 而是研究橢圓積分的逆, 即原橢圓積分的積分上限為函數(shù)值, 積分值為自變量, 同時(shí)也發(fā)現(xiàn)了其逆的雙周期性質(zhì)。

對(duì)于第一類橢圓積分, 我們和定義正弦函數(shù)一樣定義雅可比橢圓正弦函數(shù)滿足如下等式：

為了解決函數(shù)的多值性所帶來(lái)困擾, 黎曼把思考維度又提升一個(gè)層次, 將復(fù)平面拓展為許多葉的曲平面上, 思考維度從二維上升到了三維, 這時(shí)出現(xiàn)了黎曼曲面的概念了, 這里開(kāi)辟了數(shù)學(xué)新戰(zhàn)場(chǎng)--拓?fù)鋵W(xué)。

當(dāng)然, 以上是對(duì)橢圓積分的知識(shí)的一個(gè)簡(jiǎn)單漸進(jìn)式的梳理。對(duì)于濾波器設(shè)計(jì)而言, 實(shí)際上我們關(guān)心第一類橢圓積分的一些性質(zhì)和計(jì)算方法, 這里主要介紹雙周期性和其數(shù)值計(jì)算方面。

若對(duì)橢圓積分和橢圓函數(shù)感興趣的同學(xué)可以閱讀扶教授的講座筆記《橢圓積分和橢圓函數(shù)講座回顧》。

理解雅可比函數(shù)的雙周期性

數(shù)域的拓展

試想一下一個(gè)螞蟻在這個(gè)復(fù)平面上爬, 那么如何爬, 其高度可以連續(xù)的從低到高?下圖就展示了這一過(guò)程:

單周期

再簡(jiǎn)化一下, 得到：

其周期帶如下：

雙周期

將周期向整個(gè)復(fù)平面拓展, 并且標(biāo)出零極點(diǎn)位置:

為了更容易對(duì)濾波器設(shè)計(jì)進(jìn)行計(jì)算, 計(jì)算機(jī)程序都對(duì)雅可比橢圓函數(shù)進(jìn)行了歸一化。

這樣雅可比橢圓函數(shù)在-平面實(shí)軸上的周期為實(shí)數(shù)4, 更加方便分析和計(jì)算。

橢圓積分和雅可比橢圓函數(shù)的數(shù)值求解

當(dāng)然橢圓積分的數(shù)值計(jì)算方法有很多種, 除了蘭登變換外, 還有數(shù)值積分和級(jí)數(shù)展開(kāi)方法。

橢圓積分的數(shù)值計(jì)算

蘭登變換(Landen Transformation)的幾何解釋如下:

這樣建立了橢圓積分的一般遞推表達(dá)式。更多關(guān)于蘭登變換的內(nèi)容見(jiàn)《高斯，蘭登，拉馬努金，算術(shù)幾何平均數(shù)，橢圓，，和女士日志》。

文獻(xiàn)中提供了3種橢圓積分的數(shù)值求解方法:

方法1(模數(shù)遞增)

Matlab驗(yàn)證結(jié)果如下:

和Matlab原生態(tài)函數(shù)計(jì)算結(jié)果相差級(jí)別誤差。

方法2(模數(shù)遞減)

Matlab驗(yàn)證結(jié)果如下:

Matlab驗(yàn)證結(jié)果如下:

和Matlab原生態(tài)函數(shù)計(jì)算結(jié)果完全一樣, 誤差為0。

雅可比橢圓函數(shù)數(shù)值計(jì)算

方案1(AGM)

使用AGM可以對(duì)雅可比橢圓函數(shù)的數(shù)值計(jì)算, 也就是前述橢圓積分方案3的逆運(yùn)算:

Matlab驗(yàn)證結(jié)果如下:

Matlab驗(yàn)證結(jié)果如下:

階方程(Degree Equation)

特征方程(The Characteristic Function)

總結(jié)

本文主要對(duì)《濾波器設(shè)計(jì)中的橢圓函數(shù)》進(jìn)行進(jìn)一步分析和講解, 并且建立了微分方程和橢圓濾波器特征方程之間的關(guān)系, 為后續(xù)講解函數(shù)逼近(Approxmation)中的等紋波到微分方程之間建立聯(lián)系。

審核編輯：劉清