矩陣知識(shí) - opencv角點(diǎn)檢測(cè)原理詳解

　　關(guān)于矩陣知識(shí)的一點(diǎn)補(bǔ)充：好長(zhǎng)時(shí)間沒看過線性代數(shù)的話，這一段比較難理解?？梢钥吹組是實(shí)對(duì)稱矩陣，這里簡(jiǎn)單溫習(xí)一下實(shí)對(duì)稱矩陣和二次型的一些知識(shí)點(diǎn)吧。

　　1. 關(guān)于特征值和特征向量：

　　特征值的特征向量的概念忘了就自己查吧，這里只說關(guān)鍵的。對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣M（設(shè)階數(shù)為n），則一定有n個(gè)實(shí)特征值，每個(gè)特征值對(duì)應(yīng)一組特征向量（這組向量中所有向量共線），不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量間相互正交；（注意這里說的是實(shí)對(duì)稱矩陣，不是所有的矩陣都滿足這些條件）

　　2. 關(guān)于對(duì)角化：

　　對(duì)角化是指存在一個(gè)正交矩陣Q，使得 Q’MQ 能成為一個(gè)對(duì)角陣（只有對(duì)角元素非0），其中Q’是Q的轉(zhuǎn)置（同時(shí)也是Q的逆，因?yàn)檎痪仃嚨霓D(zhuǎn)置就是其逆）。一個(gè)矩陣對(duì)角化后得到新矩陣的行列式和矩陣的跡（對(duì)角元素之和）均與原矩陣相同。如果M是n階實(shí)對(duì)稱矩陣，則Q中的第 j 列就是第 j 個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量（不同列的特征向量?jī)蓛烧唬?/p>

　　3. 關(guān)于二次型：

　　對(duì)于一個(gè)n元二次多項(xiàng)式，f（x1，x2.。。.xn） = ∑ （ aij*xi*xj ） ，其中 i 和 j 的求和區(qū)間均為 ［1，n］ ，

　　可將其各次的系數(shù) aij 寫成一個(gè)n*n矩陣M，由于 aij 和 aji 的對(duì)稱等價(jià)關(guān)系，一般將 aij 和 aji 設(shè)為一樣的值，均為 xi*xj 的系數(shù)的二分之一。這樣，矩陣M就是實(shí)對(duì)稱矩陣了。即二次型的矩陣默認(rèn)都是實(shí)對(duì)稱矩陣

　　4. 關(guān)于二次型的標(biāo)準(zhǔn)化（正交變換法）：

　　二次型的標(biāo)準(zhǔn)化是指通過構(gòu)造一個(gè)n階可逆矩陣 C，使得向量 （ x1，x2.。.xn ） = C * （y1，y2.。.yn），把n維向量 x 變換成n維向量 y ，并代入f（x1，x2.。。.xn） 后得到 g（y1，y2.。.yn），而后者的表達(dá)式中的二次項(xiàng)中不包含任何交叉二次項(xiàng) yi*yj（全部都是平方項(xiàng) yi^2），也即表達(dá)式g的二次型矩陣N是對(duì)角陣。用公式表示一下 f 和 g ，（下面的表達(dá)式中 x 和 y都代表向量，x‘ 和 y’ 代表轉(zhuǎn)置）

　　f = x‘ * M * x ;

　　g = f = x’ * M * x = （Cy）‘ * M * （Cy） = y’ * （C‘MC） * y = y’ * N * y ;

　　因此 C‘MC = N。正交變換法，就是直接將M對(duì)角化得到N，而N中對(duì)角線的元素就是M的特征值。正交變換法中得到的 C 正好是一個(gè)正交矩陣，其每一列都是兩兩正交的單位向量，因此 C 的作用僅僅是將坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)（不會(huì)有放縮）。

　　OK，基礎(chǔ)知識(shí)補(bǔ)充完了，再來說說Harris角點(diǎn)檢測(cè)中的特征值是怎么回事。這里的 M 是

　　將M對(duì)角化后得到矩陣N，他們都是2階矩陣，且N的對(duì)角線元素就是本文中提到的 α 和 β。

　　本來 E（x，y） = A*x^2 + 2*C*x*y + B*y^2 ，而將其標(biāo)準(zhǔn)后得到新的坐標(biāo) xp和yp，這時(shí)表達(dá)式中就不再含有交叉二次項(xiàng)，新表達(dá)式如下：

　　E（x，y） = Ep （xp，yp） = α*xp^2 + β*yp^2，

　　我們不妨畫出 Ep （xp，yp） = 1 的等高線L ，即

　　α*xp^2 + β*yp^2 = 1 ，

　　可見這正好是（xp，yp）空間的一個(gè)橢圓，而α 和 β則分別是該橢圓長(zhǎng)、短軸平方的倒數(shù)（或者反過來），且長(zhǎng)短軸的方向也正好是α 和 β對(duì)應(yīng)的特征向量的方向。由于（x，y）空間只是 （xp，yp）空間的旋轉(zhuǎn)，沒有放縮，因此等高線L在（x，y）空間也是一個(gè)全等的橢圓，只不過可能是傾斜的。

　　現(xiàn)在就能理解下面的圖片中出現(xiàn)的幾個(gè)橢圓是怎么回事了，圖（a）中畫的正是高度為 1 的等高線，（其他”高度“處的等高線也是橢圓，只不過長(zhǎng)短軸的長(zhǎng)度還要乘以一個(gè)系數(shù)）。其他的幾幅圖片中可以看到，“平坦”區(qū)域由于（高度）變化很慢，等高線（橢圓）就比較大；而”邊緣“區(qū)域則是在一個(gè)軸向上高度變化很快，另一個(gè)與之垂直的軸向上高度變化很慢，因此一個(gè)軸很長(zhǎng)一個(gè)軸很短；“角點(diǎn)”區(qū)域各個(gè)方向高度都變化劇烈，因此橢圓很小。我們?nèi)搜劭梢灾庇^地看到橢圓的大小胖瘦，但如何讓計(jì)算機(jī)識(shí)別這三種不同的幾何特征呢？為了能區(qū)分出角點(diǎn)、邊緣和平坦區(qū)域我們現(xiàn)在需要用α 和 β構(gòu)造一個(gè)特征表達(dá)式，使得這個(gè)特征式在三種不同的區(qū)域有明顯不同的值。一個(gè)表現(xiàn)還不錯(cuò)的特征表達(dá)式就是：

　　（αβ） - k（α+β）^2

　　表達(dá)式中的 k 的值怎么選取呢？它一般是一個(gè)遠(yuǎn)小于 1 的系數(shù)，opencv的默認(rèn)推薦值是 0.04（=0.2的平方），它近似地表達(dá)了一個(gè)閾值：當(dāng)橢圓短、長(zhǎng)軸的平方之比（亦即α 和 β兩個(gè)特征值之比）小于這個(gè)閾值時(shí)，認(rèn)為該橢圓屬于“一個(gè)軸很長(zhǎng)一個(gè)軸很短”，即對(duì)應(yīng)的點(diǎn)會(huì)被認(rèn)為是邊緣區(qū)域。

　　對(duì)于邊緣部分，（假設(shè)較大的特征值為β）由于 β》》α且α《kβ，因此特征式 ：

　?。é力拢?- k（α+β）^2 ≈ αβ - kβ^2 《 （kβ）β - kβ^2 = 0

　　即邊緣部分的特征值小于0 ；

　　對(duì)于非邊緣部分，α 和 β相差不大，可認(rèn)為 （α+β）^2 ≈ 4αβ，因此特征式：

　?。é力拢?- k（α+β）^2 ≈ αβ - 4kαβ = （ 1 - 4k ） * αβ

　　由于 k 遠(yuǎn)小于1，因此 1 - 4k ≈ 1，這樣特征式進(jìn)一步近似為：

　?。é力拢?- k（α+β）^2 ≈ αβ

　　在角點(diǎn)區(qū)域，由于α 和 β都較大，對(duì)應(yīng)的特征式的值也就很大；而在平坦區(qū)域，特征式的值則很小。

　　因此，三種不同區(qū)域的判別依據(jù)就是： 如果特征表達(dá)式的值為負(fù)，則屬于邊緣區(qū)域；如果特征表達(dá)式的值較大，則屬于角點(diǎn)區(qū)域；如果特征表達(dá)式的值很小，則是平坦區(qū)域。

　　最后，由于αβ和（α+β）正好是M對(duì)角化后行列式和跡，再結(jié)合上面補(bǔ)充的基礎(chǔ)知識(shí)第2條中提到的行列式和跡在對(duì)角化前后不變，就可以得到 （αβ） - k（α+β）^2 = det（M） - k*Tr（M）^2，這就是Harris檢測(cè)的表達(dá)式。