傅里葉變換意義是什么

　　傅里葉是一位法國數(shù)學家和物理學家的名字，英語原名是Jean Baptiste Joseph Fourier（1768-1830）， Fourier對熱傳遞很感興趣，于1807年在法國科學學會上發(fā)表了一篇論文，運用正弦曲線來描述溫度分布，論文里有個在當時具有爭議性的決斷：任何連續(xù)周期信號可以由一組適當?shù)恼仪€組合而成。

　　傅里葉變換

　　當時審查這個論文的人，其中有兩位是歷史上著名的數(shù)學家拉格朗日（Joseph Louis Lagrange， 1736-1813）和拉普拉斯（Pierre Simon de Laplace， 1749-1827），當拉普拉斯和其它審查者投票通過并要發(fā)表這個論文時，拉格朗日堅決反對，在他此后生命的六年中，拉格朗日堅持認為傅里葉的方法無法表示帶有棱角的信號，如在方波中出現(xiàn)非連續(xù)變化斜率。

　　法國科學學會屈服于拉格朗日的威望，拒絕了傅里葉的工作，幸運的是，傅里葉還有其它事情可忙，他參加了政治運動，隨拿破侖遠征埃及，法國大革命后因會被推上斷頭臺而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年這個論文才被發(fā)表出來。

　　拉格朗日是對的：正弦曲線無法組合成一個帶有棱角的信號。但是，我們可以用正弦曲線來非常逼近地表示它，逼近到兩種表示方法不存在能量差別，基于此，傅里葉是對的。

　　用正弦曲線來代替原來的曲線而不用方波或三角波來表示的原因在于，分解信號的方法是無窮的，但分解信號的目的是為了更加簡單地處理原來的信號。用正余弦來表示原信號會更加簡單，因為正余弦擁有原信號所不具有的性質(zhì)：正弦曲線保真度。一個正弦曲線信號輸入后，輸出的仍是正弦曲線，只有幅度和相位可能發(fā)生變化，但是頻率和波的形狀仍是一樣的。且只有正弦曲線才擁有這樣的性質(zhì)，正因如此我們才不用方波或三角波來表示。

　　傅立葉變換，表面上是“時域到頻域”的變換，實際上就相當于一個分解或者換基的操作。簡單解釋成“時域到頻域”至少有兩個問題。首先，盡管時域和頻域的關系很多時候可以比較形象的理解，比如亮度分布和它的空間頻率什么的，但有時他們的關系就不那么直接（比如量子力學的動量波函數(shù)和坐標波函數(shù)）。其次，這沒解釋為什么這么操作一下就可以得到正確結果，往往會讓人覺得“不明覺厲”，仿佛是一種魔法。但是一旦理解了它是一種分解（或者換基）操作，則只要理解了“基函數(shù)”的意義，傅立葉變換就很容易理解（為什么要做、怎么做、為什么這樣做）。分解（或者換基）操作的理解可以很容易地推廣到其它積分變換，比如拉普拉斯變換中去。而如果簡單想象成“時域到頻域”的變換，則拉普拉斯變換的“頻域”的物理意義很難解釋清楚。下面我們從積分變換的定義出發(fā)，具體闡述一下這種思路。

　　傅里葉變換意義

　　一般說來，積分變換具有以下的形式（參見維基百科）：

　　其中 ?K(t,u)?就是積分變換的核 （kernel）。這個積分變換的“物理含義”就是， f(t)?在核函數(shù)的復共軛這一組正交基上的展開系數(shù)。為什么呢？如果大家學過一點線性代數(shù)，就可以發(fā)現(xiàn)積分變換具有內(nèi)積的形式。將 u'?看作參數(shù)，如果 ?K(u',t)?和 ?K(u,t)?正交，則積分變換無非是給出了向量 \vec{f}?在基函數(shù)? K^*(t,u)??上投影?/?分量的通式。要注意的是，這里的基函數(shù)不是 ?K(t,u)?而是 ?K^*(t,u)?。這是因為，內(nèi)積的結果是一個“數(shù)”而不是向量，所以作為向量的兩個被乘函數(shù)必須有一個要被取復共軛（相當于轉(zhuǎn)置）。以上推理從內(nèi)積的狄拉克括號表示的角度看很容易理解： (Tf)(u) = \langle K^*|f \rangle??——左矢括號 \langle |?自帶轉(zhuǎn)置效果，要符合原定義則 bra?內(nèi)必須是 K^*?。

　　在以上的討論中我提到了向量 \vec{f}?，那它與函數(shù) f(t)?又是什么關系呢？不妨想象一下普通空間的三維矢量 \vec{f}\equiv(a,b,c)?，其中的 a,b,c?也無非是向量 \vec{f}?在? \vec{x},\vec{y},\vec{z}?基矢上的展開系數(shù)。也就是說，我們可以通過寫出一個矢量在所有基矢量方向的展開系數(shù)以及所有基矢量的方式完全確定一個向量。如果把任何一個函數(shù)的自變量的任意一個（或者一組，對于多元函數(shù)來說）可能的取值看作一個基矢，函數(shù)值看作展開系數(shù)，那么，任何函數(shù)都可以看作是一個向量的一個具體表示。當然了，如果仔細推導一下，函數(shù) f(x)?的一組正交基實際上是 \delta(x)?（狄拉克 \delta??函數(shù)）。

　　總結一下，

　　函數(shù)? f(t)??是向量 \vec{f}在基矢 \{\delta(t)\}?上的展開系數(shù)。

　　其它任何一組正交函數(shù)也可以作為基矢量。

　　向量 \vec{f}?在基矢 \{K^*\}?的展開系數(shù)就是積分變換 (Tf)(u)?。也就是說， (Tf)(u)?是 \vec{f}?的另一表示。

　　由于 f(t)?和 (Tf)(u)?只是同一個向量在不同正交基下的“表示”，而且自變量的符號不同，為了方便區(qū)分，我們說 f(t)?是 t?表象中的表示， (Tf)(u)?是 u?表象中的表示。具體的例子比如量子力學里的位置表象和動量表象。

　　以上的解釋仍然比較抽象。實際上，以上述觀點進行的傅立葉變換在量子力學中似乎特別多見。如果只限定在薛定諤繪景中討論，我覺得主要原因是：

　　由薛定諤方程的線性導出的態(tài)疊加原理以及哈密頓算符的厄米性。這就使得任何一個“奇怪”的量子態(tài)總能被分解為一系列本征態(tài)的疊加。

　　含時薛定諤方程的形式解是復指數(shù)函數(shù)的形式。而復指數(shù)函數(shù)正好是復數(shù)傅立葉變換的核。

　　任何其他一階偏微分算符的本征函數(shù)也是復指數(shù)函數(shù)的形式，而一階偏微分算符在量子力學中很常見（比如動量算符）。

　　所以，量子力學中的傅立葉變換往往就有非常直接的物理意義：將一個態(tài)從非本征態(tài)表示（從而這個算符對應的可觀測物理量一般是隨時間變化的）展開為本征態(tài)（比如含時薛定諤方程的形式解，從而一般也是定態(tài)）的表示。以對 能量-時間的不確定關系如何導出光譜自然展寬？的精彩回答為例，對于一個有限壽命的激發(fā)態(tài) |\Psi\rangle?，它的波函數(shù) \Psi(t)?可以寫成

　　它的能量隨時間變化，于是這不是“真正”的本征態(tài)（雖然激發(fā)態(tài)壽命有限在量子場論中是真空能量起伏的鍋，但是在這里不妨認為是沒到達真正的本征態(tài)）。而能量不變的本征態(tài)的形式，由含時薛定諤方程可知，應為

　　進一步假設 \psi(E)?基本不隨 E?變化（相對于指數(shù)部分來說， E \gg \Delta E?時這似乎很合理。這好像就是旋轉(zhuǎn)波近似），則 \psi(E_0)?和 \psi(E)?都可以忽略掉——只不過最后有個常系數(shù)而已，不影響線型（總歸要歸一化嘛）。于是我們就可以e^{-\frac{iE t}{\hbar}}為基函數(shù)展開 |\Psi \rangle?，這樣我們就得到能量表象中的波函數(shù)為?：

　　可以看出，上面的展開恰巧就是傅立葉變換的形式。嚴格地說，核函數(shù)是 e^{+i}?形式的在數(shù)學上是“逆傅立葉變換”。但我們統(tǒng)一從核函數(shù)的復共軛作為基函數(shù)的角度考慮——并且考慮到數(shù)學上的傅立葉變換也是對稱的——那么正、逆只是一個人為規(guī)定的叫法的問題，并沒有本質(zhì)區(qū)別。實際上，的確有很多量子力學書籍把 e^{+i}?形式的變換稱作（正）傅立葉變換，從數(shù)學上的“正變換”也是從時域到非時域的角度看，確實也有道理。

　　最后， |\Psi \rangle?在能量表象中的概率分布也就是光譜線型。同樣不考慮歸一化因子，線型就是：

　　也就是洛倫茲線型，有的地方又稱之為?Breit-Wigner?線型。

　　Bottom Line： 傅立葉變換（不管正、逆）作為積分變換的一個特例，無非就是求一個向量在一組正交基函數(shù)中的展開系數(shù)，或者說一個向量在一組給定正交基中的表示。不用硬記變換的時候到底是用 +i?還是 -i?，實際運用時只要記住內(nèi)積的表達式就好了。